Bóng của hình trịn

Hình 2.6. Đặt cốc nước nằm nghiêng

Nhóm 2: Báo cáo về các cách vẽ đƣờng elip

Đóng lên một bảng gỗ hai chiếc đinh tại hai điểm F1 và F2. Lấy một vịng

dây kín khơng đàn hồi, có độ dài lớn hơn khoảng cách F F1 2. Quàng sợi dây vào hai chiếc đinh, đặt đầu bút chì vào trong vịng dây rồi căng ra để vòng dây trở thành một tam giác. Di chuyển bút chì sao cho dây ln ln căng và áp sát mặt gỗ. Khi đó đầu bút chì sẽ vạch ra một đƣờng mà ta gọi là đƣờng elip.

Nhóm 3: Báo cáo về video hƣớng dẫn vẽ elip

https://www.facebook.com/HuaXiaYuLe/videos/289471935020663/UzpfSTE wMDAwMjM5MjE2NzIwMToyMTAxNDc0NTI2NjA4OTMy/

https://www.youtube.com/watch?v=0fPc6tvGK8Q

Nhóm 4: Thực hành tạo elíp bằng mơ hình [13, tr. 45]

Mơ hình 1:

Làm một hình trụ bằng chất dẻo. Cắt hình trụ theo một góc xiên chéo.

Quan sát vết cát và nhận xét hình dạng vết cắt. Mơ hình 2:

Làm một hình nón từ chất dẻo.

Dùng dao hoặc dây kim loại cắt hình nón theo phƣơng nghiêng so với đáy của hình nón.

Hình 2.7. Tạo elip từ mặt món

Nhƣ vậy ta có thể kết luận

* Elip là đường cong kín khi cắt hình nón theo một mặt phẳng cắt, khơng

vng góc với trục của hình nón.

B.HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC B.1. Hình thành kiến thức (HTKT )1: Định nghĩa - Mục tiêu: Xây dựng định nghĩa elip

- Nội dung, phương thức tổ chức:Giáo viên đặt câu hỏi

- Chuyển giao : Học sinh làm việc theo cá nhân rồi trả lời câu hỏi

- Cơ hội học tập trải nghiệm và phát triển năng lực cho HS: Thông qua hoạt động HS biết chỉ ra chứng cứ, lí lẽ để đƣa ra định nghĩa elip. Từ đó hình thành và phát triển năng lực tự học, năng lực sử dụng ngôn ngữ, năng lực tƣ duy và suy luận.

GV: Từ những kiến thức đã tìm hiểu ở trên các em hãy tìm ra mối quan hệ giữa điểm M nằm trên Elip và hai điểm cố định F1, F2 ?

HS: chỉ ra đƣợc tính chất MF1MF2 2aF F1 2

GV: cho HS khái quát để đƣa ra định nghĩa về đƣờng elip, từ đó giáo viên chốt định nghĩa

Định nghĩa [12, tr. 85]

Các điểm F1 và F2 đƣợc gọi là các tiêu điểm của Elip. Độ dài F F1 2 2c

đƣợc gọi là tiêu cự của elip.

Đƣờng thẳng đi qua hai tiêu điểm đƣợc gọi là trục lớn, trục lớn cắt elip tại 2 điểm là 2 đỉnh của elip, trung điểm của đoạn thẳng này là tâm của elip.

Đƣờng thẳng vng góc với trục lớn tại tâm của elip đƣợc gọi là trục nhỏ của elip.

B.2. HTKT2 : Bán kính qua tiêu và phƣơng trình chính tắc

- Mục tiêu: Xây dựng phƣơng trình chính tắc của elip, độ dài bán kính qua

tiêu của elip.

- Nội dung, phương thức tổ chức: Giáo viên đặt tình huống học tập, tổ chức

dạy học tập trung.

- Kỹ thuật dạy học: Dạy học theo nhóm,tập trung, vấn đáp tích cực. - Chuyển giao : Học sinh làm việc

theo cá nhân, theo nhóm rồi trả lời câu hỏi

- Cơ hội học tập trải nghiệm và phát triển năng lực cho HS: Thơng

qua hoạt động hình thành và phát triển năng lực tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác cho HS.

GV đƣa tình huống: Cho elip ở phần trên. Ta chọn hệ tọa độ Oxy có gốc là trung điểm của đoạn thẳng F1F2. Trục Ox trùng với đƣờng thẳng F1F2. Khi đó mỗi điểm M x y ; thuộc elip tính MF1, MF2 ?

HS: Thảo luận theo nhóm rút ra các kết quả

1 cx; 2 cx.

2 2

2 2 2 1.

x y

a a c 



GV: Cho một nhóm lên bảng trình bày kết quả, cả lớp theo dõi và nhận xét. GV: Yêu cầu học sinh phát biểu định nghĩa về elip trong hệ trục tọa độ Oxy. Kiến thức cần đạt:

Trong hệ trục tọa độ Oxy phƣơng trình chính tắc của Elip có dạng

2 2 2 2 1.

x y

a  b  với b2 a2 c2và a b 0

GV: Chú ý rằng phƣờng trình chuẩn của elip xét theo trục lớn là trục Oy có dạng

2 2 2 2 1.

x y

b  a  với b2 a2 c2 và a b 0

B.3. Củng cố phƣơng trình chính tắc của elip

- Mục tiêu: lập đƣợc phƣơng trình chính tắc của elip và vận dụng tìm bán

kính qua tiêu.

- Nội dung, phương thức tổ chức: Giáo viên đặt ra bài toán. Học sinh vận dụng năng lực giao tiếp và hợp tác để giải quyết vấn đề của giáo viên.

- Chuyển giao : Học sinh làm việc theo cá nhân rồi thảo luận với nhau trong

nhóm để tìm ra lời giải bài tốn.

- Cơ hội học tập trải nghiệm và phát triển năng lực cho HS: HS biết vận dụng các kiến thức vào giải bài tốn về elip. Từ đó hình thành và phát triển năng lực tính tốn, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề.

Ví dụ 1. Cho 3 điểm  5;0 ,  5;0

1 2

F  F và I 0;3 .

a, Viết phƣơng trình chính tắc của elip có tiêu điểm là F F1, 2và đi qua I. b, Khi Mchạy trên elip đó, khoảng cách MF1có giá trị nhỏ nhất và lớn nhất

bằng bao nhiêu?

GV: Cho học sinh tìm tịi các cách giải, gọi HS lên bảng làm bài.

HS: Tìm cách giải, lên bảng giải bài theo yêu cầu của GV, về nhà nghiên cứu sâu lời giải.

Hƣớng dẫn giải Elip có phƣơng trình chính tắc là 2 2 2 2 1. x y a  b  với b2 a2 c2và a b 0 Theo giả thiết ta có hệ phƣơng trình

2 2 2 2 2 2 5 14 0 3 3 1 a b a b a b              

Vậy phƣơng trình chính tắc của elip cần tìm là

2 2 1. 14 9 x  y  b, Ta có MF1 a cx a   vì        a x a a c x a c

Vậy MF1đạt giá trị nhỏ nhất bằng a c 14  5khi x 14 MF2 đạt giá trị lớn nhất bằng a c 14  5khi x  14.

Ví dụ 2. Cho elip có phƣơng trình 2 2

4 36

x  y 

Xác định tọa độ các đỉnh, độ dài trục lớn và trục nhỏ của elip. Hƣớng dẫn giải Đƣa phƣơng trình về dạng chính tắc 2 2 2 2 4 36 1 36 9 x y x  y     2 2 2 2 1 6 3 x y    Do đó ta xác định đƣợc a6,b3,c3 3.

Vậy tọa độ các đỉnh của elip là   '    ' 

6;0 , 6;0 , 0;3 , 0; 3 .

A A  B B 

Độ dài trục lớn bằng 2a 12, độ dài trục nhỏ 2b6. B.4. HTKT3 : Tâm sai của elip

- Mục tiêu: Xây dựng cơng thức tính tâm sai của elip

- Nội dung, phương thức tổ chức: Giáo viên cho các học sinh xem hình vẽ các đƣờng elíp với hệ số ,a b khác nhau, tính tỉ số c

a và so sánh nó với hình dạng

của các elip. Học sinh vận dụng năng lực giao tiếp và hợp tác để giải quyết vấn đề của giáo viên.

- Kỹ thuật dạy học: Dạy học giải quyết vấn đề kết hợp vấn đáp. - Chuyển giao : Học sinh làm việc theo cá nhân rồi trả lời câu hỏi

- Cơ hội hình thành và phát triển năng lực: Học sinh phát triển các năng lực

tính tốn, năng lực suy luận tốn học, năng lực giao tiếp và hợp tác.

- Kiến thức cần đạt

Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của elip gọi là tâm sai của elip và

đƣợc kí hiệu là e, tức là e c a

Các đƣờng thẳng 1:x a,

e

  và 2:x a

e

  đƣợc gọi là các đƣờng chuẩn của elip ứng với các tiêu điểm F F1, 2.

GV: Đƣa hình vẽ các hình elip 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 , 1 , 1 25 16 5 25 9 5 7 1 , 1 , 1 16 9 4 9 8 3 x y c x y c a b a a x y c x y c c d a a                                     HS: Tỉ số c

a càng nhỏ thì hình elip càng gần giống hình trịn(càng béo).

GV: Tỉ số này đƣợc gọi là tâm tỉ cự của elip. Yêu cầu HS phát biểu C. Ứng dụng thực tiễn

- Mục tiêu: Tính đƣợc các yếu tố của elip.

- Nội dung, phương thức tổ chức: Giáo viên đặt ra bài toán. Học sinh vận dụng năng lực giải quyết vấn đề để hoán thành nội dung.

- Cơ hội hình thành và phát triển năng lực: Học sinh phát triển các năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực giao tiếp và hợp tác.

Ví dụ 3 [8, tr 101]. Một đƣờng hầm xuyên qua núi có chiều rộng là 10m. Mặt cắt đứng của đƣờng hầm có hình dạng là nửa elip. Biết rằng tâm sai của elip là e0.5. Hãy tìm chiều cao của hầm đó?

Mở rộng : Một chiếc xe tải có chiều cao 4.2m và chiều rộng 2.2m đang chạy về phía hầm. Em hãy giúp bác lái xe biết xe có đi qua hầm đƣợc khơng hay phải lựa chọn con đƣờng khác để đi ?

GV: Cho học sinh tìm tịi các cách giải, gọi HS lên bảng làm bài.

HS: Tìm cách giải, lên bảng giải bài theo yêu cầu của GV, nghiên cứu sâu lời giảithơng qua câu hỏi mở rộng.

Hình 2.8. Mơ hình hầm xun núi

Hƣớng dẫn giải Độ dài trục lớn là 10 nên ta có a5.

Gọi chiều cao của hầm là b thì

1 . 5. 2,5

2

ca e 

Vậy chiều cao của hầm là 2 2 2 2

5 2,5 4,3

b a c    m.

Khi đó elip có phƣơng trình 2 2 1 25 18,75 x y  

Gọi M,N là giao điểm của đƣờng thẳng y 4, 2 với elip. Khi đó ta có hệ

2 2 4, 2 61 1 25 18, 25 73 x x     

Do đó chiều rộng của hầm ở độ cao 4,2m là 2x1,83m2,2m Vậy chúng ta nên khuyên bác lái xe chọn con đƣờng khác để đi. E: Trải nghiệm khám khá về elip

- Mục tiêu: Giúp học sinh vận dụng các kiến thức cơ bản về elip để áp dụng

giải một số bài toán về elip trong thực tế.

- Nội dung, phương thức tổ chức: Giáo viên đƣa ra bài toán thực tiễn, trả lời các câu hỏi về elip học sinh gặp phải trong khi học tập và tìm hiểu bài học. Học sinh vận dụng năng lực tự học, năng lực tính tốn, giao tiếp và hợp tác để giải quyết vấn đề thực tiễn đặt ra.

- Kỹ thuật dạy học: Dạy học theo nhóm,giải quyết vấn đề kết hợp vấn đáp. - Chuyển giao : Học sinh làm việc theo cá nhân rồi thảo luận nhóm để hồn

thành yêu cầu đặt ra.

- Cơ hội hình thành và phát triển năng lực: Học sinh phát triển các năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực giao tiếp và hợp tác,năng lực mô hình hóa.

Ví dụ 4. Để cắt một biển quảng cáo hình elip có trục lớn 80cm và trục nhỏ 40cm từ một tấm ván hình chữ nhật có chiều dài 80cm và chiều rộng 40cm, ngƣời ta vẽ hình elíp lên tấm ván để cắt. Hỏi phải ghim hai cái đinh cách mép ván bao nhiêu cm và dùng sợi dây dài bao nhiêu?

GV: Tổ chức hoạt động nhóm cho học sinh thảo luận.

HS: Tìm cách giải, trình bày lời giải, về nhà nghiên cứu làm một biển tên của lớp theo số liệu cụ thể.

Hƣớng dẫn giải

Ta có 2a80, 2c40suy ra a40cm, b20cm, c20 3

Vậy phải ghim hai đinh cách mép ván một khoảng 4020 35,36mvà sợi dây cần dùng dài 2a2c8040 3 149, 28 .m

E: Chuyển giao nhiệm vụ

Yêu cầu HS về nhà học bài, tìm các hình ảnh vể Hypebol và nghiên cứu các tài liệu về ứng dụng của elip trong thực tiễn

Nhiệm vụ: Mái vịm của nhà hát lớn Hà Nội có thiết kế hình elip. Hãy tìm

hiểu ý nghĩa tốn học và vật lý của thiết kế đó. Hƣớng dẫn trả lời

Tiêu điểm F1 của hình Elip có tính chất rất đặc biệt. Nếu nhƣ tại F1 ta đặt một nguồn âm, âm thanh phát ra phản xạ qua bề mặt của hình Elip và tập trung tại tiêu điểm F2 và ngƣợc lại âm thanh phát ra từ điểm F2 cũng tập trung tại điểm F1 làm cho hai điểm này có thể nghe rõ nhất.Khi diễn viên đứng hát

tại một tiêu điểm, âm thanh mà anh ta phát ra cũng phản xạ qua bề mặt của hình Elip cuối cùng cũng tập trung tại tiêu điểm kia làm cho khán giả ngồi ở đó cũng nghe thấy rất rõ. Hiện tƣợng này làm cho nhà hát giống nhƣ là có hai sân khấu vậy. Thính giả ngồi ở hai bên đều có thể đồng thời nghe đƣợc buổi biểu diễn.

F: Rút kinh nghiệm sau tiết dạy

* Một số bài tập gợi ý giáo viên cho học sinh luyện tập

Câu 1. Phƣơng trình chính tắc của Elip tiêu điểm trên Ox,có độ dài trục lớn bằng 16, độ dài trục nhỏ bằng 12 là: A. 2 2 1. 64 36 x  y  B. 16x2 12y2 1. C. 2 2 1. 16 12 x  y  D.9x2 16y2 1.

Câu 2. Phƣơng trình chính tắc của Elip có một đỉnh B 0;6 , có tâm sai 4 5 e là: A. 2 2 2 2 25 1; 1. 100 36 36 324 x y x y     B. 2 2 1. 64 36 x y   C. 2 2 1. 100 36 x y   D. 2 2 1. 36 25 x y  

Câu 3. Cho Elip có phƣơng trình: 2 2

36x 25y 900, diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng:

A. 900. B. 450. C. 30. D. 60.

Câu 4. Đƣờng thẳng y mxcắt elip tại hai điểm phân biệt A. đối xứng qua gốc toạ độ O B.đối xứng qua trục Oy C. đối xứng qua trục Ox D. khơng có tính đối xứng

Câu 5. Cho Elip (E): . Phƣơng trình đƣờng chuẩn của elip là A. x 16. B.y 4. C. 16 . 7 x   D. 16 . 7 y   Câu 6. Cho Elip (E): 2 2

9x 25y 225 Điểm M thuộc (E) nhìn F F1 2một góc

0 90 là A. 5 7 9; . 4 4 M      B. 5 7 3 ; . 4 2 M      C. 5 7 9; . 2 4 M      D. M 0;3 . 2 2 2 2 1 x y a  b  2 2 1 16 9 x  y 

Câu 7. Cho Elip (E) có các tiêu điểm F1( - 4; 0 ), F2( 4; 0 ) và một điểm M nằm trên (E) biết rằng chu vi của tam giác MF1F2 bằng 18. Lúc đó tâm sai của (E) là:

A. 4 . 18 e B. 4. 5 e C. 4. 5 e  D. 4. 9 e

Câu 8: Cho Elip

2 2

1

16 9

x  y  và đƣờng thẳng :y3. Tích khoảng cách từ hai tiêu điểm của elip đến Δ bằng

A. 16. B.9. C. 81. C. 7. Bài tập tự luận

Bài 1. Xác định độ dài hai trục, tiêu cự, tâm sai, tọa độ các tiêu điểm và các đỉnh của elip sau:

a) 2 2 1 25 16 x y   b) 4x2 + 16y2 – 1 = 0 c) x2 + 3y2 = 2 Bài 2. Lập phƣơng trình chính tắc của elip (E) biết.

a) Đỉnh A 5;0 và tiêu điểm F2;0.

b) Tiêu điểm F15 ; 0và có độ dài trục lớn bằng 14. c) Đỉnh A 0;5 và đi qua điểm M 4;2 .

d) Phƣơng trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là x    8, y 6.

e) (E) có trục lớn là Ox và đi qua hai điểm M(4 ; 3 ), N( 2 2; 3) . Bài 3. Cho elip (E) :

2 2

2 2 1, 20

x y

a b

a  b    

a) Biết diện tích elip đƣợc tính theo cơng thức S ab. Viết phƣơng trình elip có diện tích 264

b) Tìm a,b để elip có diện tích lớn nhất. Bài 4. Cho elip (E) : 2 2

4x 9y 36.

a) Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh ; tính tâm sai và viết phƣơng trình đƣờng chuẩn của elip.

b) Vẽ elip.

c) Đƣờng thẳng d y:  x 1 cắt elip tại hai điểm M,N. Tính độ dài đoạn