Phần này khảo sát cơ chế giao thoa mà nó độc lập với các hệ số kích thích, tức là khơng hạn chế các hệ số kích thích 𝑐𝑣 và tìm ra sự tuần hồn của (2.14)
2.4.1. Các đơn ảnh
Bằng cách kiểm tra (2.13), có thể thấy rằng 𝛿(𝑦, 𝐿) sẽ là một ảnh của 𝛿(𝑦, 0) nếu
𝑒𝑥𝑝 [𝑗𝑣(𝑣 + 2)𝜋
3𝐿𝜋 𝐿] = 1 ℎ𝑜ặ𝑐 −(1)
𝑣 (2.17)
Điều kiện đầu tiên là các sự thay đổi pha của tất cả các mode dọc theo L
phải khác số nguyên lần 2𝜋. Trong trường hợp này, tất cả các mode giao thoa với các pha tương đối giống nhau ở 𝑧 = 0; do đó, ảnh trường là bản sao trực tiếp của trường đầu vào. Điều kiện thứ hai là các sự thay đổi pha phải là bội số chẵn hoặc lẻ khác 𝜋. Trong trường hợp này, các mode chẵn sẽ cùng pha và các mode lẻ sẽ ngược pha. Bởi vì đối xứng lẻ đã được nêu ở (2.16); sự giao thoa tạo ra một ảnh phản chiếu tại mặt phẳng 𝑦 = 0.
Nhìn lại (2.15), đó là điều hiển nhiên rằng điều kiện thứ nhất và thứ hai của (2.17) sẽ đầy đủ tại
𝐿 = 𝑝(3𝐿𝜋) 𝑣ớ𝑖 𝑝 = 0, 1, 2, … (2.18)
Tương ứng với p chẵn hoặc p lẻ. Thừa số p biểu thị tính chất định kỳ của
ảnh dọc theo ống dẫn sóng đa mode. Do đó, các đơn ảnh trực tiếp và ảnh phản chiếu của trường đầu vào 𝛿(𝑦, 0) sẽ được hình thành bằng cơ chế giao thoa tổng quát tại khoảng cách 𝑧 tương ứng với bội số chẵn hoặc lẻ của chiều dài 3𝐿𝜋, được chỉ ra như ở hình 2-4. Nhờ tính chất này, các đơn ảnh trực tiếp và đơn ảnh được nhân đôi được ứng dụng trong các bộ ghép chéo hoặc bộ ghép ngang.
2.4.2. Các đa ảnh
Ngoài các đơn ảnh tại các khoảng cách được đưa ra bởi (2.18), các đa ảnh cũng được tìm ra tốt. Các đa ảnh đầu tiên thu được ở giữa vị trí đơn ảnh trực tiếp và đơn ảnh phản chiếu tại khoảng cách
𝐿 = 𝑝
2(3𝐿𝜋) 𝑣ớ𝑖 𝑝 = 1, 3, 5, … (2.19)
Toàn bộ trường tại các chiều dài này được tìm thấy bằng cách thay thế (2.19) vào (2.13) 𝛿 (𝑦,𝑝 23𝐿𝜋) = ∑ 𝑐𝑣 𝑚−1 𝑣 = 0 𝜓𝑣(𝑦) 𝑒𝑥𝑝 [𝑗𝑣(𝑣 + 2)𝜋 3𝐿𝜋 𝑝 ( 𝜋 2)] (2.20)
với p là một số nguyên lẻ. Nhắc đến phương trình (2.15) và các điều kiện đối xứng trường mode của (2.16), (2.20) có thể viết lại là
𝛿 (𝑦,𝑝 23𝐿𝜋) = ∑ 𝑐𝑣𝜓𝑣(𝑦) + ∑(−𝑗)𝑝𝑐𝑣𝜓𝑣(𝑦) 𝑣 𝑙ẻ 𝑣 𝑐ℎẵ𝑛 (2.21) =1 + (−𝑗) 𝑝 2 𝛿(𝑦, 0) + 1 − (−𝑗)𝑝 2 𝛿(−𝑦, 0)
Phương trình (2.21) mơ tả một cặp ảnh của trường 𝛿(𝑦, 0), ở trạng thái pha vng góc nhau với biên độ 1 √2⁄ tại khoảng cách 𝑧 = 1
2(3𝐿𝜋), 3
2(3𝐿𝜋), …
được chỉ ra ở hình 2-3. Sự hình thành hai ảnh này có thể sử dụng để tạo ra một bộ ghép 3 dB 2x2.
Cơng thức (2.10) có thể giải thích như một sự mở rộng và tại các khoảng cách
𝐿 = 𝑝
𝑁(3𝐿𝜋) (2.22)
với 𝑝 ≥ 0 và 𝑁 ≥ 1 là các số ngun mà khơng có ước số chung.
Điều này dẫn tới N ảnh (thông thường không cách đều nhau) của trường
ngõ vào 𝛿(𝑦, 0) được hình thành bên trong hướng dẫn vật lý (ở các biên ngang có hướng dẫn), như được chỉ ra ở hình 2-5. Cơ chế đa ảnh cho phép thực hiện
các bộ ghép quang 𝑁 × 𝑁 hoặc 𝑁 × 𝑀. Để thiết bị ngắn nhất thì thường chọn 𝑝 = 1. Trong trường hợp này, các pha của các tín hiệu quang của một bộ ghép
MMI 𝑁 × 𝑁 cho bởi
𝜑𝑟𝑠 = 𝜋
4𝑁(𝑠 − 1)(2𝑁 + 𝑟 − 𝑠) + 𝜋 đố𝑖 𝑣ớ𝑖 𝑟 + 𝑠 𝑐ℎẵ𝑛 𝜑𝑟𝑠 = 𝜋
4𝑁(𝑟 + 𝑠 − 1)(2𝑁 − 𝑟 − 𝑠 + 1) + 𝜋 đố𝑖 𝑣ớ𝑖 𝑟 + 𝑠 𝑙ẻ
(2.23)
Với 𝑟 = 1, 2, … , 𝑁 là ngõ vào của ống dẫn sóng được đánh số từ dưới lên
và 𝑠 = 1, 2, … , 𝑁 là ngõ ra của ống dẫn sóng được đánh số từ trên xuống.
(a)
(b)
Hình 2-5. Mơ hình cường độ ánh sáng theo lý thuyết tương ứng với cơ chế giao thoa cặp hoặc tổng quát ở trong hai ống dẫn sóng đa mode dẫn tới hình thành