khơng phụ thuộc vào tham số.
* Phương pháp:
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có 2 nghiệm x1 và x2 .Nếu nhận thấy phương trình ln có nghiệm thì chứng minh điều đó
Bước 2: Áp dụng định lí Vi-ét để tìm mối quan hệ giữa x1, x2 với tham số. Bước 3: Dùng quy tắc cộng đại số hoặc quy tắc thế để khử m
* Ví dụ:
Ví dụ 1: Cho phương trình : x2 m 2 x 2 m 1 0
có 2 nghiệm x1 , x2. Hãy tìm một hệ thức giữa x1, x2 khơng phụ thuộc vào m.
Giải
Ta có: với mọi m Do đó phương trình đã cho ln có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 với mọi m. Áp dụng định lí Vi-ét ta có: {x1+x
2=m+2(1)¿¿¿¿
Cách 1: Từ (1) suy ra: m = x1 + x2 - 2. Thay vào (2) ta được:
x1.x2 = 2(x1 + x2 - 2) -1 ⇔ 2(x1 + x2) - x1.x2 - 5 = 0
Cách 2: {x1+ x
2=m+ 2
¿ ¿ ¿ ¿
Trừ vế với vế hai phương trình của hệ phương trình trên ta được: 2(x1 +x2) - x1.x2 = 5. Hay 2(x1 +x2) - x1.x2 - 5 = 0
Vậy : 2(x1 +x2) - x1.x2 - 5 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x1, x2 khơng phụ thuộc vào m.
Ví dụ 2: Cho phương trình: (m - 1)x2 – 2mx + m - 4 = 0 có 2 nghiệm x1 và x2. Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 khơng phụ thuộc vào m.
Giải
Để phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thì:
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: Rút m từ (1), ta có:
Rút m từ (2), ta có: Từ (3) và (4), ta có:
Vậy: 3(x1 +x2) + 2x1.x2 - 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
* Bài tập áp dụng:
Bài 1. Cho phương trình: x2 – (m + 2)x + (2m - 1) = 0 có 2 nghiệm x1 và x2. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 khơng phụ thuộc m.
Bài 2. Cho phương trình: x2 + (4m + 1) x + 2(m - 4) = 0 có 2 nghiệm x1 và x2. Lập một hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m.
Bài 3. Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình: (m - 1)x2– 2mx + m - 4 = 0. Chứng minh rằng biểu thức A=3(x1 + x2 ) + 2x1x2 - 8 không phụ thuộc giá trị của m.