Trong ch÷ìng n y chóng tæi ¢ thu ÷ñc mët sè k¸t qu£ sau.
- Chùng minh mët sè cæng thùc t½nh depthk(I, M) qua chi·u cõa mæun mð rëng, çng i·u Koszul v àa ph÷ìng hâa.
- Chùng minh depthk(I, Nn) ên ành khi n õ lîn.
- Chùng minh t½nh ên ành cõa d¢y ch½nh quy chi·u > k ho¡n và ÷ñc v d¢y I−låc ch½nh quy ho¡n và ÷ñc cõa Nn.
- Chùng minh c¡c b§t ¯ng thùc li¶n h» giúa c¡c gi¡ trà ên ành cõa
depthk(I, Mn), depthk(I, Mn/Mn+1) v depthk(I, M/Mn), trong â
Ch֓ng 3
ÊN ÀNH TIM CN CÕA MËT SÈ TP IAN NGUYN TÈ
LIN KT HOC GN KT
Trong to n bë ch÷ìng n y, chóng tæi luæn gi£ thi¸t (R,m) l v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng, I, J l hai i¶an cõa R, M l R−mæun húu h¤n sinh v A l R−mæun Artin. Thay v¼ dòng c¡c kþ hi»u
depth−1(I, M), depth0(I, M) v depth1(I, M), chóng tæi sû döng c¡c kþ hi»u quen thuëc l¦n l÷ñt l depth(I, M),f-depth(I, M) v gdepth(I, M). Rã r ng r¬ng måi d¢y ch½nh quy ·u l d¢y låc ch½nh quy v måi d¢y låc ch½nh quy ·u l d¢y ch½nh quy suy rëng nh÷ng chi·u ng÷ñc l¤i nâi chung khæng óng. Do â ta luæn câ
depth(I, M) ≤ f-depth(I, M) ≤ gdepth(I, M).
N«m 2005, L. T. Nh n [40] chùng minh gdepth(I, M) l sè nguy¶n i nhä nh§t sao cho HIi(M) câ gi¡ væ h¤n. Tø i·u n y v düa v o k¸t qu£ cõa Khashyarmanesh v Salarian [26], cæ ta ch¿ ra r¬ng AssR(HIi(M))
l tªp húu h¤n vîi måi i ≤ gdepth(I, M) (xem [40, ành lþ 5.6]). °t r1(n) = gdepth(I, JnM/Jn+1M) v s1(n) = gdepth(I, M/JnM). Khi â c¡c tªp AssR(HIi(JnM/Jn+1M)) v AssR(HIj(M/JnM))húu h¤n vîi måi i ≤ r1(n) v j ≤ s1(n). Hìn núa, theo ành lþ 2.2.3 ta câ r1(n) v s1(n)
tæi quan t¥m ¸n t½nh ên ành cõa c¡c tªp AssR(HIi(JnM/Jn+1M)) v
AssR(HIj(M/JnM)) vîi måi i ≤r1 v j ≤ s1.
Möc ½ch ch½nh cõa chóng tæi trong ch÷ìng n y l nghi¶n cùu t½nh ên ành cõa mët sè tªp i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa mæun èi çng i·u àa ph÷ìng ùng vîi c¡c mæun JnM/Jn+1M v M/JnM. Ngo i ra, chóng tæi cán nghi¶n cùu t½nh ên ành cõa tªp i¶an nguy¶n tè gn k¸t cõa mæun èi çng i·u àa ph÷ìng vîi gi¡ cüc ¤i.
Nëi dung cõa ch÷ìng n y ÷ñc vi¸t düa tr¶n c¡c b i b¡o [1], [14], [15] v [16].
3.1 Tªp i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa mæun èi çng i·u àa ph÷ìng t¤i ë s¥u v ë s¥u låc
Trong möc n y, chóng tæi nghi¶n cùu t½nh ên ành cõa tªp i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa mæun èi çng i·u àa ph÷ìng t¤i gi¡ trà ên ành cõa ë s¥u v ë s¥u låc. Tr÷îc h¸t chóng tæi nhc l¤i k¸t qu£ ¢ bi¸t sau. Bê · 3.1.1. [11, ành lþ 2.4] Cho r = depth(I, M). Gi£ sû1≤ r < +∞
v x1, . . . , xr l d¢y ch½nh quy cõa M trong I. Khi â
AssR(HIr(M)) = AssR(M/(x1, . . . , xr)M)∩V(I).
Chóng ta câ cæng thùc t½nh ë s¥u cõa mæun M trong I thæng qua mæun èi çng i·u àa ph÷ìng nh÷ sau.
Bê · 3.1.2. [9, ành lþ 6.2.7] Cho I l i¶an cõa v nh R v M l R−mæun húu h¤n sinh. Khi â
depth(I, M) = inf{i|HIi(M) 6= 0}.
ành lþ 3.1.3. Cho R = ⊕n≥0Rn l ¤i sè ph¥n bªc chu©n húu h¤n sinh tr¶n R0 = R, M = ⊕n≥0Mn l R−mæun ph¥n bªc húu h¤n sinh v I l i¶an cõa R. Gi£ sû r l gi¡ trà ên ành cõa depth(I, Mn). Khi â tªp AssR(HIr(Mn)) ên ành khi n õ lîn.
Chùng minh. N¸u r = +∞ th¼ AssR(HIr(Mn)) = ∅ khi n õ lîn. V¼ vªy ành lþ óng trong tr÷íng hñp n y.
N¸u r = 0 th¼ AssR(HI0(Mn)) = AssR(Mn)∩V(I) l tªp ên ành khi n õ lîn bði Bê · 2.2.1.
X²t tr÷íng hñp 1 ≤ r < +∞. Tø Bê · 2.2.1, ành lþ 2.2.3 v ành lþ 2.2.5 chóng ta câ thº chån sè nguy¶n a sao cho vîi måi n ≥ a c¡c t½nh ch§t sau thäa m¢n: r = depth(I, Mn), tçn t¤i d¢y x1, ..., xr ∈ I l d¢y ch½nh quy cõa Mn v tªp hñp AssR(Mn/(x1, ..., xr)Mn) ëc lªp vîi n. Khi â tø Bê · 3.1.1 chóng ta nhªn ÷ñc
AssR(HIr(Mn)) = AssR(Mn/(x1, . . . , xr)Mn)∩V(I)
vîi måi n ≥ a. Tø ¥y ta suy raAssR(HIr(Mn)) ên ành khi nõ lîn. Mët h» qu£ trüc ti¸p cõa ành lþ 3.1.3 l tªpAssR(HIr(JnM/Jn+1M))
ên ành khinõ lîn, trong âr l gi¡ trà ên ành cõadepth(I, JnM/Jn+1M). Ti¸p theo, chóng ta ¡p döng k¸t qu£ n y º chùng minh t½nh ên ành cõa tªp AssR(HIs(M/JnM)) trong â s l gi¡ trà ên ành cõa
depth(I, M/JnM). Cö thº chóng tæi chùng minh ành lþ sau.
ành lþ 3.1.4. Cho (R,m) l v nh àa ph÷ìng, I, J l c¡c i¶an cõa R v M l R−mæun húu h¤n sinh. Gi£ sû s l gi¡ trà ên ành cõa
depth(I, M/JnM). Khi â tªp AssR(HIs(M/JnM)) ên ành khi n õ lîn.
Chùng minh. Cho r l gi¡ trà ên ành cõadepth(I, JnM/Jn+1M). Tø H» qu£ 2.3.4 ta câ r ≥ s. Hìn núa chóng ta câ thº chån sè nguy¶n a sao cho r = depth(I, JnM/Jn+1M) v s = depth(I, M/JnM) vîi måi n≥ a.
Tø d¢y khîp ngn
0→ JnM/Jn+1M → M/Jn+1M →M/JnM → 0,
chóng ta nhªn ÷ñc d¢y khîp c¡c mæun èi çng i·u àa ph÷ìng
· · · →HIj−1(M/JnM) → HIj(JnM/Jn+1M) →
→ HIj(M/Jn+1M) → HIj(M/JnM) → · · ·
Theo Bê · 3.1.2, ta câ HIi(JnM/Jn+1M) = 0 vîi måi i < r, vîi måi n ≥ a. Chóng ta x²t 3 tr÷íng hñp sau.
Tr÷íng hñp 1. r −2 ≥s. Tø d¢y khîp d i ð tr¶n chóng ta câ ¯ng c§u HIs(M/Jn+1M) ∼= Hs
I(M/JnM)
vîi måi n ≥a. Do â AssR(HIs(M/JnM)) ên ành khi n õ lîn.
Tr÷íng hñp 2: r −1 = s. Tø d¢y khîp d i ð tr¶n chóng ta câ d¢y khîp
0 →HIs(M/Jn+1M) → HIs(M/JnM) → HIs+1(JnM/Jn+1M)
vîi måi n ≥ a. Suy ra AssR(HIs(M/Jn+1M)) ⊆ AssR(HIs(M/JnM)) vîi måin≥ a. V¼AssR(HIs(M/JaM))l tªp húu h¤n n¶nAssR(HIs(M/JnM))
ên ành khi n õ lîn.
Tr÷íng hñp 3: r = s. Tø d¢y khîp d i ð tr¶n chóng ta câ d¢y khîp
0→ HIs(JnM/Jn+1M) → HIs(M/Jn+1M) → HIs(M/JnM)
vîi måi n ≥a. Theo ành lþ 3.1.3, tçn t¤i sè nguy¶n b ≥ a sao cho
vîi måi n ≥ b. °t X = AssR(HIs(JbM/Jb+1M)), tø d¢y khîp tr¶n ta câ
X ⊆ AssR(HIs(M/Jn+1M)) ⊆ AssR(HIs(M/JnM))∪X vîi måi n ≥b. Do â vîi måi n ≥b ta câ
AssR(HIs(M/Jn+2M)) ⊆AssR(HIs(M/Jn+1M)) ∪X
= AssR(HIs(M/Jn+1M)).
V¼AssR(HIs(M/Jb+1M)) l tªp húu h¤n n¶nAssR(HIs(M/JnM))ên ành khi n õ lîn.
B¥y gií chóng ta s³ sû döng ành lþ 3.1.3 º chùng minh t½nh ên ành cõa tªp i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa mæun èi çng i·u àa ph÷ìng t¤i gi¡ trà ên ành cõa ë s¥u låc. Tr÷îc h¸t chóng ta c¦n mët sè bê · quan trång sau.
Bê · 3.1.5. ([29, ành lþ 3.10])
f-depth(I, M) = inf{i |HIi(M) khæng Artin }.
K¸t qu£ sau l¦n ¦u ti¶n ÷ñc chùng minh bði Nagel v Schenzel cho mæun èi çng i·u àa ph÷ìng vîi gi¡ cüc ¤i v sau â ÷ñc ph¡t biºu l¤i bði Khashyarmanesh v Salarian cho mæun èi çng i·u àa ph÷ìng vîi gi¡ b§t ký.
Bê · 3.1.6. ([39, Bê · 3.4], [25, M»nh · 1.2]) N¸u x1, . . . , xr l mët d¢y I−låc ch½nh quy cõa M th¼
HIj(M) =
(
H(jx1,...,xr)(M) n¸u j < r HIj−r(H(rx1,...,xr)(M)) n¸u j ≥ r.
B¬ng c¡ch sû döng M−d¢y chi·u > k ho¡n và ÷ñc Brodmann v L. T. Nh n [8] chùng minh mët k¸t qu£ húu h¤n cõa tªp i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t nh÷ sau.
Bê · 3.1.7. [8, M»nh · 2.6] Cho k ≥ 0 l sè nguy¶n v x1, . . . , xr l M−d¢y chi·u > k ho¡n và ÷ñc. Khi â
[ n1,...,nr∈N AssR(M/(xn11 , . . . , xnr r )M)≥k = (AssR(M/(x1, . . . , xr)M))≥k. °c bi»t S n1,...,nr∈N AssR(M/(xn1 1 , . . . , xnr r )M)≥k l tªp húu h¤n. Chóng ta câ ành lþ sau.
ành lþ 3.1.8. Cho R = ⊕n≥0Rn l ¤i sè ph¥n bªc chu©n húu h¤n sinh tr¶n R0 = R, M = ⊕n≥0Mn l R−mæun ph¥n bªc húu h¤n sinh v I l i¶an cõa R. Gi£ sû r0 l gi¡ trà ên ành cõa f-depth(I, Mn). Khi â tªp S
j≤r0
AssR(HIj(Mn)) ên ành khi n õ lîn.
Chùng minh. Tr÷íng hñp r0 = 0, theo Bê · 2.2.1 ta câ
AssR(HI0(Mn)) = AssR(Mn)∩V(I)
ên ành khi n õ lîn. Do â ành lþ óng trong tr÷íng hñp n y.
Tr÷íng hñp r0 = +∞, theo Bê · 3.1.5 ta câ HIi(Mn) l mæun Artin vîi måi i v do â trong tr÷íng hñp n y ành lþ công óng.
B¥y gií chóng ta s³ chùng minh ành lþ cho tr÷íng hñp1 ≤ r0 < +∞. Tø Bê · 2.2.1, ành lþ 2.2.3 v ành lþ 2.2.5 ta câ thº chån sè nguy¶n a sao cho vîi måi n≥ a c¡c i·u ki»n sau thäa m¢n: r0 = f-depth(I, Mn), tçn t¤i d¢y x1, . . . , xr0 ∈ I l d¢y låc ch½nh quy ho¡n và ÷ñc cõa Mn çng thíi l d¢y I−låc ch½nh quy ho¡n và ÷ñc cõa Mn v tªp
AssR(Mn/(x1, . . . , xr0)Mn) ên ành khi n≥ a. Tr÷îc h¸t chóng ta chùng minh r¬ng S = S
n≥a
AssR(Hr0
I (Mn)) l tªp húu h¤n. Thªt vªy, tø Bê · 3.1.6 ta câ ¯ng c§u
HIr0(Mn) ∼= H0
I(H(r0x1,...,x
M°t kh¡c, theo ành lþ 1.3.14 ta câ ¯ng c§u Hr0 (x1,...,xr0)(Mn) ∼= lim −→ t (Mn/(xt1, . . . , xtr 0)Mn). Tø ¯ng c§u n y chóng ta nhªn ÷ñc AssR(Hr0 I (Mn)) ⊆ AssR(Hr0 (x1,...,xr0)(Mn)) = AssR(lim −→ t (Mn/(xt1, . . . , xtr0)Mn)) ⊆ [ t>0 AssR(Mn/(xt1, . . . , xtr0)Mn).
V¼ x1, . . . , xr0 l d¢y låc ch½nh quy ho¡n và ÷ñc cõa Mn vîi måi n ≥ a n¶n b¬ng c¡ch ¡p döng Bê · 3.1.7 ta câ
[
t>0
AssR(Mn/(xt1, . . . , xtr0)Mn) = AssR(Mn/(x1, . . . , xr0)Mn)
vîi måi n ≥ a. Do â AssR(Hr0
I (Mn)) ⊆ AssR(Mn/(x1, . . . , xr0)Mn)
vîi måi n ≥ a. V¼ AssR(Mn/(x1, . . . , xr0)Mn) ên ành khi n ≥ a n¶n
S
n≥a
AssR(HIr0(Mn)) l tªp húu h¤n.
Khæng m§t t½nh têng qu¡t, chóng ta câ thº gi£ sû sè a õ lîn sao cho tªp S = S n≥a AssR(Hr0 I (Mn)) ch¿ chùa c¡c ph¦n tû p m thuëc AssR(Hr0 I (Mn)) vîi væ h¤n n ≥a.
Ti¸p theo, chóng ta chùng minh r¬ng AssR(HIr0(Mn))\ {m} ên ành khi n õ lîn. Thªt vªy, vîi måi p ∈ S>0 tçn t¤i tªp væ h¤n c¡c sè nguy¶n T sao cho p∈ AssR(Hr0
I (Mn)) vîi måi n ∈ T. V¼ Hr0
Ip((Mn)p) 6= 0
n¶n depth(Ip,(Mn)p) ≤ r0. M°t kh¡c, v¼ p ∈ Supp(Mn/IMn) \ {m}
n¶n tø Bê · 2.1.5 ta câ b§t ¯ng thùc depth(Ip,(Mn)p) ≥ r0. Nh÷ vªy depth(Ip,(Mn)p) = r0 vîi måi n ∈ T. Tø ành lþ 2.2.3 ta câ
depth(Ip,(Mn)p) ên ành khi n õ lîn. Do â depth(Ip,(Mn)p) = r0 vîi måi n õ lîn. Tø ành lþ 3.1.3 ta câ thº chån n(p) ≥ a sao cho
AssRp(HIr0
vîi måi n ≥ n(p). Tø ¥y AssR(Hr0
I (Mn)) \ {m} = S>0 vîi måi n ≥ max{p|p ∈ S>0}. V¼ vªy AssR(Hr0
I (Mn)) \ {m} ên ành khi n õ lîn.
B¥y gií cho r l gi¡ trà ên ành cõa depth(I, Mn). Ta luæn câ r ≤ r0. N¸u r = r0 th¼ theo ành lþ 3.1.3 tªp S
j≤r0
AssR(HIj(Mn)) = AssR(HIr0(Mn)) ên ành khi n õ lîn. N¸u r < r0 th¼ theo Bê · 3.1.5 ta câ HIr(Mn) l mæun Artin kh¡c 0 vîi måi n õ lîn. Do â
[
j≤r0
AssR(HIj(Mn)) = AssR(HIr0(Mn))∪ {m}
l tªp ên ành khi n õ lîn v ành lþ ÷ñc chùng minh. Tø ành lþ 3.1.8 chóng ta nhªn ÷ñc S
j≤r0
AssR(HIj(JnM/Jn+1M))
l tªp ên ành khi n õ lîn, trong â r0 l gi¡ trà ên ành cõa
f-depth(I, JnM/Jn+1M). B¥y gií chóng ta sû döng k¸t qu£ n y º chùng minh mët ành lþ t÷ìng tü cho mæun M/JnM. Tr÷îc h¸t ta c¦n bê · sau.
Bê · 3.1.9. Cho A l mæun con cõa R−mæun K. Khi â
AssR(K/A)\SuppR(A) = AssR(K)\SuppR(A).
Chùng minh. Cho p ∈ AssR(K/A) \SuppR(A). Khi â tçn t¤i ph¦n tû ν cõa K sao cho p = (A : ν)R v ta câ pν ⊆ A. V¼ Ap = 0 n¶n
(pν)p = 0 v do â p 6∈ SuppR(pν). Ta suy ra ann(pν) * p. V¼ vªy tçn t¤i r 6∈ p sao cho p ⊆ ann(rν). Cho x l ph¦n tû b§t ký cõa ann(rν)
ta câ rx ∈ ann(ν) ⊆ (A : ν)R = p. V¼ r 6∈ p n¶n ta câ x ∈ p. Suy ra
ann(rν) ⊆ p v ta câ ¯ng thùc p = ann(rν). Do â p ∈ AssR(K). Tø ¥y ta câ bao h m thùc AssR(K/A)\SuppR(A) ⊆AssR(K)\SuppR(A). Ng÷ñc l¤i, tø d¢y khîp 0→ A→ K → K/A → 0 ta câ
Do â AssR(K)\SuppR(A) ⊆AssR(K/A)\SuppR(A). ¯ng thùc ÷ñc chùng minh.
ành lþ 3.1.10. Cho (R,m) l v nh àa ph÷ìng, I, J l c¡c i¶an cõa R v M l R−mæun húu h¤n sinh. Gi£ sû s0 l gi¡ trà ên ành cõa
f-depth(I, M/JnM). Khi â tªp S
j≤s0
AssR(HIj(M/JnM)) ên ành khi n õ lîn.
Chùng minh. Tø ành lþ 2.2.3 ta câ thº chån sè nguy¶n a sao cho r0 = f-depth(I, JnM/Jn+1M) v s0 = f-depth(I, M/JnM) vîi måi n ≥ a. N¸u s0 = +∞ th¼ bði Bê · 3.1.5 ta câ HIj(M/JnM) l mæun Artin vîi måi j. Do â ành lþ óng trong tr÷íng hñp n y.
Gi£ sû r¬ng s0 < +∞. B¬ng c¡ch sû döng ph¦n cuèi cõa chùng minh ành lþ 3.1.8 ta ch¿ c¦n chùng minh r¬ng tªp AssR(HIs0(M/JnM))\ {m}
ên ành khi n õ lîn. Tø d¢y khîp ngn
0→ JnM/Jn+1M →M/Jn+1M →M/JnM →0
chóng ta nhªn ÷ñc d¢y khîp d i c¡c mæun èi çng i·u àa ph÷ìng
· · · →HIj−1(M/JnM) → HIj(JnM/Jn+1M)
→ HIj(M/Jn+1M) → HIj(M/JnM) → · · ·
vîi måi n > 0.
Theo H» qu£ 2.3.4, ta câ r0 ≥s0. Chóng ta x²t hai tr÷íng hñp sau: Tr÷íng hñp 1: r0 −1 ≥s0. Tø d¢y khîp d i ð tr¶n ta câ d¢y khîp sau
Hs0
I (JnM/Jn+1M) →Hs0
I (M/Jn+1M) →f Hs0
I (M/JnM)
vîi måi n ≥ a. Theo Bê · 3.1.5, ta câ HIs0(JnM/Jn+1M) l mæun Artin. Do â
AssR(HIs0(M/Jn+1M)) ⊆ AssR(Imf)∪AssR(Kerf) ⊆ AssR(HIs0(M/JnM))∪ {m}
vîi måi n ≥a. Tø ¥y ta suy ra
AssR(HIs0(M/Jn+1M))\ {m} ⊆ AssR(HIs0(M/JnM))\ {m}
vîi måi n ≥ a. M°t kh¡c AssR(HIs0(M/JaM)) l tªp hñp húu h¤n theo [40, M»nh · 5.5]. Do â AssR(HIs0(M/JnM)) \ {m} ên ành khi n õ lîn.
Tr÷íng hñp 2: r0 = s0. Theo ành lþ 3.1.8, tçn t¤i b ≥ a sao cho
AssR(HIs0(JnM/Jn+1M))\ {m} ên ành vîi måi n ≥b. °t X = AssR(Hs0
I (JbM/Jb+1M)) \ {m}. Vîi måi n ≥ b ta câ d¢y khîp
HIs0−1(M/JnM) →HIs0(JnM/Jn+1M) →g HIs0(M/Jn+1M)
f
→Hs0
I (M/JnM)
trong â HIs0−1(M/JnM) l mæun Artin theo Bê · 3.1.5. Do â X ⊆(AssR(HIs0(M/Jn+1M))∪ {m})\ {m}
= AssR(Hs0
I (M/Jn+1M))\ {m} ⊆(AssR(Img)∪AssR(Imf)) \ {m}
⊆(AssR(HIs0(JnM/Jn+1M)/Kerg)∪AssR(HIs0(M/JnM)))\ {m} =(AssR(Hs0
I (JnM/Jn+1M)/Kerg)\ {m}) ∪
(AssR(HIs0(M/JnM))\ {m}). Tø Bê · 3.1.9 vîi chó þ r¬ng SuppR(Kerg) ⊆ {m} ta nhªn ÷ñc
AssR(Hs0
I (JnM/Jn+1M)/Kerg)\ {m} = AssR(Hs0
I (JnM/Jn+1M))\{m} = X
vîi måi n ≥b. Tø ¥y vîi måi n≥ b ta câ
X ⊆ AssR(HIs0(M/Jn+1M))\ {m} ⊆ X ∪(AssR(HIs0(M/JnM))\ {m}).
Suy ra AssR(HIs0(M/Jn+2M))\ {m} ⊆ X ∪ AssR(HIs0(M/Jn+1M))\ {m} = AssR(HIs0(M/Jn+1M))\ {m} vîi måi n ≥b. M°t kh¡c, theo [40, M»nh · 5.5] AssR(Hs0 I (M/Jb+1M)) \ {m} l tªp húu h¤n. Do â AssR(HIs0(M/JnM))\ {m} ên ành khi n õ lîn.
3.2 Tªp i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa mæun èi çng i·uàa ph÷ìng t¤i ë s¥u suy rëng v t¤i d−1