Các nhóm tiến hành thí nghiệm và khám phá ra được thể tích của khối
nón bằng 1
3 thể tích của khối trụ và thể tích của khối cầu bằng 2
3 thể tích của khối trụ.
GV gợi ý cho HS bán kính của đường trịn đáy của khối nón và khối trụ bằng nhau và bằng bán kính của khối cầu, chiều cao của khối nón và khối cầu bằng đường kính của đáy. Từ gợi ý của GV, cơng thức tính thể tích của khối nón tìm được ở trên và mối quan hệ về thể tích giữa ba mơ hình, GV u cầu các nhóm xây dựng nên cơng thức tính thể tích của khối trụ và khối cầu.
Phát hiện định lý
Từ hoạt động 1, HS nhận ra được cơng thức tính thể tích của hình nón là
2 1
. . 3
V h R với h là chiều cao của hình nón, R là bán kính đáy.
Từ hoạt động 2, HS khám phá ra cơng thức tính thể tích của hình trụ và hình cầu.
Phát biểu định lý
Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính đáy R là: 3
1 . . 3
V h R .
Thể tích của khối trụ có chiều cao h và bán kính đáy R là: V . .h R2.
Thể tích của khối cầu có bán kính R là: 4 3 3
V R .
Chứng minh định lý
Vì định lý về cơng thức thể tích khá là khó để chứng minh đối với HS lớp 12 cho nên ở định lý này, GV không yêu cầu HS phải chứng minh.
Củng cố định lý
GV đưa một số bài tập về tính thể tích của các khối trịn xoay để củng cố cơng thức tính thể tích đã tìm được ở trên.
Bài 1: Cho hình nón ( )C có độ dài đường sinh bằng 25 và bán kính đường trịn đáy bằng 15. Tính thể tích của khối nón ( )C .
Bài 2: Thiết diện qua trục của một hình trụ ( )P là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh bằng a và 3a. Tính thể tích của khối trụ ( )P .
Bài 3: Cho mặt cầu có diện tích bằng 2
36a . Tính thể tích của khối cầu đã cho.
2.2.3. Các tình huống dạy học tri thức phương pháp
2.2.3.1. Các con đường dạy học tri thức phương pháp
Trong các tình huống dạy học khái niệm và dạy học định lý có thể đã bao hàm cả dạy học các tri thức phương pháp. Tuy nhiên, việc dạy học tri thức phương pháp một cách độc lập cũng chiếm một ví trí quan trọng trong chương trình dạy học tốn ở trường phổ thơng.
Trước khi tìm hiểu về dạy học tri thức phương pháp, chúng ta đi tìm hiểu khái niệm thuật toán. Thuật toán được hiểu là một tập hợp hữu hạn các bước cần thực hiện theo một thứ tự nhất định để giải quyết một vấn đề nào đó. Thuật tốn xuất hiện ở trong mọi chủ đề của mơn Tốn và được áp dụng để giải các bài tập trong mơn Tốn. Thuật tốn ở trong mơn Tốn thường được ghi dưới dạng phương pháp. Phương pháp là cách thức để giải quyết một vấn đề nào đó. Trong mơn Tốn, chúng ta có hai loại phương pháp đó là: phương pháp có tính thuật tốn và phương pháp tìm đốn. Phương pháp có tính thuật tốn là phương pháp có đặc trưng của một thuật tốn (như tính hữu hạn, tính xác định và tính đúng đắn). Trong mơn Tốn, không phải lúc nào chúng ta cũng có thể tìm được các phương pháp có tính thuật tốn. Ví dụ như để giải một bài tính thể tích của một hình khối chóp phức tạp. Khi đó, việc nằm được một số chỉ dẫn hay một số lời khuyên có thể giúp ta tìm được lời giải của bài tốn. Việc GV đưa một số chỉ dẫn hay lời khuyên đó được coi là đang sử
dụng phương pháp tìm đốn. Tri thức phương pháp được hiểu là một tri thức về phương pháp tiến hành giải quyết một nhiệm vụ nào đó.
Trong Tốn học, việc dạy học tri thức phương pháp hết sức quan trọng. Từ việc dạy học tri thức phương pháp ở trong mơn Tốn, GV có thể giúp cho HS phát triển tư duy thuật toán. Theo tác giả Nguyễn Bá Kim, phát triển tư duy thuật toán trong nhà trường phổ thơng là cần thiết vì:
Tư duy thuật tốn giúp HS hình dung được q trình tự động hóa trong các lĩnh vực khác nhau của con người.
Tư duy thuật toán giúp HS làm quen với cách làm việc trong khi giải bài tốn bằng máy tính. Vì thiết kế thuật tốn là một khâu rất quan trọng của việc lập trình.
Tư duy thuật tốn giúp cho HS học tập tốt những môn học khác ở nhà trường phổ thông.
Tư duy thuật tốn cũng góp phần phát triển những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa, … và hình thành những phẩm chất của người lao động trong thời đại mới.
Trong mơn tốn có rất nhiều phương pháp giải tốn với những mức độ khó dễ tiếp thu khác nhau, do đó để dạy học tri thức phương pháp chúng ta có các cấp độ dạy học khác nhau. Dạy học tri thức phương pháp có ba cấp độ, đó là: dạy học một cách tường minh tri thức phương pháp, thông báo tường minh tri thức phương pháp trong quá trình hoạt động và truyền thụ ngầm thơng qua việc thực hiện những hoạt động có liên quan với tri thức phương pháp.
Dạy học một cách tường minh tri thức phương pháp: Tri thức phương pháp ở đây là đối tượng trung tâm của một tình huống dạy học và được trình bày một cách tổng quát dưới dạng một quy tắc, một thuật toán, ... Chúng ta thường dạy tri thước phương pháp ở dạng tường minh đối với các tri thức phương pháp có tính thuật tốn, được quy định rõ ràng trong
chương trình như các quy tắc giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai, quy tắc xét dấu tam thức bậc hai, quy tắc tính đạo hàm của một hàm số tại một điểm bằng định nghĩa, …
Thông báo tường minh tri thức phương pháp trong quá trình hoạt động: Khác với cấp độ trên, tri thức phương pháp ở đây không phải là đối tượng trung tâm của tình huống dạy học, khơng được trình bày một cách tổng quát dưới dạng một quy tắc hay thuật tốn, mà chỉ được thơng báo trong q trình dạy học. GV thơng báo các tri thức phương pháp này liên tục và thường xuyên trong suốt tiết học. Cấp độ này thường được áp dụng với các tri thức phương pháp không được quy định rõ ràng trong chương trình. Ví dụ như khi tính thể tích của một hình chóp, GV truyền thụ tri thức phương pháp bằng cách nhấn mạnh và thông báo cho HS rằng để tính thể tích của hình chóp chúng ta phải xác định đường cao và diện tích đáy.
Truyền thụ ngầm ẩn thông qua việc tập luyện những hoạt động ăn khớp với tri thức phương pháp: ở trong cấp độ này, tri thức phương pháp khơng được trình bày một cách tổng qt và tường minh dưới dạng một quy tắc, một thuật tốn, nó cũng khơng được thơng báo một cách rõ ràng trong quá trình hoạt động. HS lĩnh hội nó một cách ngầm ẩn nhờ vào việc thực hiện nhiều hoạt động để định hướng ra phương pháp giải quyết chung hoạt động đó. Do đó, mức độ hồn chỉnh của tri thức rất khác nhau ở mỗi HS, vì nó hiện diện ở HS như một kinh nghiệm mà tự HS rút ra trong nhiều hoạt động khác nhau. Mức độ này có thể được áp dụng cho cả tri thức phương pháp được quy định rõ ràng hoặc ngầm ẩn ở trong chương trình. Để HS lĩnh hội tốt hơn tri thức phương pháp dưới dạng này, GV thường tổ chức các hoạt động theo một mục đích xác định trước, chứ khơng tùy tiện. Ví dụ như để dạy phương pháp xét tính chẵn, lẻ của hàm số trong chương trình Đại số lớp 10, GV có thể thực hiện một
số ví dụ cụ thể để xét tính chẵn, lẻ của hàm số theo một quy trình nhất định. Để từ đó HS tìm ra phương pháp để xét tính chẵn, lẻ của hàm số. Như vậy, chúng ta biết được tri thức phương pháp ở trong tốn học có hai dạng đó là tri thức phương pháp có tính thuật tốn và tri thức phương pháp có tính tìm đốn. Đối với tri thức phương pháp có tính thuật tốn, chúng ta có hai tiến trình dạy học đó là tiến trình suy diễn và tiến trình quy nạp.
Tiến trình suy diễn được thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Trình bày bài tốn tổng qt cần giải quyết.
Bước 2: Tìm kiếm và trình bày phương pháp để giải quyết bài tốn trên. Bước 3: Đưa ví dụ minh họa, luyện tập để củng cố phương pháp.
Trong tiến trình dạy học này, trước tiên là phải khám phá ra phương pháp giải cho trường hợp tổng quát, sau đó mới áp dụng vào các trường hợp riêng. Để có thể phát huy tính tích cực và chủ động của HS, GV nên để cho HS tự thực hiện bước 2 và bước 3. Tuy nhiên, nếu bài tốn tổng qt q khó hoặc việc tìm ra phương pháp tổng qt gặp khó khăn, thì GV có thể bỏ qua giai đoạn tìm kiếm phương pháp mà giới thiệu trực tiếp phương pháp để giải quyết bài tốn.
Ví dụ: Để dạy phương pháp giải phương trình có chứa dấu căn bậc hai ( ) ( )
f x g x , GV có thể thực hiện như sau:
Bước 1: GV giới thiệu bài toán tổng quát cần phải giải quyết: Giải phương trình có chứa dấu căn bậc hai f x( ) g x( ).
Bước 2: GV dẫn dắt HS tìm kiếm phương pháp giải bài tốn trên:
+ Để giải phương trình, trước tiên phải tìm điều kiện xác định: điều kiện của ( )f x và ( )g x .
+ Để giải phương trình, thì phải làm mất đi dấu căn bậc hai phải bình phương hai vế của phương trình để mất đi dấu căn, sau đó giải phương trình vừa mới tạo thành.
+ GV đưa ra cơng thức giải tổng qt phương trình f x( ) g x( ): 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) g x f x g x f x g x
Bước 3: GV đưa ví dụ áp dụng để luyện tập phương pháp này: Giải các phương trình sau:
a) 2x 3 x 2 b) 5x 6 x 6
c) 2x2 5 x 2 d) 4x2 2x10 3x1
Tiến trình quy nạp được thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Giải một số bài tốn, ví dụ cụ thể có liên quan tới phương pháp đang tìm hiểu.
Bước 2: Nhận xét phương pháp chung thể hiện trong lời giải các bài tốn trên. Từ đó nếu ra bài tốn tổng qt và phương pháp để giải nó.
Bước 3: Củng cố, luyện tập phương pháp vừa học thông qua việc giải các bài tập cụ thể.
Như vậy, tri thức phương pháp cần truyền thụ ở đây được khái quát từ một số bài tốn cụ thể.
Ví dụ: Để dạy phương pháp giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác, GV có thể thực hiện như sau:
Bước 1: GV cho HS giải một số phương trình lượng giác bậc hai:
2 2sin x 2 2 sinx 2 0 2 3cos x4cosx 1 0 2 4cot x7cotx 3 0
Bước 2: GV hướng dẫn HS nhận xét các lời giải được giải ở trên đề từ đó rút ra những điểm chung trong phương pháp giải các bài tốn này. Từ đó, GV nêu phương pháp tổng quát để giải phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác
Bước 3: GV cho HS củng cố lại phương pháp thông qua việc tiếp tục giải các phương trình bậc hai:
a) 2 3cos 2x4cos2x 1 0 b) 2 sin xcosx 1 0 c) cos 2x3sinx2 d) 3 tan cot 2 x x
Ngồi tri thức phương pháp có tính thuật tốn, trong mơn Tốn cịn có tri thức phương pháp ở dạng tìm đốn. Nói chung, ở trong chương trình mơn Tốn, các phương pháp có tính tìm đốn khơng được trình bày một cách rõ ràng. Chính vì thế, việc truyền thụ nó thường phụ thuộc vào bản thân của mỗi GV. Thực tế dạy học cho thấy, việc truyền thụ tri thức tìm đốn có gặp rất nhiều khó khăn, có khơng ít GV đã khơng biết truyền thụ những tri thức này như thế nào.
Ví dụ như để dạy phương pháp giải các phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx: asin2x b sin cosx x c cos2xd. Ngồi truyền thụ tri thức có tính thuật tốn, GV cũng có thể truyền thụ thêm tri thức phương pháp tìm đốn. Trong q trình tìm kiếm lời giải cho bài tốn tổng qt, GV có thể định hướng hai phương pháp giải phương trình sau:
+ Nếu phương trình chứa các biểu thức lượng giác bậc cao thì có thể nghĩ đến việc sử dụng cơng thức hạ bậc.
+ Nếu phương trình chứa nhiều hàm số lượng giác thì có thể sử dụng công thức để biến đổi làm giảm đi các hàm số lượng giác.
Từ đó sẽ giúp cho HS hình thành nên cách giải các phương trình lượng giác khơng mẫu mực.
2.2.3.2. Các mơ hình dạy học khám phá có hướng dẫn tri thức phương pháp
Các bài tốn trong chủ đề thể tích ở lớp 12 thường là các bài tốn về tính tốn, do đó, chúng ta có thể xây dựng các bước dạy học thuật toán theo hướng khám phá như sau:
HS phân tích hoạt động giải bài tập trên thành các bước, theo một trình tự phù hợp với thuật toán.
Mơ tả lại q trình tiến hành giải bài tốn.
Kiểm nghiệm tính khả thi của thuật tốn được mơ tả thông qua một số bài tập cùng dạng.
Phát hiện thuật toán tối ưu để giải các bài toán cùng dạng.
2.2.3.3. Một số tình huống dạy học tri thức phương pháp trong chủ đề thể tích
a. Tình huống 1. Dạy học quy trình tính thể tích của khối chóp.
Sau khi học xong cơng thức thể tích của khối chóp. GV có thể tổ chức hoạt động DHKP theo các hoạt động sau.
Hoạt động 1: Thảo luận và phân tích cơng thức tính thể tích của hình chóp.
GV nhắc lại cơng thức thể tích của khối chóp có chiều cao h và diện tích
đáy bằng S: 1. . 3
V h S.
GV: Để tính được thể tích của hình chóp, chúng ta cần phải xác định được những yếu tố nào?
Từ công thức, HS sẽ rút ra được câu trả lời: Để tính được thể tích của khối chóp, chúng ta cần phải xác định được độ dài của đường cao và diện tích đáy.
GV: Các cách xác định đường cao và các cơng thức tính diện tích đáy là gì?
HS: Để xác định được chiều cao của hình chóp, nếu đề bài cho hình chóp đều thì chiều cao chính là đường nối từ đỉnh tới tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy, còn nếu đề bài cho đỉnh S nằm trong mặt phẳng ( )P vng góc với đáy thì đường cao là đường vng góc kẻ từ đỉnh S tới giao tuyến của mặt
phẳng ( )P với đáy. Để tính diện tích đáy thì chúng ta có các cơng thức tính diện tích tam giác, hình thang, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật và hình vng.
Kết luận: Vậy để tính được thể tích của khối chóp, chúng ta cần phải xác định được chiều cao và diện tích đáy.
Hoạt động 2: Khám phá cách giải bài tốn
Bài tốn 1: Cho khối chóp .S ABC có chiều cao là SA. Biết SA a , tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B và AB2a. Tính thể tích của khối chóp S ABC. .
Giải
GV: Dựa vào đề bài, đường cao của hình chóp .S ABC là gì? Đáy của hình chóp có diện tích bằng bao nhiêu?
HS: Theo đề bài, ta có chiều cao của hình chóp là SA. Vì đáy ABC là tam giác vuông cân nên ABBC2a, do đó diện tích tam giác ABC là
2 1 .2 .2 2 2 ABC S a a a .
GV yêu cầu HS trình bày lời giải chi tiết.
Ta có: 1 2
.2 .2 2 2
ABC
3 2 . 1 1 1 2 . . . . . .2 3 3 3 3 S ABC ABC a V h S SA S a a (đvtt).