Nghiệm của phương trình vi phân này gồm hai thành phần :
y(t) = yqđ (t) + y0 (t) (4.2)
- yqđ (t): là nghiệm tổng quát của (5.1) khi vế phải bằng 0, đặc trưng cho quá trình quá độ.
- y0 (t): là nghiệm riêng của (5.1) khi có vế phải, nó đặc trưng cho q trình xác lập .
Quá trình xác lập là quá trình ổn định, vì vậy chỉ cần xét quá trình quá độ. Nếu quá trình quá độ theo thời gian bị triệt tiêu thì hệ ổn định, nếu khơng triệt tiêu thì hệ khơng ổn định. Mà nghiệm q độ được biểu diễn bằng biểu thức tổng quát sau:
1 . i n s t qd i i y c e (4.3)
Trong đó si là nghiệm của phương trình đặc trưng :
a0sn + a1sn-1 + . . . + an = 0 (4.4)
Từ những nhận xét trên ta có thể kết luận như sau: Một hệ thống được gọi là ổn định nếu quá trình quá độ tắt dần theo thời gian. Hệ thống không ổn định nếu quá trình quá độ tăng dần theo thời gian. Hệ thống ở biên giới ổn định nếu q trình q độ khơng đổi hoặc dao động không tắt dần.
4.1.2 Nhận xét chung :
- Hệ thống sẽ ổn định khi và chỉ khi tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính có phần thực âm (tất cả các nghiệm nằm ở nửa bên trái mặt phẳng phức).
- Hệ thống sẽ ở biên giới ổn định nếu phương trình đặc tính có ít nhất một nghiệm thuần ảo còn tất cả các nghiệm khác là nghiệm thực âm hoặc nghiệm phức có phần thực âm (có ít nhất một nghiệm nằm trên trục ảo còn các nghiệm còn lại nẳm ở nửa trái mặt phẳng phức).
40
- Hệ thống sẽ không ổn định nếu phương trình đặc tính có ít nhất một nghiệm có phần thực dương (có ít nhất một nghiệm nằm ở nửa phải mặt phẳng phức).
Như vậy để xét tính ổn định của hệ thống ta cần phải tìm nghiệm của phương trình vi phân rồi lấy giới hạn. Việc này rất khó khăn, nên để xét ổn định chỉ cần tìm nghiệm của phương trình đặc trưng . Trong thực tế người ta tìm mối quan hệ giữa các hệ số của phương trình đặc trưng với các nghiệm có phần thực âm để đánh giá tính ổn định của hệ. Đó là các tiêu chuẩn ổn định. Có hai tiêu chuẩn ổn định:
- Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tìm điều kiện ràng buộc giữa các hệ số của phương trình đặc tính để hệ ổn định. Đó là các tiêu chuẩn Routh, Hurwitz
- Tiêu chuẩn ổn định tần số: Thơng qua đặc tính tần số của hệ thống để xét tính ổn định. Đó là các tiêu chuẩn ổn định Mikhailơp, Nyquist