Möc ½ch thù nh§t cõa chóng tæi trong möc n y l sû döng ành lþ 3.1.8 º chùng minh t½nh ên ành cõa tªp i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa mæun èi çng i·u àa ph÷ìng t¤i gi¡ trà ên ành cõa ë s¥u suy rëng. Tr÷îc h¸t chóng tæi nhc l¤i mët sè k¸t qu£ ¢ bi¸t sau.
Bê · 3.2.1. ([40, M»nh · 5.2])
gdepth(I, M) = inf{i | SuppR(HIi(M)) l tªp væ h¤n }.
Bê · 3.2.2. ([40, ành lþ 5.6]) AssR(HIj(M)) l tªp hñp húu h¤n vîi måi j ≤ gdepth(I, M).
ành lþ d÷îi ¥y l mët k¸t qu£ ch½nh cõa möc n y.
ành lþ 3.2.3. Cho R = ⊕n≥0Rn l ¤i sè ph¥n bªc chu©n húu h¤n sinh tr¶n R0 = R, M = ⊕n≥0Mn l R−mæun ph¥n bªc húu h¤n sinh v I l i¶an cõa R. Gi£ sû r1 l gi¡ trà ên ành cõa gdepth(I, Mn). Khi â vîi méi l ≤ r1 tªp S
j≤l
AssR(HIj(Mn)) ∪ {m} ên ành khi n õ lîn. Chùng minh. Tø ành lþ 2.2.3 v Bê · 2.2.1 chóng ta câ thº chån mët sè nguy¶n d÷ìng a sao cho d = dim(Mn), d0 = dim(Mn/IMn) v
r1 = gdepth(I, Mn) vîi måi n ≥a. Tr÷îc h¸t chóng ta chùng minh r¬ng tçn t¤i sè nguy¶n b ≥ a sao cho S = S
n≥b S j≤l AssR(HIj(Mn)) l tªp húu h¤n. Chóng ta x²t ba tr÷íng hñp sau: r1 = 0, r1 = +∞v 1 ≤ r1 < +∞. N¸u r1 = 0 th¼ S ⊆ S n≥a
AssR(Mn) l tªp húu h¤n theo Bê · 2.2.1. N¸u r1 = +∞ th¼ d0 ≤ 1 v do â SuppR(Mn/IMn) l tªp húu h¤n vîi måi n ≥ a. V¼ S ⊆ S
n≥a
SuppR(Mn/IMn) n¶n theo Bê · 2.2.1, S l tªp húu h¤n.
B¥y gií ta x²t tr÷íng hñp 1 ≤ r1 < +∞. Tø ành lþ 2.2.5 ta câ thº chån sè nguy¶n b ≥ a sao cho: tçn t¤i d¢y y1, . . . , yr1 ∈ I l d¢y ch½nh quy suy rëng ho¡n và ÷ñc cõa Mn çng thíi l d¢y I−låc ch½nh quy ho¡n và ÷ñc cõa Mn v c¡c tªp AssR(Mn/(y1, . . . , yj)Mn)
ên ành vîi j ≤ r1. Theo Bê · 3.1.6, vîi méi j ≤ l ta câ ¯ng c§u HIj(Mn) ∼= H0 I(H(jy1,...,y j)(Mn)). M°t kh¡c, theo ành lþ 1.3.14 ta câ ¯ng c§u H(jy1,...,y j)(Mn) ∼= lim −→ t (Mn/(y1t, . . . , ytj)Mn). Tø ¥y chóng ta nhªn ÷ñc AssR(HIj(Mn)) ⊆AssR(H(jy 1,...,yj)(Mn)) = AssR(lim −→ t (Mn/(y1t, . . . , yjt)Mn)) ⊆ [ t>0 AssR(Mn/(y1t, . . . , yjt)Mn)∪ {m}.
V¼ y1, . . . , yr1 l d¢y ch½nh quy suy rëng ho¡n và ÷ñc cõa Mn vîi måi n ≥ b n¶n b¬ng c¡ch ¡p döng Bê · 3.1.7 ta câ [ t>0 AssR(Mn/(y1t, . . . , ytj)Mn)∪ {m} = AssR(Mn/(y1, . . . , yj)Mn)∪ {m}. Do â S ⊆ S n≥b S j≤l AssR(Mn/(y1, . . . , yj)Mn)∪ {m}.
tªp húu h¤n.
Ti¸p theo, v¼ S l tªp húu h¤n n¶n ta câ thº chån b sao cho S ch¿ gçm c¡c ph¦n tû p thuëc S
j≤l
AssR(HIj(Mn)) vîi væ h¤n n ≥ b. Cho p
l ph¦n tû b§t ký cõa S≥1, tø ành lþ 2.2.3 ta câ thº chån sè nguy¶n n(p) ≥ b sao cho r(p) = depth(Ip,(Mn)p) v r0(p) = f-depth(Ip,(Mn)p)
vîi måi n ≥ n(p). Khi â tø c¡ch chån S v tø Bê · 2.1.5 chóng ta nhªn ÷ñc r(p) ≤ l ≤ r1 ≤ r0(p). N¸u l < r0(p) th¼ tø Bê · 3.1.5 ta câ S
j≤l
AssRp(HIj
p((Mn)p)) = {pRp} vîi måi n ≥ n(p). N¸u l = r0(p) th¼ theo ành lþ 3.1.8 tçn t¤i sè nguy¶n n1(p) ≥ n(p) sao cho tªp S
j≤l
AssRp(HIj
p((Mn)p)) ên ành vîi n ≥ n1(p). Tø ¥y tçn t¤i m(p) ≥ n(p) sao cho p ∈ S
j≤l
AssR(HIj(Mn)) vîi måi n ≥ m(p). Do â S≥1 ⊆ S
j≤l
AssR(HIj(Mn)) vîi måi n ≥ max{m(p)|p ∈ S≥1}. Suy ra
S
j≤l
AssR(HIj(Mn))≥1 = S≥1 vîi n ≥ max{m(p) | p ∈ S≥1}. V¼ vªy
S
j≤l
AssR(HIj(Mn))∪ {m} ên ành khi n õ lîn.
Mët h» qu£ ngay tùc khc cõa cõa ành lþ 3.2.3 l vîi méi l ≤ r1, tªp S
j≤l
AssR(HIj(JnM/Jn+1M)) ∪ {m} ên ành khi n õ lîn, trong â r1 l gi¡ trà ên ành cõa gdepth(I, JnM/Jn+1M). Ti¸p theo, chóng tæi sû döng k¸t qu£ n y º chùng minh mët ành lþ t÷ìng tü cho mæun M/JnM. Cö thº chóng ta câ ành lþ sau.
ành lþ 3.2.4. Cho (R,m) l v nh àa ph÷ìng, I, J l c¡c i¶an cõa R v M l R−mæun húu h¤n sinh. Gi£ sû s1 l gi¡ trà ên ành cõa
gdepth(I, M/JnM). Khi â vîi méi l ≤ s1 tªp
[
j≤l
AssR(HIj(M/JnM))∪ {m}
Chùng minh. Tø ành lþ 2.2.3 ta câ thº chån sè nguy¶n a sao cho r1 = gdepth(I, JnM/Jn+1M)v s1 = gdepth(I, M/JnM) vîi måin ≥a. Tø H» qu£ 2.3.4 ta luæn câ b§t ¯ng thùc r1 ≥ s1. Vîi méi 0 ≤ l ≤ s1 chóng ta °t Xl(n) =[ j≤l AssR(HIj(M/JnM)) ∪ {m} v Sl(n) = [ j≤l AssR(HIj(JnM/Jn+1M))∪ {m}.
Chóng ta s³ chùng minh b¬ng quy n¤p theo l r¬ng tªp Xl(n) ên ành khi n õ lîn.
N¸u l = 0 th¼ hiºn nhi¶n ta câ i·u c¦n chùng minh. Gi£ sû l > 0. Tø d¢y khîp ngn 0→ JnM/Jn+1M →M/Jn+1M →M/JnM →0 chóng ta nhªn ÷ñc d¢y khîp d i · · · →HIj−1(M/JnM) →HIj(JnM/Jn+1M) fj −→ HIj(M/Jn+1M) → HIj(M/JnM) → · · ·
vîi måi n > 0. Tø ¥y vîi måi j ≤ l v n ≥a chóng ta câ
AssR(HIj(M/Jn+1M)) ⊆AssR(HIj(M/JnM)) ∪AssR(Im(fj)). Tø Bê · 3.1.9 chóng ta câ
AssR(Im(fj)) = AssR(HIj(JnM/Jn+1M)/Ker(fj))
⊆ AssR(HIj(JnM/Jn+1M)/Ker(fj))∪SuppR(Ker(fj)) = AssR(HIj(JnM/Jn+1M)∪SuppR(Ker(fj)).
V¼ j −1 < s1 n¶n theo Bê · 3.2.1 ta câ SuppR(HIj−1(M/JnM)) l tªp húu h¤n. Tø ¥y suy ra
SuppR(Ker(fj)) ⊆SuppR(HIj−1(M/JnM))
Do â chóng ta nhªn ÷ñc
Xl(n+ 1) ⊆ Xl(n)∪Sl(n).
M°t kh¡c tø d¢y khîp d i ð tr¶n v Bê · 3.2.1 chóng ta câ
AssR(HIj(JnM/Jn+1M)) ⊆AssR(HIj(M/Jn+1M))∪ SuppR(HIj−1(M/JnM)) ⊆AssR(HIj(M/Jn+1M))∪AssR(HIj−1(M/JnM)) ∪ {m}. Do â
Sl(n) ⊆ Xl(n+ 1)∪ Xl−1(n)
vîi måi n ≥ a. Theo ành lþ 3.2.3 v gi£ thi¸t quy n¤p, tçn t¤i sè nguy¶n b ≥ a sao cho Sl(n) = S v Xl−1(n) = X vîi måi n ≥ b. V¼ X = Xl−1(n+ 1) ⊆ Xl(n+ 1) n¶n chóng ta câ
S ⊆ Xl(n+ 1)∪X = Xl(n+ 1)
vîi måi n ≥b. Cuèi còng, chóng ta nhªn ÷ñc
Xl(n+ 2) ⊆ Xl(n+ 1)∪S = Xl(n+ 1)
vîi måi n≥ b. Theo Bê · 3.2.2, Xl(b+ 1) l tªp húu h¤n. Do â Xl(n)
ên ành khi n õ lîn v ành lþ 3.2.4 ÷ñc chùng minh.
Trong [33], Marley ch¿ ra r¬ng SuppR(HIdimR−1(M)) ⊆ A∗(I) ∪ {m}, trong â A∗(I) l gi¡ trà ên ành cõa AssR(R/In) khi n õ lîn (In l bao âng nguy¶n cõa In). Do â SuppR(HIdimR−1(M)) l tªp húu h¤n. B¬ng c¡ch thay v nh R bði v nh R/annR(M) v sû döng ành lþ ëc lªp cì sð cõa mæun èi çng i·u àa ph÷ìng ta câ thº ch¿ ra r¬ng SuppR(HIdimM−1(M)) l tªp húu h¤n (xem [12, Bê · 2.6]). Do â AssR(HIdimM−1(M)) l tªp húu h¤n. Tø ¥y
AssR(HId−1(JnM/Jn+1M)) v AssR(HId0−1(M/JnM))l c¡c tªp húu h¤n, trong â d = dim(JnM/Jn+1M) v d0 = dim(M/JnM). K¸t qu£ ti¸p theo cõa chóng tæi trong möc n y nâi r¬ng ngo¤i trø i¶an cüc ¤i, c¡c
tªp AssR(HId−1(JnM/Jn+1M)) v AssR(HId−1(M/JnM)) ên ành khi n õ lîn. Tr÷îc khi chùng minh k¸t qu£ n y chóng ta c¦n bê · sau. Bê · 3.2.5. Cho M, N l c¡c R−mæun húu h¤n sinh v I l i¶an cõa R. N¸u SuppR(M) ⊆ SuppR(N) th¼ vîi méi l ≥0 chóng ta câ
SuppR(HIl(M)) ⊆ [
j≥l
SuppR(HIj(N)).
Chùng minh. Chóng ta chùng minh bê · b¬ng quy n¤p theo l. Bði ành lþ tri»t ti¶u cõa Grothendieck, k¸t qu£ l t¦m th÷íng cho tr÷íng hñp l > dimM. Gi£ sû r¬ng l ≤ dimM v k¸t qu£ óng cho l + 1. V¼
SuppR(M) ⊆ SuppR(N) n¶n tø ành lþ cõa Gruson [48, ành lþ 4.1] ta câ mët låc c¡c mæun con cõa M
0 = M0 ⊆M1 ⊆ ...⊆ Mt = M
trong â méi th÷ìng Mi/Mi−1 l £nh çng c§u cõaNn vîi nl sè nguy¶n khæng ¥m n o â.
Vîi méi i = 1, ..., t, tø d¢y khîp ngn
0→ Mi−1 → Mi → Mi/Mi−1 →0
chóng ta câ d¢y khîp c¡c mæun èi çng i·u
HIl(Mi−1) → HIl(Mi) → HIl(Mi/Mi−1). Do â
SuppR(HIl(Mi)) ⊆SuppR(HIl(Mi−1))∪SuppR(HIl(Mi/Mi−1)), vîi méi i = 1, ..., t. Tø ¥y ta suy ra
SuppR(HIl(M)) = SuppR(HIl(Mt)) ⊆ SuppR(HIl(Mt−1))∪SuppR(HIl(Mt/Mt−1)) ... ⊆ [ 1≤i≤t SuppR(HIl(Mi/Mi−1)).
Vîi méi i = 1, ..., t ta câ d¢y khîp ngn
0→ Ki →Nni → Mi/Mi−1 →0
trong â ni l sè nguy¶n khæng ¥m n o â. Tø ¥y ta nhªn ÷ñc d¢y khîp
HIl(Nni) →HIl(Mi/Mi−1) →HIl+1(Ki). Ta suy ra
SuppR(HIl(Mi/Mi−1)) ⊆SuppR(HIl+1(Ki))∪ SuppRHIl(Nni) = SuppR(HIl+1(Ki))∪SuppRHIl(N).
Chó þ r¬ng SuppR(Ki) ⊆ SuppR(Nni) = SuppR(N). Do â theo gi£ thi¸t quy n¤p chóng ta câ SuppR(HIl+1(Ki)) ⊆ [ j≥l+1 SuppR(HIj(N)). Tø ¥y SuppRHIl(Mi/Mi−1) ⊆[ j≥l SuppR(HIj(N)) v ta câ SuppRHIl(M) ⊆[ j≥l SuppR(HIj(N)),
â l i·u ph£i chùng minh.
Bê · 3.2.6. Cho dimM = d. Khi â
SuppR(HId−1(M))∪ {m} = AssR(HId−1(M))∪ {m}. Chùng minh. Ta luæn câ
SuppR(HId−1(M)) ∪ {m} ⊇ AssR(HId−1(M))∪ {m}.
Ng÷ñc l¤i, tø [12, Bê · 2.6] ta câ SuppR(HId−1(M)) l tªp húu h¤n. Do â dimR/p ≤ 1vîi måi p∈ SuppR(HId−1(M)) bði ành lþ cõa Ratliff
(xem [35, ành lþ 31.2]). V¼ vªy, vîi måi p ∈ SuppR(HId−1(M)) ta câ
p = m ho°c p l ph¦n tû cüc tiºu cõa SuppR(HId−1(M)). Tø ¥y ta suy ra SuppR(HId−1(M)) ⊆ AssR(HId−1(M)) ∪ {m}. Bê · ÷ñc chùng minh.
B¥y gií chóng ta x²t R = ⊕n≥0Rn l ¤i sè ph¥n bªc chu©n húu h¤n sinh tr¶n R0 = R, M = ⊕n≥0Mn l R−mæun ph¥n bªc húu h¤n sinh v I, J l c¡c i¶an cõa R. º ìn gi£n, chóng ta dòng Nn º kþ hi»u R−mæun Mn ho°c M/JnM. Khi â ành lþ sau l k¸t qu£ ch½nh thù hai cõa möc n y.
ành lþ 3.2.7. Chol ≥ 0l mët sè nguy¶n. Khi â tªp S
j≥l
SuppR(HIj(Nn))
ên ành khi n õ lîn. °c bi»t tªp AssR(HId−1(Nn))∪ {m} ên ành khi n õ lîn, trong â d l gi¡ trà ên ành cõa dimNn.
Chùng minh. Tø Bê · 2.2.1 ta câ thº chån n0 sao cho vîi måi n ≥ n0 ta câ SuppR(Nn) = SuppR(Nn0). Theo Bê · 3.2.5,
[
j≥l
SuppR(HIj(Nn)) = [
j≥l
SuppR(HIj(Nn0))
vîi måi n ≥n0. Tø ¥y ta suy ra kh¯ng ành thù nh§t. Theo Bê · 3.2.6,
AssR(HId−1(Nn))∪ {m}= SuppR(HId−1(Nn))∪ {m} = ( [
j≥d−1
SuppR(HIj(Nn)))∪ {m}.
p döng k¸t qu£ vøa chùng minh ð tr¶n ta suy ra AssR(HId−1(Nn))∪{m}