k¸t v gn k¸t
Chóng tæi nhc l¤i r¬ng chi·u húu h¤n sinh cõa mæun M èi vîi i¶an I l sè
fI(M) = inf{i ∈ N|HIi(M) khæng húu h¤n sinh}.
V¼ HI0(M) l mæun húu h¤n sinh n¶n ta luæn câ fI(M) ≥ 1. Theo k¸t qu£ cõa Brodmann v Faghani [ành lþ 1.3.13] ta câ AssR(HIi(M))
l tªp húu h¤n vîi måi i ≤ fI(M). Do â AssR(HIi(JnM/Jn+1M)) v
AssR(HIj(M/JnM)) l c¡c tªp húu h¤n vîi måi i ≤ fI(JnM/Jn+1M)
v j ≤ fI(M/JnM). Mët c¡ch tü nhi¶n, chóng tæi nghi¶n cùu t½nh ên ành cõa c¡c tªp n y khi n õ lîn. K¸t qu£ ch½nh thù nh§t cõa chóng tæi trong möc n y ch¿ ra r¬ng nâi chung tªp AssR(HIj(M/JnM)) vîi j ≤ fI(M/JnM) khæng ên ành khi n õ lîn. Cö thº ta câ ành lþ sau. ành lþ 3.3.1. Tçn t¤i R−mæun húu h¤n sinh M v c¡c i¶an I, J cõa R sao cho AssR(HI1(M/JnM)) khæng ên ành khi n õ lîn.
º chùng minh ành lþ 3.3.1 chóng ta c¦n mët sè bê · sau.
Bê · 3.3.2. Cho M l R−mæun J−xon. Khi â vîi måi i ta câ ¯ng c§u HIi+J(M) ∼= Hi I(M). Chùng minh. Gi£ sû E• : 0 d −1 → E0 d 0 → E1 → ...→ Ei → ...
l gi£i thùc nëi x¤ cõa M. V¼ M l mæun J−xon n¶n d¢y sau công l gi£i thùc nëi x¤ cõa M.
ΓJ(E•) : 0 ΓJ(d −1)
→ ΓJ(E0) ΓJ(d
0)
→ ΓJ(E1) →... →ΓJ(Ei) → ...
p döng h m tû ΓI v o ΓJ(E•) v l§y mæun èi çng i·u ta suy ra i·u ph£i chùng minh.
Ti¸p theo, chóng tæi nhc l¤i ph£n v½ dö cõa Katzman cho gi£ thuy¸t cõa Huneke v· t½nh húu h¤n cõa tªp c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa mæun èi çng i·u àa ph÷ìng. Ph£n v½ dö n y âng vai trá quan trång trong ph¦n cán l¤i cõa ch÷ìng n y.
Bê · 3.3.3. [24, H» qu£ 1.3] Cho S = k[x, y, s, t, u, v] l mët v nh a thùc tr¶n tr÷íng k v f = sx2v2 − (s + t)xyuv + ty2u2. Kþ hi»u T l àa ph÷ìng hâa cõa S/f S t¤i i¶an cüc ¤i m = (x, y, s, t, u, v). Khi â
AssT(H(2u,v)T(T)) l tªp væ h¤n.
B¥y gií chóng ta chùng minh ành l½ 3.3.1.
Chùng minh. Chóng ta x²t tr÷íng hñp v nh àa ph÷ìngT v c¡c ph¦n tû u v v nh÷ trong Bê · 3.3.3. Khi â AssT(H(2u,v)(T)) l tªp væ h¤n. Cho a, b l mët d¢y (u, v)T−låc ch½nh quy cõa T. Chóng ta chùng minh r¬ng
AssT(HI1(M/JnM)) khæng ên ành, trong â M = T, I = (b) v J = (a). º l m i·u â chóng ta ch¿ c¦n chùng minh S
n≥0
AssR(H(1b)(T /anT)) l tªp væ h¤n. Thªt vªy tø Bê º 3.1.6 chóng ta câ
H(2u,v)(T) =H(0u,v)(H(2a,b)(T))
= H(0u,v)(H(1a,b)(H(1a)(T))). Do â
AssR(H(2u,v)(T)) ⊆ AssR(H(1a,b)(H(1a)(T))).
Tø ¥y ta nhªn ÷ñc AssR(H(1a,b)(H(1a)(T))) l tªp væ h¤n. M°t kh¡c tø Bê · 3.3.2 ta câ H(1a,b)(H(1a)(T)) = H(1b)(H(1a)(T)) = H(1b)(lim −→ n (T /anT)) = lim−→ n H(1b)(T /anT).
Suy ra
AssR(H(1a,b)(H(1a)(T)) = AssR(lim−→
n H(1b)(T /anT)) ⊆ [ n≥0 AssR(H(1b)(T /anT)). Tø ¥y S n≥0
AssR(H(1b)(T /anT)) l tªp væ h¤n v ta nhªn ÷ñc i·u ph£i chùng minh.
Düa v o ành lþ 3.1.3 chóng tæi d¹ d ng chùng minh ÷ñc r¬ng tªp
AssR(HI1(JnM/Jn+1M)) ên ành khi n õ lîn. Mët c¡ch têng qu¡t hìn, chóng tæi câ m»nh · sau.
M»nh · 3.3.4. Cho R = ⊕n≥0Rn l ¤i sè ph¥n bªc chu©n húu h¤n sinh tr¶n R0 = R, M = ⊕n≥0Mn l R−mæun ph¥n bªc húu h¤n sinh v I l i¶an cõa R. Khi â AssR(HI1(Mn)) ên ành khi n õ lîn.
Chùng minh. Chóng ta bi¸t r¬ng L
n≥0Mn/ΓI(Mn) l R− mæun ph¥n bªc húu h¤n sinh v tø M»nh · 1.3.4 ta câ HIi(Mn/ΓI(Mn)) ∼= Hi
I(Mn)
vîi måi i >0 v måi n. Do â chóng ta câ thº thay Mn bði Mn/ΓI(Mn). Tø M»nh · 1.3.3 chóng ta gi£ sû r¬ng depth(I, Mn) > 0 vîi måi n. Cho r l gi¡ trà ên ành cõa depth(I, Mn) khi â r ≥ 1. Theo ành lþ 3.1.3,
AssR(HIi(Mn)) ên ành khi nõ lîn vîi måii ≤ r. Suy raAssR(HI1(Mn))
ên ành khi n õ lîn.
Nh÷ vªy, m°c dò tªp AssR(HI1(JnM/Jn+1M)) ên ành khi n õ lîn nh÷ng tªp AssR(HI1(M/JnM)) nâi chung khæng ên ành. i·u n y tr¡i vîi nhúng suy luªn thæng th÷íng, bði v¼ nhi·u t½nh ch§t ti»m cªn óng cho mæun JnM/Jn+1M th¼ công óng cho mæun M/JnM.
Tø vi»c chùng minh SuppR(HIdimR−1(M)) l tªp húu h¤n, Marley [33] ¢ ÷a ra c¥u tr£ líi kh¯ng ành cho gi£ thuy¸t cõa Huneke [22, B i to¡n 4] trong tr÷íng hñp v nh R câ chi·u nhä hìn ho°c b¬ng 3. Cö
thº, Marley chùng minh r¬ng n¸u dimR ≤ 3 th¼ tªp ¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa mæun èi çng i·u àa ph÷ìng HIi(M) l húu h¤n vîi måi R−mæun húu h¤n sinh M, måi i¶an I cõa R v måi sè nguy¶n i. Tø ¥y chóng tæi °t ra v§n · nghi¶n cùu t½nh ên ành cõa tªp
AssR(HIi(Mn)) trong tr÷íng hñp dimR ≤3 v i l sè nguy¶n b§t ký. Chóng tæi nhc l¤i r¬ng chi·u èi çng i·u cõa mæun M èi vîi i¶an I l sè
cd(I, M) = sup{i ∈ Z|HIi(M) 6= 0}.
Tø ành lþ tri»t ti¶u cõa Grothendieck chóng ta th§y r¬ng cd(I, M) ≤ dimM. N«m 2004, T. Dibaei and S. Yassemi [17, ành lþ 1.4] chùng minh r¬ng n¸u M v N l c¡c R−mæun húu h¤n sinh sao cho
SuppR(M) ⊆ SuppR(N) th¼ cd(I, M) ≤ cd(I, N). Tø ¥y v Bê · 2.2.1 chóng ta nhªn ÷ñc bê · sau.
Bê · 3.3.5. cd(I, Mn) ên ành khi n õ lîn.
Cho d l gi¡ trà ên ành cõa dimMn. D¹ th§y r¬ng vîi i = 0 ho°c i > d tªp AssR(HIi(Mn)) ên ành khi n õ lîn. Tø M»nh · 3.3.4 ta câ
AssR(HI1(Mn)) ên ành khi n õ lîn. V¼ HId(Mn) l mæun Artin khi n õ lîn v bði Bê · 3.3.5 n¶n ta câ AssR(HId(Mn)) l tªp ên ành khi n õ lîn. Hìn núa, theo ành lþ 3.2.7 tªp AssR(HId−1(Mn))∪ {m} ên ành khi n õ lîn. °c bi»t, trong tr÷íng hñp v nh R câ chi·u nhä hìn ho°c b¬ng 3 ta câ c¡c k¸t qu£ sau.
H» qu£ 3.3.6. N¸u dimR ≤ 2 th¼ tªp AssR(HIi(Mn)) ên ành khi n õ lîn, vîi måi i.
H» qu£ 3.3.7. N¸u dimR ≤3 th¼ tªp AssR(HIi(Mn))∪ {m} ên ành khi n õ lîn, vîi måi i.
v do â AttR(A) luæn l tªp húu h¤n. Chóng ta dòng Nn º kþ hi»u R−mæun InM/In+1M ho°c M/InM. Theo ành lþ 1.3.10, Hmi (Nn) l R−mæun Artin vîi måi i. Tø ¥y tªp AttR(Hmi(Nn)) l húu h¤n vîi måi n v måi i. Hìn núa, vîi i = 0 ho°c i = d trong â d = dimNn, tªp Hmi (Nn) ên ành khi n õ lîn. Tuy nhi¶n vîi i l sè nguy¶n b§t ký th¼ t½nh ch§t n y nâi chung khæng óng. Chóng ta câ ành lþ sau.
ành lþ 3.3.8. C¡c kh¯ng ành sau l óng.
(i) Cho (T,m) l v nh àa ph÷ìng nh÷ trong Bê · 3.3.3 v I = (u, v)T. Khi â c¡c tªp AttT(Hm3(T /In)) v AttT(Hm4(In)) khæng ên ành khi n õ lîn.
(ii) Tçn t¤i R−mæun húu h¤n sinh M tr¶n v nh àa ph÷ìng (R,m) v i¶an J cõa R sao cho AttR(Hmi (JnM/Jn+1M)) khæng ên ành khi n õ lîn, vîi i n o â.
Tr÷îc khi chùng minh ành lþ 3.3.8 chóng tæi nhc l¤i kh¡i ni»m v mët sè t½nh ch§t cõa èi ng¨u Matlis. Chóng ta kþ hi»u E = E(R/m)
l bao nëi x¤ cõa R/m v dòng D(·) º kþ hi»u h m tû HomR(·, E). Vîi méi R−mæun N, chóng ta gåi D(N) l èi ng¨u Matlis cõa N. Gi£ sû r¬ng N l mët R−mæun húu h¤n sinh. Khi â theo ành lþ èi ng¨u Matlis [9, H» qu£ 10.2.20], ta câ D(N) l mët R−mæun Artin v AttR(D(N)) = AssR(N). Hìn núa, n¸u R l v nh àa ph÷ìng Gorenstein câ chi·u n th¼ tø ành lþ èi ng¨u àa ph÷ìng ta câ Hmn−i(N) ∼= D(Exti
R(N, R)) vîi måi i ∈ Z.
Ti¸p theo chóng tæi nhc l¤i k¸t qu£ ¢ bi¸t sau.
Bê · 3.3.9. [37, M»nh · 4.1] Cho f : R → R0 l çng c§u v nh v A l R0−mæun Artin. Khi â chóng ta câ
B¥y gií chóng ta chùng minh ành lþ 3.3.8.
Chùng minh. (i). Chóng ta x²t v nh àa ph÷ìng (T,m) v I = (u, v)T nh÷ trong Bê · 3.3.3. V¼ (T,m) l v nh àa ph÷ìng Gorenstein câ chi·u 5 n¶n tø ành lþ èi ng¨u àa ph÷ìng ta câ ¯ng c§u
Hm3(T /In) ∼= Hom
T(Ext2T(T /In, T), E). Theo ành lþ èi ng¨u Matlis chóng ta câ
AttT(Hm3(T /In)) = AssT(Ext2T(T /In, T)).
Do â [ n≥0 AttT(Hm3(T /In)) = [ n≥0 AssT(Ext2T(T /In, T)) ⊇ AssT(lim−→ n Ext2T(T /In, T)) = AssT(HI2(T)).
Theo Bê · 3.3.3, AssT(HI2(T))l tªp væ h¤n. Do â S
n≥0
AttT(Hm3(T /In))
l tªp væ h¤n v ta suy ra AttT(Hm3(T /In)) khæng ên ành, k¸t luªn thù nh§t cõa M»nh · (i) ÷ñc chùng minh.
Tø d¢y khîp ngn
0 →In → T →T /In → 0
chóng ta câ d¢y khîp
... →Ext1T(T, T) →Ext1T(In, T) → Ext2T(T /In, T) → Ext2T(T, T) →... Tø ¥y ta nhªn ÷ñc Ext1T(In, T) ∼= Ext2 T(T /In, T). Do â [ n≥0 AttT(Hm4(In)) = [ n≥0 AssT(Ext1T(In, T)) = [ n≥0 AssT(Ext2T(T /In, T)),
l tªp væ h¤n v v¼ vªy AttT(Hm4(In)) khæng ên ành khi n õ lîn. (ii). Vîi (T,m) v I = (u, v)T nh÷ trong chùng minh cõa (i) chóng ta x²t v nh Rees R = ⊕n≥0In. °t R+ = ⊕n>0In v M = mR +R+ l i¶an cüc ¤i thu¦n nh§t cõa R. Chóng ta x²t v nh àa ph÷ìng R = RM, J = (R+)R v R−mæun húu h¤n sinh M = R. º ìn gi£n chóng ta công kþ hi»u M l i¶an cüc ¤i cõa R v R+ l i¶an (R+)R cõa R. Ta s³ chùng minh tªpAttR(HM4 (JnM/Jn+1M)) = AttR(HM4 (Rn+/Rn++1))
khæng ên ành. Thªt vªy v¼ Rn
+/Rn++1 bà tri»t ti¶u bði R+ n¶n theo ành lþ ëc lªp cì sð cõa mæun èi çng i·u àa ph÷ìng ta câ R−¯ng c§u
HM4 (Rn+/Rn++1) =Hm4R+R+(Rn+/Rn++1) ∼
= Hm4R(Rn+/Rn++1) ∼
= Hm4(In). Tø ¥y v theo Bê · 3.3.9 ta câ
AttT(Hm4(In)) = AttT(HM4 (Rn+/Rn++1)) = {P ∩T|P ∈ AttR(HM4 (Rn+/Rn++1))}. Do â [ n≥0 AttT(Hm4(In)) = {P ∩T|P ∈ [ n≥0 AttR(HM4 (Rn+/Rn++1))}. Theo chùng minh cõa (i), S
n≥0
AttT(Hm4(In)) l tªp væ h¤n v do â
S
n≥0
AttR(HM4 (Rn
+/Rn++1)) công l tªp væ h¤n. Ta suy ra i·u ph£i chùng minh.
Nhc l¤i r¬ng, Brodmann [5] chùng minh c¡c tªp AssR(InM/In+1M)
v AssR(M/InM) ên ành khi n õ lîn. Sharp [43] chùng minh k¸t qu£ èi ng¨u cho mæun Artin â l c¡c tªp AttR((0 :A In)/(0 :A In−1)) v
AttR(0 :A In) ên ành khi n õ lîn. Melkersson v Schelzen [38] mð rëng c¡c k¸t qu£ tr¶n cho c¡c mæun Ext v Tor. Hå chùng minh r¬ng vîi méi
i ≥ 0c¡c tªp AssR(TorRi (R/In, M)) v AttR(ExtiR(R/In, A))ên ành khi n õ lîn. Chóng ta bi¸t r¬ng ExtiR(R/In, M) l mæun húu h¤n sinh vîi måi n v måi i. Do â AssR(ExtiR(R/In, M)) luæn l tªp húu h¤n. V¼ vªy Melkersson v Schelzen ÷a ra mët c¥u häi tü nhi¶n nh÷ sau.
Vîi méi i ≥0, tªp AssR(ExtRi (R/In, M)) câ ên ành khi n õ lîn? Tø chùng minh cõa ành lþ 3.3.8 chóng ta th§y r¬ng tªp
[
n≥0
AssR(ExtiR(R/In, M))
nâi chung khæng húu h¤n v do â tªp AssR(ExtiR(R/In, M)) khæng ên ành khi n õ lîn. Ngo i ra chóng ta công th§y r¬ng tçn t¤i R−mæun ph¥n bªc húu h¤n sinh M = ⊕n≥0Mn sao cho tªp AssR(ExtiR(Mn, R))
khæng ên ành khi n õ lîn, vîi i l sè nguy¶n n o â. Cö thº, chóng ta câ h» qu£ sau.
H» qu£ 3.3.10. Cho (T,m) l v nh àa ph÷ìng nh÷ trong Bê · 3.3.3 v I = (u, v)T. Khi â S
n≥0
AssT(Ext2T(T /In, T)) = S
n≥0
AssT(Ext1T(In, T)) l tªp væ h¤n v do â c¡c tªp AssT(Ext2T(T /In, T)) v AssT(Ext1T(In, T))
khæng ên ành khi n õ lîn. 3.4 K¸t luªn Ch÷ìng 3
Trong ch÷ìng n y chóng tæi thu ÷ñc mët sè k¸t qu£ sau. - Kþ hi»u Nn l mæun JnM/Jn+1M ho°c M/JnM. Khi â
+ N¸u r, r0 v r1 l¦n l÷ñt l gi¡ trà ên ành cõa depth(I, Nn),
f-depth(I, Nn) v gdepth(I, Nn) th¼ * C¡c tªpAssR(HIr(Nn)) v S
i≤r0
AssR(HIi(Nn)) ên ành khi n õ lîn. * Vîi méi l ≤ r1, tªp S
i≤l
+ N¸u d l gi¡ trà ên ành cõa dimNn th¼ AssR(HId−1(Nn)) ∪ {m}
ên ành khi n õ lîn.
- ÷a ra v½ dö º chùng tä r¬ng nâi chung tªp AssR(HIi(M/JnM)), vîi i ≤fI(M/JnM), khæng ên ành khi n õ lîn.
- ÷a ra v½ dö º chùng tä r¬ng nâi chung c¡c tªpAttR(Hmi (M/JnM))
KT LUN CÕA LUN N
Nh÷ vªy, trong luªn ¡n n y chóng tæi ¢ thu ÷ñc nhúng k¸t qu£ ch½nh sau.
1. Chùng minh t½nh ên ành cõa ë s¥u chi·u > k.
2. Chùng minh t½nh ên ành cõa d¢y ch½nh quy chi·u > k ho¡n và ÷ñc v d¢y I−låc ch½nh quy ho¡n và ÷ñc.
3. Chùng minh mët sè b§t ¯ng thùc li¶n h» giúa c¡c ë s¥u chi·u > k ùng vîi mët J−låc ên ành.
4. Chùng minh t½nh ên ành cõa tªp i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa mæun èi çng i·u àa ph÷ìng t¤i gi¡ trà ên ành cõa ë s¥u, ë s¥u låc, ë s¥u suy rëng v t¤i d−1.
5. ÷a ra v½ dö º chùng tä r¬ng nâi chung tªp AssR(HIi(M/JnM)) vîi i ≤fI(M/JnM)v c¡c tªpAttR(Hmi(JnM/Jn+1M)),AttR(Hmi(M/JnM))
CC CÆNG TRNH LIN QUAN N LUN N
1. N. T. Cuong, N. V. Hoang and P. H. Khanh (2010), Asymptotic stability of certain sets of associated prime ideals of local cohomology modules, Comm. Algebra, 38, 4416-4429.
2. N. T. Cuong and P. H. Khanh (2011), On some asymptotic properties of finitely generated modules, Acta Math. Vietnamica, (2)36, 183-192. 3. N. T. Cuong, N. V. Hoang and P. H. Khanh, Asymptotic stability of sets of associated prime ideals of local cohomology modules at level d−1, preprint.
4. Ph¤m Húu Kh¡nh (2010), Ên ành ti»m cªn cõa tªp i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa mæun èi çng i·u àa ph÷ìng vîi chi·u th§p, T¤p ch½ khoa håc, ¤i håc Hu¸, 59, 59-63.
C¡c k¸t qu£ trong luªn ¡n ¢ ÷ñc b¡o c¡o v th£o luªn t¤i:
- ¤i hëi To¡n håc to n quèc, Quy Nhìn, 8/2008. - Hëi nghà ¤i sè - H¼nh håc - Tæ pæ, Hu¸, 9/2009.
- Hëi nghà ¤i sè - H¼nh håc - Tæ pæ, Th¡i Nguy¶n, 11/2011. - Xemina Tê ¤i sè v H¼nh håc - ¤i håc S÷ ph¤m Hu¸. - Xemina Pháng ¤i sè - Vi»n To¡n håc.
TI LIU THAM KHO Ti¸ng Vi»t
[1] Ph¤m Húu Kh¡nh (2010), Ên ành ti»m cªn cõa tªp i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa mæun èi çng i·u àa ph÷ìng vîi chi·u th§p, T¤p ch½ khoa håc, ¤i håc Hu¸, 59, 59-63.
Ti¸ng Anh
[2] M. F. Atiyah and I. G. Macdonald (1969), Introduction to Commu- tative Algebra, Addison Wesley, Reading, MA.
[3] M. Auslander and D. Buchsbaum (1958), Codimension and multi- plicity, Ann. Math. 68, 625-657.
[4] K. Bahmanpour and R. Naghipour (2009), Cofiniteness of local cohomology modules for ideals of small dimension, J. Algebra, 321, 1997 - 2011.
[5] M. Brodmann (1979), Asymptotic stability of AssR(M/InM), Proc. Amer. Math. Soc., (1) 74, 16-18.
[6] M. Brodmann (1979), The asymptotic nature of the analytic spread, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 86, 35-39.
[7] M. Brodmann and A. L. Faghani (2000), A finiteness result for associated primes of local cohomology modules, Proc. Amer. Math. Soc., (10) 128, 2851-2853.
[8] M. Brodmann and L. T. Nhan (2008), A finiteness result for associated primes of certain Ext-modules, Comm. Algebra, (4) 36, 1527-1536.
[9] M. Brodmann and R. Y. Sharp (1998), Local cohomology: an alge- braic introduction with geometric applications, Cambridge Univer- sity Press.
[10] W. Bruns and J. Herzog (1993), Cohen- Macaulay Rings, Cambridge University Press.
[11] N. T. Cuong and N. V. Hoang (2005), Some finite properties of generalized local cohomology modules, East-West J. Math., (2) 7, 107-115.
[12] N. T. Cuong and N.V. Hoang (2008), On the vanishing and the finiteness of supports of generalized local cohomology modules, Manuscripta Math., (1) 126, 59-72.
[13] N. T. Cuong and N. V. Hoang (2010), On the finiteness and sta- bility of certain set of associated prime ideals of local cohomology modules, Proceeding of the second Japan-Vietnam Joint seminar on Commutative Algebra, January 05-09, Hanoi Institute of Mathe- matics, pp.118-126.
[14] N. T. Cuong, N. V. Hoang and P. H. Khanh (2010), Asymptotic stability of certain sets of associated prime ideals of local cohomology modules, Comm. Algebra, 38, 4416-4429.
[15] N. T. Cuong, N. V. Hoang and P. H. Khanh, Asymptotic stability of sets of associated prime ideals of local cohomology modules at level d−1, preprint.
[16] N. T. Cuong and P. H. Khanh (2011), On some asymptotic properties of finitely generated modules, Acta Math. Vietnamica, (2)36, 183- 192.
[17] M. T. Dibaei and S. Yassemi (2004), Cohomological Dimension of Complexes, Comm. Algebra, 32, 4375 - 4386.
[18] A. Grothendieck (1967), Local homology, Lect. Notes in math., 20, Springer- Verlag Berlin- Heidelberg - New York.
[19] J. Herzog and T. Hibi (2005), The depth of powers of an ideal, J. Algebra, 291, 534-550.
[20] L. T. Hoa (2006), Stability of associated primes of monomial ideals, Vietnam J. Math., 34, 473-483.
[21] N. V. Hoang (2008), On the associated primes and support of generalized local cohomology modules, Acta Math. Vietnam., 33, 163-171.
[22] C. Huneke (1992), Problems on local cohomology, Free resolutions in commutative algebra and algebraic geometry, (Sundance, Utah, 1990), Res. Notes Math., 2, 93-108.
[23] C. Huneke and R. Y. Sharp (1993), Bass numbers of local cohomology modules, Trans. Amer. Math. Soc., 339, 765-779.
[24] M. Katzman (2002), An example of an infinite set of associated primes of a local cohomology module, J. Algebra, 252, 161-166. [25] K. Khashyarmanesh and Sh. Salarian (1998), Filter regular se-
quences and the finiteness of local cohomology modules, Comm. Al- gebra, (8) 26, 2483-2490.
[26] K. Khashyarmanesh and Sh. Salarian (1999), On the associated primes of local cohomology modules, Comm. Algebra, 27, 6191-6198. [27] K. Khashyarmanesh and Sh. Salarian (2001), Asymptotic stability
of AttRTorr1(R/an, A), Proc. Edin. Math. Soc., 44, 479-483.
[28] A. K. Kingsburg and R. Y. Sharp (1996), Asymptotic behaviuor of certain sets of prime ideals, Proc. Amer. Math. Soc., 124, 1703-1711. [29] R. Lu and Z. Tang (2001), The f-depth of an ideal on a module,
Proc. Amer. Math. Soc., (7) 130, 1905-1912.
[30] G. Lyubeznik (1993), Finiteness properties of local cohomology mod- ules (an application of D-modules to commutative algebra), Invent. Math., 113, 41-55.
[31] I. G. Macdonald (1973), Secondary representation of modules over a commutative ring, Symp. Math., 11, 23-43.
[32] I. G. Macdonald and R. Y. Sharp (2002), An elementary proof of the non-vanishing of certain local cohomology modules, Quart. J. Math. Oxford, 23, 197-204.
[33] T. Marley (2001), Associated primes of local cohomology module over rings of small dimension, Manuscripta Math., (4) 104, 519-525. [34] H. Matsumura (1980), Commutative Algebra, 2nd ed. Ben-
[35] H. Matsumura (1986), Commutative ring theory, Cambridge Univ. Press, Cambridge.
[36] S. McAdam and P. Eakin (1979), The asymptotic Ass, J. Algebra, 61, 71-81.
[37] L. Melkersson (1990), On asymptotic stability for sets of prime ideals connected with the powers of an ideal, Math. Proc. Camb. Phil. Soc.,