2.3 Phương trình mũ, phương trình logarit với một số phương
2.3.5 Phương pháp đánh giá
Ví dụ 2.3.12 Giải phương trình
2x2+1 = 2−√x.
Lời giải. Điều kiện x ≥ 0. Ta có
Vế trái= 2x2+1 ≥ 20+1 = 2 và Vế phải = 2−√x ≤ 2−0 = 2. Suy ra Vế trái ≥ Vế phải, dấu bằng xảy ra khi x = 0.
Vậy x= 0 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. Ví dụ 2.3.13 Giải phương trình
1−4x+ 2x+1 = 2x+ 2−x.
2−(4x−2.2x+ 1) = 2x + 2−x, hay 2−(2x−1)2 = 2x+ 2−x.
Vế trái= 2−(2x−1)2 ≤ 2−0 = 2 và Vế phải= 2x+ 2−x ≥ 2√
2x.2−x = 2. Suy ra Vế trái ≤Vế phải, dấu bằng xảy ra khi 2x −1 = 0; 2x = 2−x hay
x = 0.
Vậy x= 0 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. Ví dụ 2.3.14 Giải phương trình
log3 9−√x−1 = log2 x2 −2x+ 5.
Lời giải. Điều kiện x − 1 ≥ 0; 9 − √x−1 > 0; x2 − 2x + 5 > 0 hay
x ≥1; x < 82; (x−1)2 + 4> 0 suy ra x ∈ [1; 82) Ta có Vế trái= log3 9−√x−1≤ log39 = 2 và
Vế phải= log2 x2 −2x+ 5 = log2h(x−1)2 + 4i ≥ log24 = 2. Suy ra Vế trái≤Vế phải, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
√
x−1 = 0;(x−1)2 = 0 hay x = 1. Vậy x= 1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. Ví dụ 2.3.15 Giải phương trình sau
log2 4x2 + 8x+ 4−log2x = −2x2 + 4x+ 2. (2.13) Lời giải. Điều kiện x > 0. Phương trình (2.13) tương đương
log 4x+ 4 x + 8 = 4−2(1 −x)2. Ta có 4 x + 4x ≥ 8 hay 4 x + 4x+ 8≥ 16 tương đương log2 4 x + 4x+ 8 ≥ 4.
Vậy Vế trái(2.13)≥ 4; Vế phải(2.13)≤ 4. Do đó Vế trái(2.13)=Vế phải(2.13) khi và chỉ khi 4x = 4
x và x−1 = 0 hay x = 1(thỏa mãn). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
Ví dụ 2.3.16 Giải phương trình
Lời giải. Điều kiện 0 < x 6= 1. Nếu 0 < x <1 thì x+ 1 > 1, ta có logx(x+ 1)< logx1 = 0 = log 1 < log 2.
Nếu x > 1 thì x+ 1> x, ta có
logx(x+ 1)> logxx = 1 = log 10 > log 2. Vậy phương trình vơ nghiệm.
Ví dụ 2.3.17 Giải phương trình
log2x+ log3(x+ 1) = log4(x+ 2) + log5(x+ 3).
Lời giải. Điều kiện x > 0. Kiểm tra x = 2 là một nghiệm của phương trình. Nếu 0 < x <2 thì x 2 > x+ 2 4 > 1 và x+ 1 3 > x+ 3 5 > 1, Do đó, log2x 2 > log2 x+ 2 4 > log4 x+ 2
4 hay log2x > log4(x+ 2), log3x+ 1
3 > log3
x+ 3
5 > log5
x+ 3
5 hay log3(x+ 1) > log5(x+ 3). Suy ra log2x+ log3(x+ 1) > log4(x+ 2) + log5(x+ 3).
Giáo viên hướng dẫn học sinh là cho trường hợpx > 2. Tương tự cho trường hợp x > 2, ta được
log2x+ log3(x+ 1) < log4(x+ 2) + log5(x+ 3).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.