thức của biểu thức chứa nghiệm của phương trình bậc hai.
* Phương pháp:
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm x1, x2 (nếu nhận thấy phương trình ln có nghiệm thì chứng minh điều đó). Áp dụng định lí Vi-ét để tính S = x1+x2 , P = x1.x2
Bước 2: Biến đổi biểu thức về dạng chỉ chứa tổng và tích hai nghiệm, thay S, P vào biểu thức, ta được biểu thức chỉ chứa tham số.
Bước 3: Sử dụng các phương pháp tìm cực trị đại số, chứng minh bất đẳng thức để giải bài tốn.
* Ví dụ:
Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 + (2m - 1)x - m = 0. Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để: A = x12 +x22 + 6x1x2 có giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Ta có: = (2m - 1)2 – 4.1.(-m) = 4m2 + 1 > 0 với mọi m. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
Theo đề bài ta có: A = x12 + x22 + 6x1x2 = (x1 + x2 )2 + 4x1x2
= (2m – 1)2 – 4m = 4m2 - 8m + 1 = 4(m – 1)2 - 3 ¿ -3 với mọi
m
Dấu bằng xảy ra khi: 4(m – 1)2 = 0 hay m = 1 Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là -3 khi m = 1
Ví dụ 2: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = x1x2 - 2x1 - 2x2 và tìm giá trị của m.
Giải
Để phương trình đã cho có nghiệm thì:
' = (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5) 0 - 5 m - 1 (*) m2+4
m+3
Khi đó theo hệ thức Vi-ét ta có:
Ta có: x1x2 - 2x1 - 2x2 = x1x2 - 2(x1 +x2 ) =
Do đó: B =
Vì - 5 m - 1 nên (m + 1)(m + 7) 0. Suy ra: B =
Dấu bằng xảy ra khi (m + 4)2 = 0 hay m = - 4 (thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy B đạt giá trị lớn nhất là:
Ví dụ 3: Giả sử x1, x2
Chứng minh: C = . Dấu bằng xảy ra khi nào?
Giải
Phương trình bậc hai ẩn x có: a = 2019, c = -2019.
Hệ số a, c trái dấu nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Theo hệ thứcVi-ét ta có: x1 + x2 =
Ta có:
= 6[(x1 + x2)2 - 4x1x2]= 6[(x1 + x2)2 + 4]
= 6(x1 + x2)2 +24 24 với mọi x1, x2
Dấu bằng xảy ra khi: (x1 + x2)2 = 0 x1 + x2 = 0
⇔ m=2020 2019
Ví dụ 4: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x2 - 18x + 1= 0 .
Đặt Sn = x1n + x2n (n N*). Chứng minh Sn+2 = 18 Sn+1 - Sn
Giải
Vì x1, x2 là nghiệm phương trình x2 - 18x + 1 = 0 nên theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 18 và x1x2 = 1 Ta có: Sn+2 = x1n+2 + x2n+2 và Sn+1 = x1n+1 + x2n+1 Mặt khác ta có: x1n(x12 - 18x1 + 1) + x2 n(x22 - 18x2 + 1) = 0 hay x1n+2+ x2n+2 - 18(x1n+1 + x2n+1) + (x1n + x2n) = 0 Sn+2 = 18 Sn+1 - Sn Vậy, Sn+2 = 18Sn+1 - Sn * Bài tập áp dụng:
Bài 1. Cho phương trình: x2 + (4m + 1)x + 2(m – 4) = 0, với x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình.Tìm m để biểu thức có giá trị nhỏ nhất.
Bài 2. Cho phương trình: x2 - 2(m - 4)x + m2 – 8 = 0 . Xác định m sao 2 nghiệm x1
và x2 thỏa mãn điều kiện : đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3. Cho phương trình bậc 2 ẩn x : x 2 2( m 1) x 2 m 2 3m 1 0
a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 0 m 1
b) Gọi x
1 , x
2 là nghiệm của phương trình , chứng minh rằng:Q =|x1+x2+x1 x2|≤9 |x1+x2+x1 x2|≤9
8
Bài 4. Cho phương trình x2 - 5mx – 4m = 0, (với m là tham số). Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Chứng minh rằng: x21 + 5mx2 – 4m >0