Ên ành ti»m cªn cõa ë s¥u chi·u > k

Cho R = ⊕n≥0Rn l  ¤i sè ph¥n bªc chu©n húu h¤n sinh tr¶n R0 = R v  M = ⊕n≥0Mn l  R−mæun ph¥n bªc húu h¤n sinh. º ìn gi£n, trong möc n y chóng tæi kþ hi»u Nn thay cho Mn ho°c M/JnM. Tr÷îc h¸t chóng tæi nh­c l¤i k¸t qu£ sau v· t½nh ên ành cõa tªp i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t ÷ñc chùng minh bði Brodmann trong [5] èi vîi c¡c mæun JnM/Jn+1M v  M/JnM v  sau â ÷ñc chùng minh bði Melkersson [37, ành lþ 3.1] cho tr÷íng hñp ph¥n bªc. C¡c k¸t qu£ â ÷ñc ph¡t

biºu l¤i nh÷ sau.

Bê · 2.2.1. Tªp AssR(Nn) ên ành khi n õ lîn.

º chùng minh k¸t qu£ ch½nh cõa möc n y, chóng ta c¦n bê · sau. Bê · 2.2.2. Cho k ≥ −1 v  r ≥ 1 l  c¡c sè nguy¶n. N¸u

dim(ExtiR(R/I, Nn)) ≤ k vîi væ h¤n n v  vîi måi i < r th¼ tçn t¤i mët d¢y r ph¦n tû x1, . . . , xr ∈ I l  Nn−d¢y chi·u > k khi n õ lîn. Chùng minh. Gi£ sû T l  mët tªp con væ h¤n cõa tªp c¡c sè nguy¶n sao cho dim(ExtiR(R/I, Nn)) ≤ k vîi måi n ∈ T v  vîi måi i < r. Ta s³ chùng minh bê · b¬ng quy n¤p theo r.

N¸u r = 1 th¼ dim(Hom(R/I, Nn)) ≤ k vîi måi n ∈ T. Khi â vîi måi p ∈ AssR(Nn), p ⊇ I, ta câ dim(R/p) ≤ k. Suy ra I * p vîi måi

p ∈ AssR(Nn)>k v  vîi måi n ∈ T. Theo Bê · 2.2.1, AssR(Nn) ên ành khi n õ lîn. Do â tçn t¤i a ∈ T sao cho I * p vîi måi p ∈ AssR(Nn)>k

v  vîi måi n ≥ a. Tø ¥y chóng ta câ thº chån ph¦n tû x1 ∈ I sao cho x1 l  Nn−d¢y chi·u > k vîi måi n ≥ a.

Gi£ sû r¬ng r > 1. Tø d¢y khîp ng­n

0→ (0 :Nn x1) → Nn →Nn/(0 :Nn x1) →0

ta câ d¢y khîp

ExtiR(R/I, Nn) → ExtiR(R/I, Nn/(0 :Nn x1)) → ExtiR+1(R/I,(0 :Nn x1)). T÷ìng tü, tø d¢y khîp ng­n

0→ Nn/(0 :Nn x1) →Nn →Nn/x1Nn →0

ta câ d¢y khîp

Tø Bê · 2.1.3 ta câ dim(0 :Nn x1) ≤ k vîi måi n ≥ a. Ngo i ra, theo M»nh · 2.1.5 ta câ dim(ExtiR(R/I, Nn)) ≤ k vîi måi n ∈ T, n ≥ a v  vîi måi i < r. Düa v o hai d¢y khîp c¡c mæun mð rëng tr¶n ta câ

dim(ExtiR(R/I, Nn/x1Nn)) ≤ kvîi måin ∈ T,n ≥av  vîi måi i < r−1. Theo gi£ thi¸t quy n¤p, tçn t¤i x2, . . . , xr ∈ I l  Nn/x1Nn−d¢y chi·u > k vîi måi n≥ a, trong â al  sè nguy¶n n o â. Khi â x1, . . . , xr ∈ I l  Nn−d¢y chi·u > k khi n õ lîn.

ành l½ sau l  k¸t qu£ thù nh§t cõa möc n y.

ành lþ 2.2.3. Cho k ≥ −1 l  mët sè nguy¶n. Khi â depthk(I, Nn)

nhªn gi¡ trà h¬ng khi n õ lîn.

Chùng minh. Tø Bê · 2.2.1 ta câ thº chån sè nguy¶n u sao cho d = dimNn v  d0 = dim(Nn/INn) vîi måi n ≥ u. N¸u d0 ≤ k th¼

depthk(I, Nn) = +∞ vîi måi n≥ u.

Gi£ sû r¬ng d0 > k. V¼ méi Nn−d¢y chi·u > k l  mët ph¦n cõa h» tham sè cõa Nn n¶n 0 ≤ depthk(I, Nn) ≤ d−d0 vîi måi n ≥ u. Do â tçn t¤i mët tªp con væ h¤n T cõaZ v  mët sè nguy¶n r ∈ {0, . . . , d−d0}

sao cho

r = depthk(I, Nn) = inf{i|dim(ExtiR(R/I, Nn)) > k}

vîi måi n∈ T. Chóng ta s³ ch¿ ra r¬ng r = depthk(I, Nn) khi n õ lîn. Thªt vªy, n¸u r = 0 th¼ dim(Hom(R/I, Nn)) > k vîi måi n ∈ T. Theo Bê · 2.2.1, AssR(Hom(R/I, Nn)) = AssR(Nn)∩V(I) ên ành khi n ≥a vîi a ∈ T n o â. Ta suy ra dim(Hom(R/I, Nn)) > k vîi måi n ≥ a v  tø ¥y depthk(I, Nn) = 0 vîi måi n≥ a.

Tr÷íng hñp r ≥ 1. V¼ dim(ExtiR(R/I, Nn)) ≤ k vîi måi i < r v  måi n ∈ T n¶n theo Bê · 2.2.2 tçn t¤i v > 0 sao cho depthk(I, Nn) ≥ r vîi måi n ≥ v. Tø ¥y dim(ExtiR(R/I, Nn)) ≤ k vîi måi i < r v 

måi n ≥ v. Gi£ sû r¬ng tçn t¤i mët tªp con væ h¤n S cõa Z sao cho

dim(ExtrR(R/I, Nn)) ≤ k vîi måi n ∈ S. L¤i ¡p döng Bê · 2.2.2 ta câ thº chån b > v sao cho depthk(I, Nn) ≥ r + 1 vîi måi n ≥ b. i·u n y m¥u thu¨n vîi c¡ch x¡c ành r. Do â tçn t¤i c ≥ v sao cho

dim(ExtrR(R/I, Nn)) > k v  dim(ExtiR(R/I, Nn)) ≤ k vîi måi i < r v  vîi måi n≥ c. Nh÷ vªy

r = inf{i|dim(ExtiR(R/I, Nn)) > k},

vîi måi n ≥ c. Tø M»nh · 2.1.5 ta câ r = depthk(I, Nn) vîi måi n ≥c. ành lþ ÷ñc chùng minh.

Gi¡ trà h¬ng cõa depthk(I, Nn) khi n õ lîn cán ÷ñc gåi l  gi¡ trà ên ành cõa depthk(I, Nn) khi n õ lîn v  ÷ñc kþ hi»u bði

lim

n→∞depthk(I, Nn).

Ti¸p theo, chóng tæi nh­c l¤i kh¡i ni»m M−d¢y chi·u > k ho¡n và ÷ñc v  d¢y I−låc ch½nh quy ho¡n và ÷ñc cõa M ÷ñc giîi thi»u bði Brodmann v  L. T. Nh n trong [8] nh÷ sau.

ành ngh¾a 2.2.4. [8, ành ngh¾a 2.3] Mët d¢y x1, . . . , xr ∈ I ÷ñc gåi l  M−d¢y chi·u > k ho¡n và ÷ñc n¸u xσ(1), . . . , xσ(r) l  M−d¢y chi·u > k vîi måi σ ∈ Sr. T÷ìng tü, mët d¢y x1, . . . , xr ∈ I ÷ñc gåi l  d¢y I−låc ch½nh quy ho¡n và ÷ñc cõa M n¸u xσ(1), . . . , xσ(r) l  d¢y I−låc ch½nh quy cõa M vîi måi σ ∈ Sr.

K¸t qu£ thù hai cõa möc n y, chóng tæi ch¿ ra t½nh ên ành cõa d¢y chi·u > k ho¡n và ÷ñc v  d¢y I−låc ch½nh quy ho¡n và ÷ñc cõa Nn. ành lþ 2.2.5. Cho k ≥ −1 l  mët sè nguy¶n v  r l  gi¡ trà ên ành cõa depthk(I, Nn) khi n õ lîn. Gi£ sû r¬ng 1 ≤ r < +∞. Khi â tçn t¤i mët d¢y x1, . . . , xr ∈ I l  Nn−d¢y chi·u > k ho¡n và ÷ñc çng thíi l  d¢y I−låc ch½nh quy ho¡n và ÷ñc cõa Nn khi n õ lîn.

Chùng minh. Cho l l  sè nguy¶n sao cho 1 ≤ l ≤ r. Chóng ta s³ chùng minh b¬ng quy n¤p theo l r¬ng tçn t¤i mët d¢y gçm l ph¦n tû thuëc I thäa m¢n k¸t luªn cõa m»nh ·.

Tr÷íng hñp l = 1. Tø Bê · 2.2.1 ta câ thº gi£ sû AssR(Nn) ên ành khi n ≥ a vîi a n o â. V¼ r ≥ 1 n¶n I * p vîi måi p ∈ AssR(Nn)>k v  måi n ≥ a. Do â I * p vîi måi p ∈ AssR(Nn)>k ∪ (AssR(Nn)\ V(I))

v  måi n ≥ a. Tø ành lþ tr¡nh nguy¶n tè ta suy ra tçn t¤i ph¦n tû x1 ∈ I sao cho x1 6∈ p vîi måi p ∈ AssR(Nn)>k ∪ (AssR(Nn)\V(I)) v  måi n ≥a. M»nh · óng trong tr÷íng hñp n y.

Gi£ sû 1 < l ≤ r v  tçn t¤i d¢y x1, . . . , xl−1 ∈ I l  Nn−d¢y chi·u > k ho¡n và ÷ñc çng thíi l  d¢y I−låc ch½nh quy ho¡n và ÷ñc cõa Nn vîi måi n ≥a vîi a n o â. Tø Bê · 2.2.1 ta câ thº gi£ sû

[ Λ⊆{1,...,l−1} (AssR(Nn/X j∈Λ xjNn)>k ∪(AssR(Nn/X j∈Λ xjNn)\V(I)))

nhªn gi¡ trà ên ành T vîi n ≥ a. V¼ l ≤ r n¶n I * p vîi måi p ∈ T. Theo ành lþ tr¡nh nguy¶n tè tçn t¤i xl ∈ I sao cho xl 6∈ p vîi måi

p ∈ T.

B¥y gií ta s³ chùng minh x1, . . . , xl l  d¢y thäa m¢n y¶u c¦u cõa m»nh ·. Tr÷îc h¸t ta chùng minh x1, . . . , xl l  Nn−d¢y chi·u > k ho¡n và ÷ñc vîi måi n ≥ a. Cho σ ∈ Sl l  mët ho¡n và cõa 1,2, . . . , l. Gi£ sû r¬ng xσ(1), . . . , xσ(l) khæng ph£i l  Nn−d¢y chi·u > k. Cho t ∈ {1, . . . , l}

l  sè nguy¶n nhä nh§t sao cho xσ(1), . . . , xσ(t) khæng ph£i l  Nn−d¢y chi·u > k. Khi â tçn t¤i p ∈ AssR(Nn/(xσ(1), . . . , xσ(t−1))Nn)>k sao cho xσ(t) ∈ p v  tø sü lüa chån cõa xl ta câ xl = xσ(i) vîi i < t n o â. Tø ¥y xσ(1), . . . , xσ(t) ∈ p v  xσ(1)

1 , . . . ,xσ(t)

1 khæng ph£i l  d¢y ch½nh quy cõa (Nn)p. V¼ vªy xσ(1)

1 , . . . ,xσ(i−1)

1 ,xσ(i+1)

1 , . . . ,xσ(t)

1 , xσ(i)

1 khæng ph£i l  d¢y ch½nh quy cõa (Nn)p. °t J := {j ∈ N|j ≤ t, j 6= i}.

V¼ dimR/p > k, xσ(1), . . . , xσ(t) ∈ p v  xl = xσ(i) n¶n theo Bê · 2.1.3, (xσ(j)

1 )j∈J l  d¢y ch½nh quy cõa (Nn)p. Suy ra xl

1 = xσ(i)

1 khæng ph£i l  ph¦n tû ch½nh quy cõa (Nn)p/P

j∈J xσ(j)(Nn)p. Tø ¥y tçn t¤i

q ⊆ p sao cho xσ(i)

1 ∈ qRp ∈ AssRp((Nn)p/P

j∈J xσ(j)(Nn)p). Do â xl = xσ(i) ∈ q ∈ AssR(Nn/P

j∈J xσ(j)Nn)>k ⊆ T. i·u n y m¥u thu¨n vîi c¡ch chån xl.

Cuèi còng, chóng ta chùng minh x1, . . . , xl l  mët d¢y I−låc ch½nh quy ho¡n và ÷ñc cõa Nn vîi n ≥ a. Cho σ ∈ Sl l  mët ho¡n và cõa 1,2, . . . , l. Gi£ sû r¬ng xσ(1), . . . , xσ(l) khæng ph£i l  d¢y I−låc ch½nh quy cõa Nn. Cho t ∈ {1, . . . , l} l  sè nguy¶n nhä nh§t sao cho xσ(1), . . . , xσ(t) khæng ph£i l  d¢y I−låc ch½nh quy cõa Nn. Khi â tçn t¤i p ∈ AssR(Nn/(xσ(1), . . . , xσ(t−1))Nn) \ V(I) sao cho xσ(t) ∈ p

v  tø sü lüa chån cõa xl ta câ xl = xσ(i) vîi i < t n o â. Khi â xσ(1), . . . , xσ(t) ∈ p v  xσ(1)

1 , . . . ,xσ(t)

1 khæng ph£i l  d¢y ch½nh quy cõa (Nn)p. V¼ vªy xσ(1) 1 , . . . ,xσ(i−1) 1 ,xσ(i+1) 1 , . . . ,xσ(t) 1 ,xσ(i) 1 khæng ph£i l  d¢y ch½nh quy cõa (Nn)p. °t J := {j ∈ N|j ≤ t, j 6= i}. V¼ p 6∈ V(I), xσ(1), . . . , xσ(t) ∈ p v  xl = xσ(i) n¶n theo Bê · 2.1.8, (xσ(j) 1 )j∈J l  d¢y ch½nh quy cõa (Nn)p. Suy ra xl

1 = xσ(i)

1 khæng ph£i l  ph¦n tû ch½nh quy cõa (Nn)p/P

j∈J xσ(j)(Nn)p. Tø ¥y tçn t¤i q ⊆ p sao cho xσ(i)

1 ∈ qRp ∈ AssRp((Nn)p/P

j∈J xσ(j)(Nn)p). Do â xl = xσ(i) ∈ q vîi

q ∈ AssR(Nn/P

j∈J xσ(j)Nn)\V(I) ⊆ T, m¥u thu¨n vîi c¡ch chån xl. 2.3 Mët sè b§t ¯ng thùc cõa ë s¥u chi·u > k

Trong möc n y, chóng tæi s³ chùng minh mët sè b§t ¯ng thùc giúa c¡c gi¡ trà ên ành cõa depthk(I, Mn), depthk(I, Mn/Mn+1) v 

depthk(I, M/Mn), trong â (Mn) l  J−låc ên ành cõa M. Tr÷îc h¸t chóng ta câ bê · sau.

Bê · 2.3.1. Cho M, N, P l  c¡c R−mæun v  f : M →N, g : N → P l  c¡c R−çng c§u. Khi â n¸u dim(Kerf) ≤ k v  dim(Kerg) ≤ k th¼

dim(Ker(g◦f)) ≤ k.

Chùng minh. °t K = Ker(g ◦f). Chóng ta câ d¢y khîp sau

0→ K ∩Kerf → K → f(K) → 0.

Tø gi£ thi¸t ta suy ra dim(K ∩ Kerf) ≤ k v  dim(f(K)) ≤ k. Do â

dim(K) ≤ k.

Ti¸p theo chóng ta dòng Bê · Artin-Rees º chùng minh bê · sau. Bê · 2.3.2. Cho (Mn) l  J−låc ên ành cõa M v  J ⊆ I. Gi£ sû r¬ng J Mn = Mn+1 vîi måi n ≥ n0 v  I l  i¶an sinh bði x = x1, . . . , xt. Khi â vîi måi i, çng c§u tü nhi¶n Hi(x;Mn) → Hi(x;Mn0) l  çng c§u khæng khi n õ lîn.

Chùng minh. X²t biºu ç giao ho¡n sau vîi dáng v  cët l  khîp

0 0 0   y   y   y . . . Ki+1(x)⊗Mn+n0 di+1 −−→ Ki(x)⊗Mn+n0 di −−→ Ki−1(x)⊗Mn+n0 . . .   y   y   y . . . Ki+1(x)⊗Mn0 −−→δi+1 Ki(x)⊗Mn0 −−→δi Ki−1(x)⊗Mn0 . . . Ta câ

Kerdi = Kerδi ∩(Ki(x)⊗Mn+n0) = Kerδi ∩Jn(Ki(x)⊗Mn0).

Theo Bê · Artin-Rees, tçn t¤i mët sè nguy¶n k > 0 sao cho vîi måi n > k ta câ

Kerdi = Jn−k(Kerδi ∩Jk(Ki(x)⊗Mn0)) ⊆ Jn−kKerδi

⊆ JKerδi

V¼ J ⊆I n¶n ta câ J.Hi(x;Mn0) = 0. Tø ¥y J.Kerδi ⊆Imδi+1 v  ta câ

Kerdi ⊆ Imδi+1. Do â çng c§u tü nhi¶n Hi(x;Mn+n0) → Hi(x;Mn0)

l  çng c§u khæng khi n õ lîn.

ành lþ sau l  k¸t qu£ ch½nh cõa möc n y.

ành lþ 2.3.3. Cho (R,m) l  v nh àa ph÷ìng, I, J l  c¡c i¶an cõa R, M l  R−mæun húu h¤n sinh v  (Mn) l  J−låc ên ành cõa M. Khi â vîi méi k ≥ −1 ta câ c¡c m»nh · sau óng.

(i) Tçn t¤i c¡c giîi h¤n lim

n→∞depthk(I, Mn), lim

n→∞depthk(I, Mn/Mn+1) v 

lim

n→∞depthk(I, M/Mn).

(ii) Chóng ta luæn câ c¡c b§t ¯ng thùc

lim n→∞depthk(I, M/Mn) ≤ lim n→∞depthk(I, Mn/Mn+1) v  lim n→∞depthk(I, Mn)−1 ≤ lim n→∞depthk(I, Mn/Mn+1). (iii) N¸u J ⊆ I th¼ lim n→∞depthk(I, Mn/Mn+1) = lim n→∞depthk(I, Mn)−1. Chùng minh. (i). °t R(J) = ⊕n≥0Jn, R(M) = ⊕n≥0Mn v  G(M) = ⊕n≥0Mn/Mn+1. V¼ (Mn) l  J−låc ên ành n¶n tø Bê · 1.4.4 ta câ

R(M) v  G(M) l  c¡c R(J)−mæun ph¥n bªc húu h¤n sinh. Tø ành lþ 2.2.3 ta câ depthk(I, Mn) v  depthk(I, Mn/Mn+1) ên ành khi n õ lîn. Gi£ sû r¬ng r = depthk(I, Mn) v  s = depthk(I, Mn/Mn+1) vîi måi n ≥ a. Chóng ta s³ chùng minh depthk(I, M/Mn) ên ành.

Vîi méi n ≥a, °t f(n) = depthk(I, M/Mn). Tø d¢y khîp ng­n

chóng ta nhªn ÷ñc d¢y khîp

. . . →ExtiR−1(R/I,M/Mn) →ExtiR(R/I, Mn/Mn+1)

→ ExtiR(R/I, M/Mn+1) → ExtiR(R/I, M/Mn) → . . . Tø Bê · 2.1.5 ta câ dim(ExtiR(R/I, Mn/Mn+1)) ≤ k vîi måi i < s v 

dim(ExtiR(R/I, M/Mn)) ≤ k vîi måi i < f(n).

Suy ra dim(ExtiR(R/I, M/Mn+1)) ≤ k vîi måi i < min{s, f(n)}. Do â f(n+ 1)≥ min{s, f(n)} vîi måi n≥ a.

T÷ìng tü, v¼ dim(ExtiR(R/I, M/Mn+1)) ≤ k vîi måi i < f(n + 1)

v  dim(ExtiR−1(R/I, M/Mn)) ≤ k vîi måi i < f(n) + 1 n¶n ta câ

dim(ExtiR(R/I, Mn/Mn+1)) ≤ k vîi måi i < min{f(n+ 1), f(n) + 1}. Tø ¥y ta suy ra s ≥min{f(n+ 1), f(n) + 1}. Chóng ta x²t hai tr÷íng hñp nh÷ sau.

Tr÷íng hñp 1. Tçn t¤i n0 ≥ a sao cho f(n0) > s. Khi â f(n0 + 1) = s v  ta suy ra f(n) =s vîi måi n ≥ n0 + 1.

Tr÷íng hñp 2. f(n) ≤s vîi måi n ≥a. Trong tr÷íng hñp n y ta luæn câ f(n+ 1) ≥ f(n) vîi måi n≥ a. Do â f(n) l  mët h m t«ng v  bà ch°n tr¶n bði s. Tø ¥y f(n) ên ành khi n õ lîn.

(ii). Tø chùng minh tr¶n chóng ta công suy ra

lim n→∞depthk(I, M/Mn) ≤ s = lim n→∞depthk(I, Mn/Mn+1). Tø d¢y khîp ng­n 0 →Mn+1 →Mn → Mn/Mn+1 → 0 chóng ta nhªn ÷ñc d¢y khîp sau

. . .→ ExtiR(R/I, Mn) → ExtiR(R/I,Mn/Mn+1)

→ ExtiR+1(R/I, Mn+1) → . . . Tø d¢y khîp n y v  Bê · 2.1.5 ta câ dim(ExtiR(R/I, Mn/Mn+1)) ≤ k vîi måi i < depthk(I, Mn)−1, khi n≥ a.

Do â depthk(I, Mn/Mn+1) ≥ depthk(I, Mn) −1, khi n ≥ a. Tø ¥y ta suy ra lim n→∞depthk(I, Mn)−1 ≤ lim n→∞depthk(I, Mn/Mn+1). (iii). °t r = lim n→∞depthk(I, Mn) v  s = lim n→∞depthk(I, Mn/Mn+1). Chóng ta ch¿ c¦n chùng minh r¬ng s ≤ r − 1 khi J ⊆ I. Thªt vªy, gi£ sû ng÷ñc l¤i r¬ng s > r − 1. Chån n0 sao cho J Mn = Mn+1, r = depthk(I, Mn) v  s = depthk(I, Mn/Mn+1) vîi måi n ≥ n0. Gi£ sû r¬ng I ÷ñc sinh bði x = x1, . . . , xt. Tø M»nh · 2.1.6 ta câ c¡c ¯ng thùc

t−r = sup{i|dim(Hi(x;Mn)) > k}

v 

t−s = sup{i|dim(Hi(x;Mn/Mn+1)) > k}.

V¼ t − r ≥ t − s n¶n vîi måi i > t − r ta câ b§t ¯ng thùc

dim(Hi(x;Mn)) ≤ k v  dim(Hi(x;Mn/Mn+1)) ≤ k. L¤i tø d¢y khîp ng­n 0 →Mn+1 →Mn → Mn/Mn+1 → 0 ta nhªn ÷ñc d¢y khîp d i . . . →Ht−r+1(x;Mn/Mn+1) →Ht−r(x;Mn+1) →gn Ht−r(x;Mn) →Ht−r(x;Mn/Mn+1) → . . . V¼ dim(Ht−r+1(x;Mn/Mn+1)) ≤ k n¶n dim(Kergn) ≤k. Do â tø Bê · 2.3.1 ta câ

dim(Ker(gn0 ◦gn0+1 ◦. . .◦gn0+l)) ≤ k vîi måi l > 0.

M°t kh¡c, tø Bê · 2.3.2 ta câ çng c§u Ht−r(x;Mn0+l) →Ht−r(x;Mn0)

lîn, i·u n y khæng thº x£y ra v¼ t−r = sup{i|dim(Hi(x;Mn)) > k}. Nh÷ vªy s= r −1 v  (iii) ÷ñc chùng minh.

H» qu£ sau ÷ñc chóng tæi sû döng º chùng minh mët sè ành lþ trong Ch÷ìng 3.

H» qu£ 2.3.4. Cho (R,m) l  v nh àa ph÷ìng, I, J l  hai i¶an cõa R v  M l  R−mæun húu h¤n sinh. Khi â

lim

n→∞depthk(I, JnM/Jn+1M) ≥ lim

n→∞depthk(I, M/JnM).

2.4 K¸t luªn Ch÷ìng 2

Trong ch÷ìng n y chóng tæi ¢ thu ÷ñc mët sè k¸t qu£ sau.

- Chùng minh mët sè cæng thùc t½nh depthk(I, M) qua chi·u cõa mæun mð rëng, çng i·u Koszul v  àa ph÷ìng hâa.

- Chùng minh depthk(I, Nn) ên ành khi n õ lîn.

- Chùng minh t½nh ên ành cõa d¢y ch½nh quy chi·u > k ho¡n và ÷ñc v  d¢y I−låc ch½nh quy ho¡n và ÷ñc cõa Nn.

- Chùng minh c¡c b§t ¯ng thùc li¶n h» giúa c¡c gi¡ trà ên ành cõa

depthk(I, Mn), depthk(I, Mn/Mn+1) v  depthk(I, M/Mn), trong â

Ch֓ng 3

ÊN ÀNH TI›M CŠN CÕA MËT SÈ TŠP I–AN NGUY–N TÈ

LI–N K˜T HOC GN K˜T

Trong to n bë ch÷ìng n y, chóng tæi luæn gi£ thi¸t (R,m) l  v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng, I, J l  hai i¶an cõa R, M l  R−mæun húu h¤n sinh v  A l  R−mæun Artin. Thay v¼ dòng c¡c kþ hi»u

depth−1(I, M), depth0(I, M) v  depth1(I, M), chóng tæi sû döng c¡c kþ hi»u quen thuëc l¦n l÷ñt l  depth(I, M),f-depth(I, M) v  gdepth(I, M). Rã r ng r¬ng måi d¢y ch½nh quy ·u l  d¢y låc ch½nh quy v  måi d¢y låc ch½nh quy ·u l  d¢y ch½nh quy suy rëng nh÷ng chi·u ng÷ñc l¤i nâi chung khæng óng. Do â ta luæn câ

depth(I, M) ≤ f-depth(I, M) ≤ gdepth(I, M).

N«m 2005, L. T. Nh n [40] chùng minh gdepth(I, M) l  sè nguy¶n i nhä nh§t sao cho HIi(M) câ gi¡ væ h¤n. Tø i·u n y v  düa v o k¸t qu£ cõa Khashyarmanesh v  Salarian [26], cæ ta ch¿ ra r¬ng AssR(HIi(M))

l  tªp húu h¤n vîi måi i ≤ gdepth(I, M) (xem [40, ành lþ 5.6]). °t r1(n) = gdepth(I, JnM/Jn+1M) v  s1(n) = gdepth(I, M/JnM). Khi â c¡c tªp AssR(HIi(JnM/Jn+1M)) v  AssR(HIj(M/JnM))húu h¤n vîi måi i ≤ r1(n) v  j ≤ s1(n). Hìn núa, theo ành lþ 2.2.3 ta câ r1(n) v  s1(n)

tæi quan t¥m ¸n t½nh ên ành cõa c¡c tªp AssR(HIi(JnM/Jn+1M)) v 

AssR(HIj(M/JnM)) vîi måi i ≤r1 v  j ≤ s1.

Möc ½ch ch½nh cõa chóng tæi trong ch÷ìng n y l  nghi¶n cùu t½nh ên ành cõa mët sè tªp i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa mæun èi çng i·u àa ph÷ìng ùng vîi c¡c mæun JnM/Jn+1M v  M/JnM. Ngo i ra, chóng tæi cán nghi¶n cùu t½nh ên ành cõa tªp i¶an nguy¶n tè g­n k¸t cõa mæun èi çng i·u àa ph÷ìng vîi gi¡ cüc ¤i.