Phân tích kết quả điều tra phiếu điều tra số 4 và 5.
Bảng 1.1. Thống kê phương pháp chủ yếu dạy học chủ đề Tổ hợp - Xác suất.
Phƣơng pháp Số giáo viên Tỷ lệ phần trăm
Thuyết trình 6 33,3%
Vấn đáp, gợi mở 9 50,0%
Sử dụng các tình huống thực tiễn
3 16,7%
Bảng 1.2. Thống kê đánh giá mức độ của học sinh sau khi học chủ đề Tổ hợp - Xác suất. Mức độ Số học sinh Tỷ lệ phần trăm Mới và khĩ hiểu 32 32% Hiểu đƣợc phần cơ bản 53 53% Dễ hiểu và dễ vận dụng 15 15%
Qua hai bảng thống kê trên, chúng tơi thấy việc dạy học chủ đề TH – XS vẫn đƣợc tiến hành chủ yếu thơng qua các phƣơng pháp dạy học truyền thống, cĩ ít thầy cơ vận dụng giảng dạy thơng qua các phƣơng pháp tích cực.
Học sinh tiếp thu kiến thức phần này cịn khĩ khăn do cĩ nhiều sự mới mẻ và cĩ nhiều khái niệm mang tính trừu tƣợng cao (32%). Học sinh vẫn cịn
Kết luận chƣơng 1
Trong chƣơng 1, luận văn đã hệ thống hĩa các quan điểm về bài tốn thực tiễn, các đặc điểm, quy trình giải một bài tốn thực tiễn. Ngồi ra, luận văn đã chỉ ra các nguyên tắc cơ bản để xây dựng một bài tốn thực tiễn.
Cũng trong chƣơng này, luận văn đã điều tra, phân tích và đánh giá đƣợc tình trạng dạy học thơng qua các bài tốn thực tiễn, dạy học chủ đề tổ hợp – xác suất và phân tích chƣơng trình SGK.
Tất cả cơ sở lí luận và thực trạng trên nhằm mục đích cho việc nghiên cứu các biện pháp đƣợc trình bày ở chƣơng 2.
CHƢƠNG 2
MỘT SỐ BIỆN PHÁP ỨNG DỤNG CÁC BÀI TỐN THỰC TIỄN VÀO DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TỔ HỢP- XÁC SUẤT NHẰM NÂNG CAO
HIỆU QUẢ DẠY HỌC
2.1. Các biện pháp ứng dụng các bài tốn thực tiễn vào dạy học chủ đề Tổ hợp - Xác suất đề Tổ hợp - Xác suất
Trên cơ sở lý luận và thực tiễn tơi xin đƣa ra một số biện pháp nhƣ sau:
2.1.1. Rèn luyện cho học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản về Tổ hợp – Xác suất hợp – Xác suất
Để giải và hiểu đƣợc các bài tốn về TH-XS cũng nhƣ các bài tốn thực tiễn điều quan trọng nhất đối với học sinh là phải nắm chắc đƣợc các nội dung, khái niệm, các quy tắc, cơng thức, định lý cơ bản của TH-XS đã đƣợc trình bày trong SGK. Biện pháp này là một yêu cầu cần phải cĩ để giúp học sinh giải các bài tốn liên quan đến thực tiễn.
Giáo viên cần phải cĩ nội dung củng cố kiến thức trong sau mỗi cuối tiết học, điều đĩ giúp cho học sinh nắm chắc đƣợc nội dung, kiến thức vừa đƣợc học. Việc hệ thống lại kiến thức sau mỗi buổi học và tiết ơn tập chƣơng là một việc làm hết sức cần thiết đặc biệt trong dạy học thơng qua các bài tốn thực tiễn. Vì phải nắm chắc đƣợc kiến thức cơ bản thì học sinh mới cĩ thể phát hiện ra đƣợc vấn đề của bài tốn và giải quyết chúng một cách nhanh nhất và chính xác nhất.
Việc quan trọng nhất là hỗ trợ và giúp học sinh khám phá, hiểu rõ bản chất của các định nghĩa, định lý, cơng thức. Giáo viên cần giúp học sinh giải quyết các bài tốn mà khơng cịn bị lúng túng giữa khi nào dùng tổ hợp, chỉnh hợp hay hốn vị và khơng bị nhầm lẫn giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân.
Ví dụ 2.1: Giúp học sinh phân biệt giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân ta
Một lớp cĩ 21 học sinh nam và 23 học sinh nữ. Cĩ bao nhiêu cách để chọn ra:
a. Một bạn làm lớp trƣởng.
b. Một bạn nam và một bạn nữ tham gia vào ban cán sự lớp.
Hƣớng dẫn giải:
a. Chọn một bạn lớp trƣởng ta cĩ 2 phƣơng án
Phƣơng án 1: Chọn lớp trƣởng là học sinh nam. Chọn 1 học sinh nam trong 21 học sinh nam cĩ 21cách.
Phƣơng án 2: Chọn lớp trƣởng là học sinh nữ. Chọn 1 học sinh nữ trong 23 HS nữ cĩ 23 cách.
Vậy áp dụng quy tắc cộng ta cĩ: 21 23 44cách.
b. Chọn 1 bạn nam và 1 bạn nữ tham gia vào ban cán sự lớp ta cĩ 2 giai đoạn. Giai đoạn 1: Chọn học sinh nam. Chọn 1 học sinh nam trong 21 học sinh nam cĩ 21 cách.
Giai đoạn 2: Chọn học sinh nữ. Chọn 1 học sinh nữ trong 23 học sinh nữ cĩ 23 cách.
Vậy áp dụng quy tắc nhân ta cĩ : 21.23438 cách.
Ví dụ 2.2: Giúp học sinh phân biệt cách sử dụng hốn vị, chỉnh hợp và
tổ hợp ta xét ví dụ sau:
Một tổ cĩ 4 học sinh nam và 6 học sinh nữ.
a. Cĩ bao nhiêu cách xếp 10 học sinh trên thành một hàng dài.
b. Cĩ bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong tổ trên làm lớp trƣởng, lớp phĩ và bí thƣ.
c. Cĩ bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong tổ trên tham gia buổi diễn văn nghệ của trƣờng.
Hƣớng dẫn giải:
a. Mỗi cách xếp 10 bạn học sinh thành một hàng dài là một hốn vị của 10 phần tử. Vậy số cách xếp là 10! 3628800 cách.
b. Mỗi cách chọn 3 học sinh xếp vào 3 vị trí lớp trƣởng, lớp phĩ và bí thƣ là một chỉnh hợp chập 3 của 10 phần tử. Vậy số cách chọn là A103 720 cách chọn.
c. Mỗi cách chọn 3 học sinh từ 10 học sinh là một chỉnh hợp chập 3 của 10 phần tử. Vậy số cách chọn là C103 120 cách.
Trong ví dụ trên giáo viên cĩ thể giúp học sinh nhận thấy khi cĩ n phần tử, mang cả n phần tử ra sắp xếp thì phải sử dụng hốn vị. Cĩ n phần tử, mang k (1 k n)phần tử ra sắp xếp phải sử dụng chỉnh hợp và chọn k phần tử từ n phần tử khơng sắp xếp thì sử dụng tổ hợp.
Ví dụ 2.3: Cho khai triển 1 11
(x )
x
, hệ số của 3
x trong khai triển là bao nhiêu?
Hƣớng dẫn giải:
Số hạng tổng quát thứ k1 trong khai triển là:
11 11 2 1 11 11 1 ( ) k n k k k k k k k k n T C a b C x C x x Theo đề bài ta cĩ 11 2 k 3 k 4. Vậy hệ số của 3
x trong khai triển là C114. Để giải bài tốn trên học sinh cần nắm đƣợc: - Cơng thức của hạng tử thứ k1.
- Cách giải phƣơng trình bậc nhất 1 ẩn. - Cơng thức của tổ hợp.
Ví dụ 2.4: Một tổ sinh viên cĩ 20 em, trong đĩ chỉ cĩ 8 em biết tiếng
Anh, 7 em chỉ biết tiếng Hàn, 5 em chỉ biết tiếng Nhật. Cần lập ra một nhĩm đi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4 em biết tiêng Hàn và 2 em biết tiếng Nhật. Hỏi cĩ bao nhiêu cách lập ra nhĩm nhƣ trên?
Số cách chọn 3 em biết tiếng Anh là: C83 56 cách. Số cách chọn 4 em biết tiếng Hàn là: C74 35 cách. Số cách chọn 2 em biết tiếng Nhật là: C52 10 cách.
Theo quy tắc nhân ta cĩ số cách lập ra một nhĩm đi thực tế là 56.35.10 19600 cách.
Để giải bài tốn trên học sinh cần nắm đƣợc: - Cơng thức tính số tổ hợp.
- Quy tắc nhân.
Bên cạnh các yếu tố đƣợc nên ra ở trên thì chính bản thân của học sinh là một yếu tố chủ quan giữ vai trị quan trọng và quyết định đến sự thành cơng trong việc nắm vững kiến thức của học sinh đĩ. Học sinh phải cĩ tinh thần học tập tự giác, tích cực, siêng năng, tự tìm hiểu kiến thức qua hoạt động hƣớng dẫn của giáo viên.
2.1.2. Hình thành và phát triển cho học sinh khả năng huy động các kiến thức khác nhau để tìm tịi và sáng tạo lời giải bài tốn thực tiễn bằng nhiều cách khác nhau
Cĩ thể nĩi Tốn học là mơn học giúp học sinh cĩ cơ hội phát triển tƣ duy và trí tuệ nhiều nhất. Giáo viên cần hƣớng dẫn và khuyến khích học sinh tìm tịi lời giải của một bài tốn theo nhiều cách khác nhau, vì mỗi lời giải đều cĩ những ƣu điểm và khuyết điểm riêng. Từ những lời giải khác nhau đĩ, học sinh cĩ thể rút ra đƣợc những kinh nghiệm giải một bài tốn nhanh và chính xác nhất. Việc đĩ làm cho học sinh cĩ hƣớng giải quyết nhanh nhất và chính xác nhất khi gặp một vấn đề tƣơng tự trong thực tiễn.
Huy động kiến thức là quá trình nhớ lại kiến thức một cách cĩ chọn lọc để thích ứng với vấn đề mới đƣợc đặt ra. Khả năng huy động kiến thức của học sinh đƣợc biểu hiện dƣới nhiều dạng khác nhau nhƣ: Khái quát hĩa, đặc
biệt hĩa, quy lạ về quen, chuyển đổi ngơn ngữ và giải tốn bằng nhiều cách khác nhau...
Việc huy động các kiến thức trong quá trình tìm ra lời giải của một bài tốn khơng nhất thiết phải huy động tất cả kiến thức mà học sinh thu thập đƣợc. Học sinh cần phải biết xem xét tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố để chọn lọc một số kiến thức phù hợp và cần thiết để phục vụ cho từng bài tốn cụ thể.
Một số phƣơng thức bồi dƣỡng khả năng huy động kiến thức cho học sinh THPT:
- Rèn luyện cho học sinh biến đổi bài tốn theo nhiều cách khác nhau để huy động kiến thức thích hợp cho từng cách giải. Khi đứng trƣớc một bài tốn, học sinh cần biết xem xét mối liên hệ giữa các đại lƣợng , phán đốn khả năng xảy ra và các hƣớng biến đổi bài tốn. Một bài tốn cĩ thể cĩ nhiều cách giải khác nhau nhờ vào các phép biến đổi tƣơng đƣơng và học sinh cần tìm ra cách giải nhanh và chính xác nhất.
- Rèn cho họ sinh khả năng huy động kiến thức thơng qua dạy học chuỗi các bài tốn. Mỗi một chuỗi các bài tốn học sinh sẽ lĩnh hội đƣợc các tri thức khác nhau. Chẳng hạn chuỗi các bài tốn với mục đích củng cố khái niệm, định lý sẽ phát triển trí tuệ cơ bản nhƣ phân tích, tổng hợp... Từ đĩ giúp cho các em cĩ thể liên tƣởng sáng tạo ra nhiều bài tốn khác nhau từ một bài tốn gốc. Một trong những cách xây dựng chuỗi bài tốn là dựa vào khả năng huy động kiến thức của học sinh thơng qua các thao tác nhƣ khái quát hĩa, tƣơng tự hĩa, đặc biệt hĩa...
Ví dụ 2.5: Bằng việc huy động kiến thức giáo viên yêu cầu học sinh giải
bài tốn sau:
Giải bất phƣơng trình sau với ẩn n2 thuộc tập số tự nhiên.
1 2 2 2 5 2 n n n n n C C A [14, tr.112]
Giáo viên hƣớng dẫn học sinh:
Ta thấy bất phƣơng trình trên liên quan đến tổ hợp và chỉnh hợp do đĩ giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại các tính chất, cơng thức cua tổ hợp và chỉnh hợp.
Yêu cầu học sinh chỉ ra:
! , 1 (1) ( )! ! k n n C k n n k k . ! , (1 ) (2). ( )! k n n A k n n k , (0 ) (3) k n k n n C C k n . 1 1, (1 ) (4). k k k n n n C C C k n ! , (1 ) (5). k k n n A k C k n
Giáo viên: Giải bất phƣơng trình này ta nên chọn lọc các kiến thức thích hợp và để dễ dàng cho việc giải thì đầu tiên ta sẽ sử dụng cơng thức thứ (4), khi đĩ bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với điều gì?
Yêu cầu học sinh chỉ ra: 3 5 2
2
n
n n
C A .
Giáo viên: Tiếp theo ta sẽ sử dụng cơng thức nào tiếp theo?
Yêu cầu học sinh chỉ ra: Chúng ta sử dụng cơng thức (1) và (2) đƣợc:
( 3)! 5 ! . !3! 2 ( 2)! n n n n .
Giáo viên: Sử dụng các biến đổi tƣơng đƣơng để tìm ra n. Học sinh: Sử dụng phép biến đổi tƣơng đƣơng đƣợc:
3 2 2 2 3 2 3 2 ( 3)! 5 ! . !3! 2 ( 2)! 1 5 (n 1)(n 2)(n 3) ( 1) n 6 2 1 5 5 ( 5 6 5 6) 6 2 2 1 3 13 1 0 6 2 3 9 26 6 0 ( 9 26) 6 0 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n
Luơn đúng với mọi n2.
Từ ví dụ trên giáo viên giúp học sinh nhận ra nếu chọn lọc đƣợc các cơng thức phù hợp thì cơng việc giải quyết bài tốn là rất đơn giản và dễ dàng. Và ngƣợc lại, nếu học sinh huy động khơng đúng cơng thức thì việc giải quyết bài tốn trên sẽ rất khĩ khăn và thậm chí là khơng giải đƣợc.
2.1.3. Hình thành cho học sinh kĩ năng nhận diện và mơ tả các vấn đề Tốn học trong thực tiễn Tốn học trong thực tiễn
Giáo viên cần tổ chức các hoạt động tìm hiểu thực tế, mơ tả các số liệu thu thập đƣợc từ thực tế bằng các ngơn ngữ tốn học nhƣ kí hiệu, bảng biểu, biểu đồ, đồ thị, ... Từ các tình huống thực tiễn học sinh sẽ hình thành kĩ năng nhận diện các vấn đề Tốn học cĩ trong thực tiễn. Qua đĩ cũng rèn luyện cho học sinh năng lực thu nhận thơng tin từ các tình huống thực tiễn.
Trong dạy học tốn, những hoạt động ngơn ngữ đƣợc học sinh thực hiện khi họ đƣợc yêu cầu phát biểu, giải thích một định nghĩa, một mệnh đề nào đĩ, đặc biệt bằng lời lẽ của mình, hoặc biến đổi chúng từ dạng này sang dạng khác, chẳng hạn từ dạng kí hiệu tốn học sang dạng ngơn ngữ tự nhiên hoặc ngƣợc lại [10, tr.100]. Thơng qua các hoạt động dạng này, giáo viên rèn luyện cho cả về ngơn ngữ tự nhiên và ngơn ngữ tốn học. Trong việc rèn luyện ngơn ngữ tốn học cho học sinh cần chú trọng cả 2 phƣơng diện ngữ
nghĩa và ngữ pháp nhằm giúp học sinh nắm vững tri thức tốn học gĩp phần vào việc mơ tả tình huống thực tiễn một cách chuẩn xác.
Trong thực tiễn dạy học mơn tốn cĩ thể thấy rằng trình độ về ngơn ngữ tốn học của học sinh cịn thấp. Điều đĩ thể hiện qua việc sử dụng các kí hiệu thuật ngữ, cơng thức tốn học vẫn cịn lúng túng và chƣa chính xác. Điều đĩ ảnh hƣởng rất lớn đến việc sử dụng ngơn ngữ tốn học trong việc mơ phỏng các tình huống thực tiễn. Trong dạy học cần phải cho học sinh hiểu đƣợc cách diễn đạt của ngơn ngữ tự nhiên và ngơn ngữ tốn học đơi khi là khơng đồng nhất. Để làm đƣợc điều đĩ giáo viên cần giải thích ngữ nghĩa và đƣa ra các ví dụ về tính logic trong cuộc sống khi sử dụng các kí hiệu hay thuật ngữ tốn học.
Ví dụ 2.6. Một ngƣời bỏ ngẫu nhiêu 4 lá thƣ vào 4 phong bì đã ghi rõ
địa chỉ. Hỏi cĩ bao nhiêu cách bỏ nhƣ vậy?. Trong ví dụ này, giáo viên cần chỉ rõ cho học sinh thấy đƣợc nếu cố định 4 phong bì thì mỗi cách bỏ 4 lá thƣ vào 4 phong bì là một hốn vị của 4 bức thƣ đĩ.
Ví dụ 2.7. Khi dạy “ khái niệm xác suất” giáo viên cĩ thể đƣa ra ví dụ:
Trong cuộc sống hàng ngày các em thƣờng hay bắt gặp các khẳng định nhƣ: “khả năng trời cĩ mƣa hơm nay là 30% ”, “ cơ hội chiến thắng của đội tuyển bĩng đá Việt Nam và Thái Lan là nhƣ nhau”, “cơ hội vơ địch châu Á của đội bĩng đá Việt Nam là rất thấp” ... trong mỗi trƣờng hợp ta đều đề cập đến một biến cố mà khơng chắc cĩ xảy ra hay khơng. Nhƣng bằng những thơng tin trong quá khứ hay những hiểu biết về phép thử mà ta cĩ thể tin tƣởng ở một mức độ nào đĩ vào khả năng đúng đắn của các giả định. Cĩ những biến cố xảy ra thƣờng xuyên, cĩ những biến cố lại hiếm khi xảy ra. Nhƣ vậy, vấn đề đặt ra là phải tính tốn đƣợc mức độ và khả năng xảy ra của các biến cố. Con số đo lƣờng mức độ xảy ra của các biến cố gọi là xác suất của biến cố đĩ.
Tĩm lại, thơng qua biện pháp này, ngồi việc giáo viên phải tổ chức các