Cấu trúc trung tâm của một thiết bị MMI là một ống dẫn sóng được thiết kế để hỗ trợ một lượng lớn các mode (thường thì số mode ≥ 3). Để phát ánh sáng vào và khơi phục ánh sáng từ ống dẫn sóng đa mode đó, một số các ống dẫn sóng truy cập được đặt ở vị trí bắt đầu và vị trí kết cuối của nó. Các thiết bị như vậy thường được gọi là các bộ ghép MMI 𝑁 × 𝑀 với N và M là số lượng ống
dẫn sóng ngõ vào và ngõ ra tương ứng.
Hình 2-1. Cấu trúc của một ống dẫn sóng đa mode MMI.
Một sự phân tích lan truyền đầy đủ có thể là cơng cụ lý thuyết tồn diện để mô tả hiện tượng sao ảnh trong các ống dẫn sóng đa mode. Nó khơng chỉ cung cấp nền tảng cơ bản đối với thiết kế và mơ hình số mà còn cung cấp một cái nhìn sâu sắc về cơ chế giao thoa đa mode. Một các tiếp cận khác bằng cách sử dụng các tia quang học, phương pháp lai, mơ phỏng BPM hoặc phân tích sự lan truyền mode MPA được đề xuất lần đầu tiên ở cho việc tạo ra các hình ảnh định kỳ.
Hiện tượng sao ảnh có thể tồn tại trong các cấu trúc ba chiều, đối với MPA thì nó kết hợp sự tính tốn mặt cắt ngang hai chiều có thể cung cấp một cơng cụ mơ phỏng hữu ích. Từ đó, ta có thể sử dụng cấu trúc hai chiều được minh họa như hình 2-1 để phân tích cho ống dẫn sóng đa mode mà kết quả thu được với tỉ lệ gần đúng đối với ống dẫn sóng đa mode ba chiều ở thực tế. Một kỹ thuật để
phân tích trong miền hai chiều phổ biến nhất đó là phương pháp chỉ số hiệu dụng EIM.
Hình 2-2. Mơ tả ống dẫn sóng đa mode cấu trúc hai chiều. Bên phải là hình chiếu của thiết bị theo phương Y-Z, bên trái là chiết suất hiệu quả của thiết bị.
2.3.1. Hằng số lan truyền
Hình 2-3. Ví dụ về các trường ψν(y) có biên độ chuẩn hóa tương ứng với 6 mode trong ống dẫn sóng đa mode.
Hình 2-1 cho thấy một ống dẫn sóng đa mode với độ rộng 𝑊𝑀𝑀𝐼, chiết suất
khúc xạ hiệu dụng của lõi 𝑛𝑐𝑜𝑟𝑒, chiết suất khúc xạ hiệu dụng của vỏ 𝑛𝑐𝑙𝑎𝑑𝑑𝑖𝑛𝑔. Ống dẫn sóng hỗ trợ m mode ngang (hình 2-2) với số mode 𝑣 = 0, 1, 2, … , (𝑚 −
𝑘𝑦𝑣2 + 𝛽𝑣2 = 𝑘02𝑛𝑐𝑜𝑟𝑒2 (2.1) Với 𝑘0 = 2𝜋 𝜆 (2.2) 𝑘𝑦𝑣 =(𝑣 + 1)𝜋 𝑊𝑒𝑣 (2.3)
Trong đó, 𝑊𝑒𝑣 là độ rộng hiệu dụng (phụ thuộc vào phân cực) có liên quan tới độ sâu thẩm thấu của mỗi mode, liên kết với các thay đổi Goos – Hahnchen tại các biên. Đối với các ống dẫn sóng có độ tương sai cao giữa lớp vỏ và lõi thì độ sâu thẩm thấu là rất nhỏ nên 𝑊𝑒𝑣 = 𝑊𝑀𝑀𝐼. Nhìn chung, độ rộng hiệu dụng
𝑊𝑒𝑣 có thể xấp xỉ độ rộng hiệu dụng 𝑊𝑒0 tương ứng với mode cơ bản, (để đơn giản 𝑊𝑒0 = 𝑊𝑒) 𝑊𝑒𝑣 ≈ 𝑊𝑒 = 𝑊𝑀𝑀𝐼 + (𝜆 𝜋) ( 𝑛𝑐𝑙𝑎𝑑𝑑𝑖𝑛𝑔 𝑛𝑐𝑜𝑟𝑒 ) 2𝜎 (𝑛𝑐𝑜𝑟𝑒2 − 𝑛𝑐𝑙𝑎𝑑𝑑𝑖𝑛𝑔2 )−(1 2)⁄ (2.4)
Với 𝜎 = 0 cho mode TE và 𝜎 = 1 cho mode TM. Bằng cách mở rộng nhị
thức với 𝑘𝑦𝑣2 ≪ 𝑘02𝑛𝑐𝑜𝑟𝑒2 , hằng số lan truyền βv có thể suy ra từ (2.1) – (2.3)
𝛽𝑣 ≈ 𝑘0𝑛𝑐𝑜𝑟𝑒 −(𝑣 + 1)2𝜋𝜆
4𝑛𝑐𝑜𝑟𝑒𝑊𝑒2 (2.5)
Do đó, hằng số lan truyền trong ống dẫn sóng đa mode gần như phụ thuộc bậc hai liên quan tới số mode v. Bằng cách định nghĩa 𝐿𝜋 như chiều dài phách của hai mode bậc thấp nhất
𝐿𝜋 = 𝜋
𝛽0− 𝛽1 ≈
4𝑛𝑐𝑜𝑟𝑒𝑊𝑒2
3𝜆 (2.6)
Hằng số lan truyền có thể được viết lại
𝛽0 − 𝛽𝑣 ≈𝑣(𝑣 + 2)𝜋
2.3.2. Phân tích lan truyền mode
Một trường đầu vào 𝛿(𝑦, 0) áp đặt tại 𝑧 = 0 và hoàn toàn nằm trong độ
rộng 𝑊𝑀𝑀𝐼 (hình 2-4) sẽ bị phân rã thành các sự phân bố trường 𝜓𝑣(𝑦) của tất
cả các mode
𝛿(𝑦, 0) = ∑ 𝑐𝑣 𝑣
𝜓𝑣(𝑦) (2.8)
Hình 2-4. Ống dẫn sóng đa mode chứa trường ngõ vào δ(y, 0), một đơn ảnh đảo ngược tại (3Lπ), một đơn ảnh trực tiếp tại 2(3Lπ), hai ảnh được hình thành tại
(1/2)(3Lπ) và (3/2)(3Lπ).
Với sự tổng hợp của nó được hiểu là bao gồm các mode bức xạ. Hệ số kích thích trường 𝑐𝑣 có thể ước lượng bằng cách sử dụng tích phân lặp dựa vào các mối quan hệ trực giao của trường
𝑐𝑣 =∫ 𝛿(𝑦, 0)𝜓𝑣(𝑦)𝑑𝑦
√∫ 𝜓𝑣2(𝑦)𝑑𝑦 (2.9)
Nếu phổ không gian của trường đầu vào 𝛿(𝑦, 0) đủ hẹp để khơng kích thích các mode khơng muốn (một điều kiện thỏa mãn cho tất cả các ứng dụng thực tế), nó có thể phân rã thành các mode riêng lẻ
𝛿(𝑦, 0) = ∑ 𝑐𝑣 𝑚−1
𝑣 = 0
𝜓𝑣(𝑦) (2.10)
Ảnh trường tại vị trí 𝑧 có thể viết lại như một sự chồng chất của tất cả sự
phân bố trường của các mode
𝛿(𝑦, 𝑧) = ∑ 𝑐𝑣 𝑚−1
𝑣 = 0
𝜓𝑣(𝑦) exp[𝑗(𝜔𝑡 − 𝛽𝑣𝑧)] (2.11)
Lấy pha của mode cơ bản như một thừa số chung, bỏ nó ra ngồi tổng và giả sử sự phụ thuộc thời gian 𝑒𝑥𝑝(𝑗𝜔𝑡) là hàm ẩn, ảnh trường 𝛿(𝑦, 𝑧) trở thành
𝛿(𝑦, 𝑧) = ∑ 𝑐𝑣 𝑚−1
𝑣 = 0
𝜓𝑣(𝑦) exp[𝑗(𝛽0− 𝛽𝑣)𝑧] (2.12)
Một phương trình hữu dụng đối với trường tại một khoảng cách 𝑧 = 𝐿, thay thế (2.7) vào (2.12) 𝛿(𝑦, 𝐿) = ∑ 𝑐𝑣 𝑚−1 𝑣 = 0 𝜓𝑣(𝑦) 𝑒𝑥𝑝 [𝑗𝑣(𝑣 + 2)𝜋 3𝐿𝜋 𝐿] (2.13)
Hình dạng của trường 𝛿(𝑦, 𝐿) và ảnh của trường được hình thành và nó
được xác định bởi hệ số kích thích 𝑐𝑣 và thuộc tính của nhân tử pha mode
𝑒𝑥𝑝 [𝑗𝑣(𝑣 + 2)𝜋
3𝐿𝜋 𝐿] (2.14)
Có thể thấy rằng trong những trường hợp nhất định, trường 𝛿(𝑦, 𝐿) được tái tạo lại (sao ảnh) của trường ngõ vào 𝛿(𝑦, 0). Chúng ta gọi đó là cơ chế sao ảnh tổng quát mà nó độc lập với các hệ số kích thích; và cơ chế giao thoa bị hạn chế mà nó thu được bởi sự kích thích các mode nhất định.
Tính chất sau sẽ cung cấp hữu ích cho việc đối chiếu
𝑣(𝑣 + 2) = {𝑐ℎẳ𝑛 𝑛ế𝑢 𝑣 𝑐ℎẵ𝑛
Và
𝜓𝑣(−𝑦) = {𝜓𝑣(𝑦) 𝑛ế𝑢 𝑣 𝑐ℎẵ𝑛
−𝜓𝑣(𝑦) 𝑛ế𝑢 𝑣 𝑙ẻ (2.16)