Cơ sở của biện pháp

2.1. Biện pháp 1: Rèn luyện kĩ năng nhận biết,tƣơng tự hóa, khái quát hóa

2.1.1. Cơ sở của biện pháp

Nhằm cung cấp cho học sinh hệ thống bài tập cơ bản và điển hình cũng nhƣ các cách giải phƣơng trình vơ tỷ, tơi xây dựng biện pháp 1 này dựa theo cơ sở lý luận của phƣơng pháp PH&GQVĐ, với các bài tập đƣợc trình bày theo 4 bƣớc cụ thể, và hệ thống bài tập tƣơng tự để giúp học sinh rèn luyện khả năng nhận biết, phân tích, phán đốn,… tìm ra lời giải nhanh chóng và chính xác.

Trong phần này giáo viên hƣớng dẫn học sinh giải phƣơng trình theo 4 bƣớc của phƣơng pháp PH&GQVĐ nhƣ sau:

• Bƣớc 1: Phát hiện vấn đề và khám phá vấn đề

- Nhận dạng phƣơng trình: Trong phƣơng trình có căn bậc 2 hay căn bậc 3, có bao nhiêu số hạng.

- Liên hệ với phƣơng trình vơ tỷ cơ bản ở điểm nào. - Có thấy phƣơng trình quen thuộc hay khơng

• Bƣớc 2: Chọn chiến lƣợc và phƣơng pháp giải

- Tìm tịi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ đƣa về phƣơng trình cơ bản: Biến đổi phƣơng trình về dạng phƣơng trình cơ bản, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tƣơng tự (quy lạ về quen), một trƣờng hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn.

- Kiểm tra lời giải bằng cách xem kĩ lại từng bƣớc thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm đƣợc, hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan...

- Tìm tịi những cách giải khác, so sánh chúng để tìm ra cách giải tối ƣu. • Bƣớc 3: Trình bày giải pháp:

- Từ cách giải đã đƣợc phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chƣơng trình theo các bƣớc, trình tự hợp logic và khơng bỏ sót điều kiện.

• Bƣớc 4: Nghiên cứu sâu giải pháp

- Nghiên cứu giải những bài toán tƣơng tự, mở rộng hay lật ngƣợc vấn đề. - Phát triển bài toán ở mức cao hơn.

2.1.2. Hệ thống kiến thức về phương trình cơ bản

2.1.2.1. Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn

• Phƣơng trình bậc nhất một ẩn: ax + b = 0

- Nếu a ≠ 0 thì phƣơng trình có 1 nghiệm duy nhất: 𝑥 = −𝑏 𝑎 - Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phƣơng trình vơ nghiệm.

- Nếu a = 0, b = 0 thì phƣơng trình vơ số nghiệm. • Phƣơng trình bậc hai một ẩn: ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)

Biệt thức: ∆ = b2 – 4ac ∆ < 0 Phƣơng trình khơng có nghiệm thực.

∆ = 0 Phƣơng trình có nghiệm kép 0 2 b x x a    Khi đó ax2 + bx +c = a(x – xo)2.

∆ > 0 Phƣơng trình có hai nghiệm thực phân biệt là: 1;2 2

b x a     Khi đó: 2 1 2 ( )( ) ax bx c a xx xx * Định lý Viet, ta có: 1 2 1. 2 b x x a c x x a         

Biệt thức: ∆’ = (b’)2 – a.c (nếu b là số chẵn thì b’ = b/2). ∆’ < 0 Phƣơng trình khơng có nghiệm thực.

∆’ = 0 Phƣơng trình có nghiệm kép x1 x2 b' a



 

∆ > 0 Phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt là: x1;2 b' ' a     2.1.2.2. Phương trình bậc 3: ax3 + bx2 +cx + d = 0 (a ≠ 0) (1) - Dị tìm 1 nghiệm x = xo.

Ta thu đƣợc phƣơng trình: (x - xo). g(x) = 0 Trong đó: g(x) là phƣơng trình bậc hai một ẩn - Một số kết quả:

Kết quả của g(x) Kết luận

TH1: g(x) khơng có nghiệm thực Phƣơng trình (1) có 1 nghiệm x = xo TH2: g(x) có 1 nghiệm kép ≠ xo Phƣơng trình (1) có 2 nghiệm thực TH3: g(x) có nghiệm kép = xo Phƣơng trình (1) có 1 nghiệm bội 3 TH4: g(x) có 2 nghiệm phân biệt ≠ xo Phƣơng trình (1) có 3 nghiệm phân biệt TH5: g(x) có 2 nghiệm phân biệt trong

đó có 1 nghiệm = xo

Phƣơng trình (1) có 2 nghiệm thực phân biệt.

2.1.2.3. Phương trình bậc 4

Một số phƣơng trình bậc 4 cơ bản và cách giải:

Các dạng phƣơng trình cơ bản Phƣơng pháp giải

Dạng 1:

𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥3 + 𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥 + 𝑒 = 0

Với điều kiện: 𝑒 𝑎 = (𝑑

𝑏)2 ≠ 0

Chia hai vế cho x2≠ 0

Sau đó, đặt 𝑡 = 𝑥 +𝛼 𝑥 𝑣ớ𝑖 𝛼 =𝑑 𝑏 Dạng 2: 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 𝑥 + 𝑑 = 𝑒

Với điều kiện: 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑑

Viết lại phƣơng trình dƣới dạng:

(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑐) (𝑥 + 𝑏)(𝑥 + 𝑑) = 𝑒 Đặt t = 𝑥2 + 𝑎 + 𝑐 𝑥 Ta đƣợc phƣơng trình: (t + ac)(t + bd) = e Dạng 3: 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 𝑥 + 𝑑 = 𝑒𝑥2

Với điều kiện: 𝑎𝑏 = 𝑐𝑑

Nhóm lại phƣơng trình:

(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) (𝑥 + 𝑐)(𝑥 + 𝑑) = 𝑒𝑥2

⇔ 𝑥2 + 𝑎 + 𝑏 𝑥 + 𝑎𝑏 𝑥2 + 𝑐 + 𝑑 𝑥 + 𝑐𝑑 = 𝑒𝑥2

Chia hai vế cho 𝑥2 ≠ 0 ta có:

𝑥 + 𝑎 + 𝑏 +𝑎𝑏 𝑥 𝑥 + 𝑐 + 𝑑 +𝑐𝑑 𝑥 = 𝑒 Do ab = cd nên ta đặt t x ab x  

Dạng 4: (𝑥 + 𝑎)4 + (𝑥 + 𝑏)4 = 𝑐 Đặt 2 a b t  x 

Thay vào phƣơng trình ta

đƣợc: (𝑡 + 𝛼)4 + (𝑡 − 𝛼)4 = 𝑐, với 𝛼 = 𝑎−𝑏

2

Dạng 5:

𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥3 + 𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥 + 𝑒 = 0

với điều kiện: 𝑏3 + 8𝑎2𝑑 = 4𝑎𝑏𝑐

Đặt 4 b t x a   Dạng 6: 𝑥4 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Tạo ra dạng A2 = B2 bằng cách thêm hai vế cho một lƣợng 2𝑘. 𝑥2 + 𝑘2, tức là phƣơng trình trở thành: 𝑥2 2 + 2𝑘𝑥2 + 𝑘2 = 2𝑘 + 𝑎 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 + 𝑘2 ⇔(𝑥2 + 𝑘)2 = 2𝑘 + 𝑎 𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 + 𝑘2 Cần VP có dạng bình phƣơng nên 2𝑘 + 𝑎 > 0 ∆= 𝑏2 − 4 2𝑘 + 𝑎 𝑐 + 𝑘2 = 0 ⇒ 𝑘 Dạng 7: 𝑥4 + 𝑎𝑥3 = 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑

Tạo A2 = B2 bằng cách thêm vào vế phải một biểu thức để tạo ra dạng bình phƣơng

𝑥2 +𝑎 2𝑥 + 𝑘 2 = 𝑥4 + 𝑎𝑥3 + 2𝑘 +𝑎 2 4 𝑥2 + 𝑘𝑎𝑥 + 𝑘2

Do đó ta sẽ cộng thêm hai vế của PT (1) một lƣợng 2𝑘 +𝑎2 4 𝑥2 + 𝑘𝑎𝑥 + 𝑘2 thì 𝑥2 +𝑎 2𝑥 + 𝑘 2 = 2𝑘 +𝑎 2 4 + 𝑏 𝑥 2 + 𝑘𝑎 + 𝑐 𝑥 + 𝑘2 + 𝑑 Lúc này cần số k thỏa mãn: 2𝑘 +𝑎 2 4 + 𝑏 > 0 ∆= 𝑘𝑎 + 𝑐 2 − 4 2𝑘 +𝑎 2 4 + 𝑏 𝑘 2+ 𝑑 = 0

2.1.2.4. Phương trình vô tỷ cơ bản * 𝐴 = 𝐵 ⇔ 𝐵 ≥ 0 𝐴 = 𝐵2 * 𝐴 𝐵 = 0 ⇔ 𝐴 = 0 𝐵 ≥ 0 𝐵 = 0 * 𝐴 = 𝐵 ⇔ 𝐴 ≥ 0 𝐵 ≥ 0 𝐴 = 𝐵 * 𝐴3 = 𝐵 ⇔ 𝐴 = 𝐵3.

Các hằng đẳng thức hay sử dụng trong phƣơng trình vơ tỷ: + 𝐴 + 𝐵 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 − 𝐵2.

+ 𝐴 + 𝐵 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 − 𝐵. + 𝐴 + 𝐵 𝐴 − 𝐵 = 𝐴2 − 𝐵.

+ 𝐴3 − 𝐵 𝐴3 2 + 𝐴3 . 𝐵 + 𝐵2 = 𝐴 − 𝐵3. + 𝐴3 + 𝐵 𝐴3 2 − 𝐴3 . 𝐵 + 𝐵2 = 𝐴 + 𝐵3.

2.1.3. Các phương pháp giải phương trình vơ tỷ

Sau đây, chúng ta cùng xét một vài phƣơng pháp thƣờng gặp để giải PT vơ tỷ

2.1.3.1. Giải phương trình vơ tỉ bằng phương pháp nâng lên lũy thừa

Phƣơng pháp nâng lên lũy thừa là một trong số những phƣơng pháp mà học sinh đƣợc làm quen sớm nhất khi giải phƣơng trình vơ tỷ.Vì vậy đó có thể coi là phƣơng pháp nền tảng, phƣơng pháp đầu tiên học sinh có thể nghĩ đến khi đứng trƣớc một phƣơng trình vơ tỷ. Từ bài toán đơn giản cho đến bài toán khá phức tạp, khi nâng lên lũy thừa nhằm mục đích triệt tiêu hết căn thức, sau khi nâng lên lũy thừa ta thu đƣợc phƣơng trình bậc cao mà phân tích đƣợc thành phƣơng trình tích, thì có nghĩa là bài tốn đã đƣợc giải quyết.

Dƣới đây là một số ví dụ vận dụng phƣơng pháp nâng lên lũy thừa nhằm phát triển năng lực PH&GQVĐ của học sinh.

Ví dụ 1. Giải phƣơng trình

2x2 + 5x − 3 = x + 1.

Phân tích các bƣớc thực hiện:

• Bước 1+2: Phát hiện và khám phá vấn đề

- Nhận dạng phƣơng trình ở dạng cơ bản 𝐴 = 𝐵

• Bước 3: Chọn chiến lược và phương pháp giải:

• Bước 4: Trình bày giải pháp

- Học sinh trình bày lời giải theo phƣơng trình cơ bản nhƣ sau:

2𝑥2 + 5𝑥 − 3 = 𝑥 + 1 ⇔ 2𝑥𝑥 + 1 ≥ 0 2 + 5𝑥 − 3 = (𝑥 + 1)2 ⇔ 𝑥 ≥ −1

𝑥2 + 3𝑥 − 4 = 0 ⇔ x1

Kết luận: Vậy phƣơng trình có 1 nghiệm x1.

• Bước 5: Nghiên cứu sâu giải pháp

- Phƣơng trình ban đầu chƣa có dạng cơ bản mà có dạng 𝐴 − 𝐵 = 0 thì ta chuyển về dạng 𝐴 = 𝐵 rồi làm nhƣ trên.

- Chú ý về điều kiện để bình phƣơng hai vế là điểm hay sai trong bài làm của học sinh. Vì khi nhìn thấy phƣơng trình có dạng 𝐴 = 𝐵, học sinh hay bình phƣơng 2 vế ln mà quên điều kiện 2 vế không âm (ngay cả với học sinh lớp 12 cũng hay mắc sai lầm này).

Ví dụ 2. Giải phƣơng trình

4x2 − 7x − 2 = 2 x2 − x + 1 − 1 (1)

Phân tích các bƣớc thực hiện:

• Bước 1+2: Phát hiện và khám phá vấn đề: học sinh tự nhận ra đƣợc những vấn đề

sau:

- Phƣơng trình khơng cịn dạng cơ bản ban đầu, phƣơng trình có 2 căn bậc hai, nếu bình phƣơng để mất căn thì phải bình phƣơng 2 lần.

- Cần tìm điều kiện trƣớc khi giải phƣơng trình.

• Bước 3: Chọn chiến lược và phương pháp giải

- Học sinh thử sai, thực hiện bình phƣơng 2 lần. - Trong quá trình giải cần chú ý điều kiện:

• Bước 4: Trình bày giải pháp

Điều kiện: 4x2 − 7x − 2 ≥ 0

x2 − x + 1 ≥ 0 ⇔ 𝑥 ≤−14

Điều kiện kéo theo: Do VT(1) ≥0 nên VP(1) ≥0 2 2 x x 1 1 0      ( luôn đúng với mọi x) Ta có: 4x2 − 7x − 2 = 2 x2 − x + 1 − 1 ⇔ 4x2 − 7x − 2 + 1 = 2 x2 − x + 1 ⇔ 4x2 − 7x − 2 + 1 2 = 4(x2 − x + 1) ⇔ 2 4x2 − 7x − 2 = 3𝑥 + 5 ⇔ 3𝑥 + 5 ≥ 0 4 4x2 − 7x − 2 = (3𝑥 + 5)2 ⇔ 𝑥 ≥ −5 3 7𝑥2 − 58𝑥 − 33 = 0 29 4 67 7 x   

Đối chiếu với điều kiện, nghiệm của phƣơng trình là 29 4 67 7

x 



• Bước 5: Nghiên cứu sâu giải pháp

Phát biểu phƣơng trình dƣới dạng khác nhau nhƣ:

Giải phƣơng trình: 4x2 − 7x − 2 − 2 x2 − x + 1 + 1 = 0

Ví dụ 3. Giải phƣơng trình

2 3x + 1 − x − 1 = 2 2x − 1 (1)

Phân tích: Phƣơng trình có dạng cơ bản 𝐴 − 𝐵 = 𝐶, ta đặt điều kiện, chuyển

vế sao cho 2 vế đều không âm và bình phƣơng 2 vế để đƣa về dạng 𝐴 = 𝐵

Giải: Điều kiện: 𝑥 ≥ 1 (1) ⇔ 2 3x + 1 = x − 1 + 2 2x − 1 ⇔ 4 3𝑥 + 1 = 𝑥 − 1 + 4 2𝑥 − 1 + 4 𝑥 − 1 2𝑥 − 1 ⇔ 3x + 9 = 4 𝑥 − 1 2𝑥 − 1 ⇔ (3𝑥 + 9)3𝑥 + 9 ≥ 0 2 = 16(𝑥 − 1)(2𝑥 − 1) ⇔ 𝑥 ≥ −3 23𝑥2 − 102𝑥 − 65 = 0

Đối chiếu với điều kiện, phƣơng trình có 1 nghiệm x = 5.

Ví dụ 4. Giải phƣơng trình

x + 1

3

+ 3x + 13 = x − 13 (1)

Phân tích: Phƣơng trình có dạng cơ bản: 𝐴3

+ 𝐵3 = 𝐶3 , khi đó ta thử lập phƣơng hai vế và sử dụng hằng đẳng thức: (a+b)3 = a3 + b3 + 3ab(a+b). Tuy nhiên, phƣơng trình thu đƣợc vẫn cịn căn bậc 3, nếu lập phƣơng ln thì rất cồng kềnh, ta quan sát kĩ thì thấy cần thay 3 𝐴+ 𝐵3 = 𝐶3 vào rồi lập phƣơng tiếp. Học sinh cần kiểm tra lại kết quả sau khi tìm ra đƣợc hết x vì từ đầu đến cuối khơng phải là biến đổi tƣơng đƣơng hết.

Giải

Ta có: 3 x + 1+ 3x + 13 = x − 13 ⇔ x + 13 + 3x + 13 3 = 𝑥 − 1

⇔ 4𝑥 + 2 + 3. (𝑥 + 1)(3𝑥 + 1)3 . x + 13 + 3x + 13 = 𝑥 − 1 (2)

Thay (1) vào (2) ta đƣợc phƣơng trình:

4𝑥 + 2 + 3. (𝑥 + 1)(3𝑥 + 1)3 . x − 13 = 𝑥 − 1 ⇔ 3. (𝑥 + 1)(3𝑥 + 1)3 . x − 13 = −3𝑥 − 3 ⇔ 3𝑥2 + 4𝑥 + 1 𝑥 − 1 = (−𝑥 − 1)3 ⇔ 𝑥 + 1 4𝑥2 = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = 0 Thử lại:

+ Thay x = -1 vào phƣơng trình (1) khơng thỏa mãn ⇒ x = -1 (loại) + Thay x = 0 vào phƣơng trình (1) thỏa mãn ⇒ x = 0 (nhận)

Vậy phƣơng trình có 1 nghiệm x = 0

Ví dụ 5. Giải phƣơng trình

10x + 1 + 3x − 5 = 9x + 4 + 2x − 2 (1)

Phân tích: Nhận dạng phƣơng trình cơ bản 𝐴 + 𝐵 = 𝐶 + 𝐷 với A+C= B+D. Tức là 10x + 1+ 2x – 2 = 3x – 5 + 9x + 4 = 12x – 1. Nên ta chuyển vế đƣa phƣơng trình về dạng 𝐴 − 𝐶 = 𝐷 − 𝐵 rồi điều kiện 2 vế khơng âm để bình phƣơng 2

vế. Do quá trình bình phƣơng cần điều kiện 2 vế không âm nên ta chỉ cần ghi điều kiện ra, sau đó dùng cách thử nghiệm để loại nghiệm ngoại lai.

Giải

Điều kiện: 𝑥 ≥ 5 3.

Ta có (1) ⇔ 10x + 1 − 2x − 2 = 9x + 4 − 3x − 5

Với điều kiện 𝑥 ≥ 5

3 thì 10x + 1 − 2x − 2 ≥ 0 9x + 4 − 3x − 5 ≥ 0

Bình phƣơng 2 vế của phƣơng trình (1) ta đƣợc phƣơng trình:

(10𝑥 + 1)(2𝑥 − 2) = (9𝑥 + 4)(3𝑥 − 5) ⇔ 7𝑥2 − 15𝑥 − 18 = 0

⇔ 𝑥 =𝑥 = 3−6 7

Đối chiếu điều kiện, suy ra phƣơng trình có nghiệm x = 3.

Bài tập tự luyện: Giải các phƣơng trình sau

1) 2𝑥 − 1 + 𝑥2 − 3𝑥 + 1 = 0;

2) 7 − 𝑥2 + 𝑥 𝑥 + 5 = 3 − 2𝑥 − 𝑥2; 3) 𝑥2 − 𝑥 − 2 𝑥2 + 𝑥2 + 2𝑥 = 0;

4) 4𝑥 + 1 + 𝑥 + 7 = 2 2𝑥 − 3 + 5𝑥 − 6; 5) 3 𝑥 + 1+ 𝑥 + 23 + 𝑥 + 33 = 0.

2.1.3.2. Giải phương trình vơ tỉ bằng phương pháp nhân liên hợp a. Nhận xét chung

Nhân liên hợp là một hình thức trục căn thức bằng hằng đẳng thức để sau khi liên hợp xuất hiện nhân tử chung và kết thúc bằng việc giải phƣơng trình tích số. Ta thƣờng bắt gặp những loại cơ bản sau đây:

Biểu thức Biểu thức nhân liên hợp Biểu thức thu đƣợc

𝐴 ± 𝐵 𝐴 ∓ 𝐵 𝐴 − 𝐵 𝐴 ± 𝐵 𝐴 ∓ 𝐵 𝐴 − 𝐵2 𝐴 3 ± 𝐵3 3 𝐴2 ∓ 𝐴𝐵3 + 𝐵3 2 𝐴 ± 𝐵 𝐴 3 ± 𝐵 3 2 3 2 A B AB 𝐴 ± 𝐵3

Phân tích bài tốn và hƣớng tƣ duy tìm tịi lời giải • Bước 1+2: Phát hiện và khám phá vấn đề:

- Học sinh quan sát phƣơng trình, thử giải bài tốn theo cách nâng lên lũy thừa nhƣng khơng đƣợc vì sau khi nâng lên lũy thừa đƣợc phƣơng trình bậc cao.

- Sử dụng điều kiện để dị nghiệm của phƣơng trình xem có dị đƣợc nghiệm khơng.

- Nắm chắc các dạng liên hợp để tìm mối quan hệ giữa bài tốn với các bài toán cơ bản hoặc quen thuộc.

• Bước 3: Chọn chiến lược và phương pháp giải

- Khi loại bỏ cách nâng lên lũy thừa và dị đƣợc một nghiệm thì nghĩ ngay đến nhân liên hợp.

Giả sử giải phƣơng trình: 𝑓(𝑥) − 𝑔 𝑥 + 𝑕 𝑥 = 0

- Nếu f(x) – g(x) có nhân tử chung với h(x) ⇒ Nhân liên hợp trực tiếp.

- Nếu f(x) – g(x) khơng có nhân tử chung với h(x), mà dò đƣợc một nghiệm xo ta làm theo các bƣớc sau:

+ Bƣớc 1: Thay x = xo vào 𝑓(𝑥) và 𝑔 𝑥 thu đƣợc 2 giá trị a; b. + Bƣớc 2: Thêm bớt để có lƣợng liên hợp

𝑓 𝑥 − 𝑎 − 𝑔 𝑥 − 𝑏 + 𝑎 − 𝑏 + 𝑕 𝑥 = 0

+ Bƣớc 3: Thực hiện nhân liên hợp đƣa phƣơng trình về dạng tích + Bƣớc 4: Giải phƣơng trình tích

- Nếu f(x) – g(x) khơng có nhân tử chung với h(x), mà dò đƣợc hai nghiệm của phƣơng trình x = x1 và x = x2 thì ta làm nhƣ sau:

+ Bƣớc 1: Đặt 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 (*)

Thay x = x1 và x = x2 vào (*) ta thu đƣợc hai phƣơng trình, giải hai phƣơng trình cho kết quả a, b.

+ Bƣớc 2: Làm tƣơng tự đối với 𝑔 𝑥

+ Bƣớc 3: Thêm bớt và nhóm để nhân liên hợp

𝑓(𝑥) − (𝑎𝑥 + 𝑏) − 𝑔 𝑥 − 𝑐𝑥 + 𝑑 + 𝑎𝑥 + 𝑏 − 𝑐𝑥 + 𝑑 + 𝑕 𝑥 = 0

+ Bƣớc 4: Nhân liên hợp rồi giải phƣơng trình tích thu đƣợc • Bước 4: Trình bày giải pháp

- Từ cách giải đã đƣợc phát hiện, sắp xếp các việc phải làm theo một trình tự logic, khoa học.

- Không đƣợc bỏ qua điều kiện và thận trọng khi sử dụng dấu “⇔” và “⇒” • Bước 5: Nghiên cứu sâu giải pháp

- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

- Nghiên cứu giải những bài toán tƣơng tự, mở rộng hay lật ngƣợc vấn đề - Phân tích bài tốn ở mức cao hơn.

b. Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phƣơng trình

3𝑥 + 2 + 𝑥 + 3 = 2𝑥 − 1 (1)

Phân tích: Phát hiện dạng 𝑓(𝑥) + 𝑔 𝑥 = 𝑕 𝑥 mà f(x) – g(x) = h(x) nên nhân

liên hợp trực tiếp, ta có lời giải sau:

Giải Điều kiện: 𝑥 ≥ 1 2. Ta có: (1) ⇒ ( 3𝑥 + 2 + 𝑥 + 3)( 3𝑥 + 2 − 𝑥 + 3) = (2𝑥 − 1)( 3𝑥 + 2 + 𝑥 + 3) ⇔ 2𝑥 − 1 = (2𝑥 − 1)( 3𝑥 + 2 − 𝑥 + 3) ⇔ 2𝑥 − 1 = 0 3𝑥 + 2 − 𝑥 + 3 = 1 ⇔ 𝑥 = 1 2 3𝑥 + 2 − 𝑥 + 3 = 1 (2) Kết hợp (1), (2) ta có hệ phƣơng trình: 3𝑥 + 2 + 𝑥 + 3 = 2𝑥 − 1 3𝑥 + 2 − 𝑥 + 3 = 1

Cộng vế hai phƣơng trình trên ta đƣợc: 2 3𝑥 + 2 = 2⇔ 3𝑥 + 2 = 𝑥

2 0 0 3 17 3 17 2 3 2 2 x x x x x x                   

Thay x = 1/2 vào phƣơng trình ban đầu khơng thỏa mãn.

Thay 3 17 2

x 

vào phƣơng trình ban đầu thấy thỏa mãn.

Kết luận: Vậy phƣơng trình có 1 nghiệm là 3 17

x 

Chú ý:

- Nhiều ngƣời mắc sai lầm khi kết luận cả x = 1/2 là nghiệm ⇒ phải thử lại nghiệm khi đã giải xong.