Sử dụng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz để thiết kế sự ổn định

44

Hình 4.1. Hệ thống có hệ số khuếch đại K chưa biết

Tìm phạm vi của hệ số khuếch đại K để hệ thống ổn định, không ổn định hay ở biên giới ổn định. Giải: Hàm truyền của hệ kín là: T (s) = K s 3 + 18s 2 + 77s + K Thành lập bảng Routh:

Giả thiết K > 0. Các phần tử trong cột đầu tiên đều dương ngoại trừ ở hàng s1. Giá trị có thể dương, âm hay bằng không tuỳ thuộc vào giá trị của K.

Nếu K < 1386 thì tất cả các phần tử của cột đầu tiên đều dương, khơng có sự đổi dấu do vậy các điểm cực nằm bên trái trục ảo. Vậy hệ thống ổn định với K < 1386

Nếu K > 1386 thì phần tử ở hàng s1 âm và trong cột đầu tiên có sự đổi dấu hai lần do vậy có hai nghiệm nằm bên phải trục ảo và một nghiệm nằm bên trái trục ảo. Điều này có nghĩa là hệ thống khơng ổn định khi K > 1386

Nếu K = 1386 thì sẽ xuất hiện số o ở hàng s1 quay lại hàng s2 và thay K = 1386. Sau đó lập đa thức phụ:

45 P(s) = 18s2 + 1386 Lấy vi phân :

Thay các hệ số trong đa thức vào bảng Routh

Nhận xét:

- Các phần tử trong cột thứ nhất đều dương và khơng có sự đổi dấu.

- Đa thức có bậc chẵn (s2) có hai nghiệm nằm trên trục ảo và nghiệm còn lại nằm bên trái trục ảo.

Do vậy hệ thống ở biên giới ổn định khi K = 1386.

Câu hỏi bài tập chương 4

Câu 1. Trình bày phương pháp xét tính ổn định theo tiêu chẩn Routh Câu 2. Trình bày phương pháp xét tính ổn định theo tiêu chuẩn hurwitz Bài 1:

Sử dụng tiêu chuẩn ROUTH hoặc HURWITZ xét tính ổn định các hệ thống có đa thức đặc tính sau a) 6 5 4 3 2 1.1s 7.25s 18.6s 24.84s 18.2s 6.69s1.08 b) 5 4 3 2 5s 47s 140.55s 168.67s 82.63s0.72 c) 5 4 3 2 25s 87.5s 80s 5.5s  8.64s0.72 d) 3 2 8 22 20 s  s  s e) 4 3 2 10 38 64 40 s  s  s  s ( ) 36 0 dP s s ds  

46