Khi vốn công và tư nhân bổ sung, sự ra tăng của vốn công sẽ nâng cao tỷ lệ năng trưởng của một quốc gia, ít nhất là lên một điểm.
Để minh họa, giả sử phương trình (1) có thể được minh họa bởi hàm Cobb – Douglas:
Trong đó: y=Y/L là năng suất lao động của một cơng nhân; k=K/L là vốn tư nhân trên một công nhân; g=G/L là vốn công của một công nhân, hệ số k là đại diện cho hệ số co dãn của sản lượng tổng hợp với nguồn vốn tư nhân và vốn công (giả sử cũng là tỷ lệ tiết kiệm tư nhân không bị ảnh hưởng bởi đầu tư tư nhân).
Dài hạn hoặc ổn định mức sản lượng đầu ra của một cơng nhân được viết bởi hàm:
(iii)
Trong đó: là cổ phần của đầu tư tư nhân trong thu nhập quốc dân; là sổ phần của đầu tư công trong thu nhập quốc dân; là khấu hao vốn tư và vốn công tương
ứng và .
Với mơ hình này dự đốn rằng, trong dài hạn các nước có tỷ lệ cao hơn của đầu tư cơng sẽ có mức năng suất trên một cơng nhân lớn hơn. Trong ngắn hạn và trung hạn các quốc gia có tỷ lệ cao hơn của đầu tư cơng sẽ có tỷ lệ tăng trưởng kinh tế cao hơn (trong trường hợp dài hạn năng suất lao động ổn định).
2.4.2. Mơ hình Kaldor
Cho rằng nguồn gốc tăng trưởng kinh tế phụ thuộc vào phát triển tiến bộ kỹ thuật, tức trình độ cơng nghệ T. Mơ hình này bổ sung thêm ngoài yếu tố vốn sản xuất, tăng trưởng kinh tế cịn tùy thuộc vào trình độ phát triển cơng nghệ, đặc biệt là đối với các nước đang phát triển thường chưa chú trọng đúng mức vai trò phát triển của khoa học và cơng nghệ trong chính sách phát triển kinh tế.
2.4.3. Mơ hình Barro
Nghiên cứu của Barro (1990) là một trong những nghiên cứu đầu tiên về điểm tối ưu đầu tư công. Theo ông tác động của đầu tư cơng lên tăng trưởng kinh tế có ba giai
đoạn và đi theo hình chữ U ngược. Mức độ đầu tư công đến điểm A (lúc đầu tư cơng cịn thấp) làm tăng lợi nhuận đầu tư tư nhân, tỷ lệ tiết kiệm tư nhân và tỷ lệ tăng trưởng. Đây là giai đoạn “bổ sung”. Sau điểm A, tác động (tiêu cực) của thuế cao hơn sẽ bù đắp những ảnh hưởng (tích cực) của vốn nhiều hơn vào lợi nhuận để đầu tư tư nhân và sự gia tăng hơn nữa của đầu tư tư nhân (Biểu thị sụt giảm tăng trưởng đầu tư tư nhân và sự tăng lên của đầu tư công) và sự sụt giảm của tỷ lệ tiết kiệm tư nhân. Tuy nhiên giữa điểm A và B, tăng đầu tư công vẫn tiếp tục nâng cao tốc độ tăng trưởng kinh tế vì đầu tư cơng vẫn có năng suất cao. Đây có thể gọi là giai đoạn “hiệu quả”. Qua điểm B, đầu tư công kém năng suất hơn và làm tăng tỷ lệ tiết kiệm cùng với đó là sự giảm sút của tỷ lệ tăng trưởng. Đây gọi là giai đoạn “lấn át không hiệu quả”.Mức tối ưu của đầu tư công (tính trên GDP) là điểm B (hình 1).
Tốc độ tăng trưởng kinh tế
A B Đầu tư công/ GDP