Thời gian thực nghiệm

3.3. Tổ chức thực nghiệm

3.3.2. Thời gian thực nghiệm

3.3.3. Nội dung thực nghiệm

Dƣới đây là giáo án mẫu đƣợc soạn theo phƣơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề. Sau khi dạy hết phần biện pháp 1 đã trình bày trong chƣơng II theo phƣơng pháp phát hiện và giải quyết vấn đề, chúng tôi tiến hành kiểm tra 30 phút (đề bài đƣợc trình bày ở dƣới). Và đánh giá kết quả bƣớc đầu, sau đó tiến hành tiếp các giáo án của biện pháp 2 và biện pháp 3. Cuối cùng kiểm tra cả ba lớp bài kiểm tra 45 phút.

Giáo án tiết: Luyện tập (2 tiết)

Các phƣơng pháp cơ bản giải phƣơng trình vơ tỉ I. Mục tiêu

 Kiến thức:

- Nắm vững 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, và các hằng đẳng thức nâng cao nhƣ (a + b + c)2 …

- Nắm vững bất đẳng thức Cauchy cho 3 số, 4 số, bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4 số, 6 số,…

- Nắm vững các phƣơng pháp cơ bản để giải phƣơng trình vơ tỉ. - Nắm vững các tính chất của hàm số.

 Kĩ năng:

- Vận dụng thành thạo các hằng đẳng thức đáng nhớ

- Biết vận dụng các bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki trong đánh giá phƣơng trình.

- Biết vận dụng các tính chất của hàm số trong giải phƣơng trình vơ tỉ.  Thái độ

- Rèn thái độ cân thận, tính chính xác trong tính tốn,….

- Rèn tƣ duy độc lập và khả năng làm việc theo nhóm, suy nghĩ theo nhiều chiều hƣớng khác nhau để tìm ra lời giải.

 Tình cảm

- Sau bài này, học sinh khơng cịn tâm lí lo sợ khi gặp bài tốn giải phƣơng trình vơ tỉ

em tự nghiên cứu, tìm hiểu thêm kiến thức trong sách giáo khoa, sách tham khảo…

II. Chuẩn bị

 GV: Phấn trắng, phấn màu, thƣớc, máy tính bỏ túi ( Casio 570 ES PLUS hoặc Casio 570 VN PLUS), bài tập trên máy chiếu hoặc trên bảng phụ.

 HS:

- Ôn tập các hằng đẳng thức đáng nhớ, các bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki. Ơn tập các phƣơng pháp giải PT vơ tỉ đã biết ở lớp 10.

- Bảng nhóm

- Máy tính bỏ túi Casio 570 ES PLUS hoặc Casio 570 VN PLUS.

III. Tiến trình lên lớp

- Ổn định lớp và kiểm tra việc chuẩn bị của học sinh. - Hoạt động dạy bài mới:

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

Hoạt động 1: Giải PT vô tỷ bằng phƣơng pháp nâng lên lũy thừa (tiết 1)

*) Bước 1: Phát hiện vấn đề(3 phút)

GV yêu cầu HS giải các phƣơng trình sau: 1) 2𝑥2 + 5𝑥 − 3 = 𝑥 + 1

2) 4𝑥2 − 7𝑥 − 2 = 2 𝑥2 − 𝑥 + 1 − 1

3) 2 3𝑥 + 1 − 𝑥 − 1 = 2 2𝑥 − 1

4) 𝑥 + 13 + 3𝑥 + 13 = 𝑥 − 13

Học sinh quan sát các phƣơng trình trên bảng.

+ Phát hiện phƣơng trình ở dạng cơ bản hay không.

+ Phƣơng trình có mấy căn thức, là căn bậc 2 hay bậc 3.

+ Bƣớc đầu có phải tìm điều kiện xác định khơng.

*) Bước 2+3: Khám phá vấn đề, chọn chiến lược và phương pháp giải (15 phút)

(?) Quan sát hai vế của các phƣơng trình, bƣớc đầu có đánh giá gì về điều kiện âm dƣơng của hai vế?

- Ở phƣơng trình (1) có: 𝑉𝑇 ≥ 0, ∀𝑥 suy ra 𝑉𝑃 ≥ 0

- Ở phƣơng trình (2), (3) ta phải chuyển vế để đƣợc hai vế không âm.

- Ở PT (4) có căn bậc 3 nên không cần điều kiện

- Ở phƣơng trình (5) hai vế PT luôn dƣơng với mọi 𝑥 thỏa mãn điều kiện. (?) Ta tìm cách giải cho phƣơng trình (1).

Quan sát phƣơng trình (1) em thấy chúng có dạng cơ bản nào mà chúng ta đã biết ở lớp 10? Hãy nêu cách giải dạng cơ bản đó?

- Phƣơng trình (1) có dạng 𝐴 = 𝐵 - Cách giải:

𝐴 = 𝐵 ⇔ 𝐵 ≥ 0

𝐴 = 𝐵2 (?) Ở dạng này chúng ta có cần tìm điều

kiện của phƣơng trình khơng?

- Ở dạng này chúng ta khơng cần tìm điều kiện của phƣơng trình.

(?) Quan sát sang phƣơng trình (2) và (3) có phải là dạng cơ bản nhƣ PT (1) khơng?

- Phƣơng trình (2) và (3) chƣa có dạng cơ bản nhƣng ta có thể chuyển vế để đƣa phƣơng trình về dạng

𝐴 + 𝐵 = 𝐶

hoặc 𝐴 + 𝐵 = 𝐶

(?) Làm thế nào để mất căn bậc hai? - Để mất căn bậc hai ta bình phƣơng hai vế của phƣơng trình.

(?) PT (4) có gì khác biệt? và để mất căn bậc ba ta làm thế nào?

PT (4) có các căn bậc ba và khơng có căn bậc hai nên để mất căn ta lập phƣơng hai vế theo hằng đẳng thức:

𝑎 + 𝑏 3 = 𝑎3 + 𝑏3 + 3𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏)

(?) Tuy nhiên ta gặp chút khó khăn sau khi lập phƣơng hai vế của PT(4), đó là khó khăn gì?

Sau khi lập phƣơng hai vế của PT(4) ta thu đƣợc PT khá cồng kềnh.

(?) Để khắc phục, làm cho PT bớt cồng kềnh, hãy quan sát thật kĩ xem có vận dụng đƣợc PT ban đầu vào đây khơng?

-Vì sau khi lập phƣơng thấy có xuất hiện a + b giống phƣơng trình ban đầu nên ta thay phƣơng trình ban đầu vào để đƣợc PT bớt cồng kềnh

(?) Các em hãy làm ra nháp các PT trên, sau đó lên bảng trình bày.

(?) GV cho HS đánh giá bài của bạn, sau đó nhận xét.

lên bảng trình bày một bài.

Giải: 1) 2𝑥2 + 5𝑥 − 3 = 𝑥 + 1 ⇔ 2𝑥𝑥 + 1 ≥ 0 2 + 5𝑥 − 3 = 𝑥 + 1 2 ⇔ 𝑥 ≥ −1 𝑥2 + 3𝑥 − 4 = 0 ⇔ 𝑥 = 1

Vậy phƣơng trình có một nghiệm 𝑥 = 1. 2) 4𝑥2 − 7𝑥 − 2 = 2 𝑥2 − 𝑥 + 1 − 1 Điều kiện: 𝑥 ≤ −1 4 hoặc 𝑥 ≥ 2 PT ⇔ 4𝑥2 − 7𝑥 − 2 + 1 = 2 𝑥2 − 𝑥 + 1 ⇔ 4𝑥2 − 7𝑥 − 2 + 1 2 = 4(𝑥2 − 𝑥 + 1) ⇔ 2 4𝑥2− 7𝑥 − 2 = 3𝑥 + 5 ⇔ 3𝑥 + 5 ≥ 0 4 4𝑥2 − 7𝑥 − 2 = 3𝑥 + 5 2 ⇔ 𝑥 = 29±4 67 7

Đối chiếu với điều kiện, nghiệm của PT là

𝑥 =29±4 67 7 . 3) 2 3𝑥 + 1 − 𝑥 − 1 = 2 2𝑥 − 1 Điều kiện: 𝑥 ≥ 1 PT ⇔ 2 3𝑥 + 1 = 𝑥 − 1 + 2 2𝑥 − 1 ⇔ 4 3𝑥 + 1 = 𝑥 − 1 + 2 2𝑥 − 1 2 ⇔ 3𝑥 + 9 = 4 𝑥 − 1. 2𝑥 − 1

⇔ (3𝑥 + 9)3𝑥 + 9 ≥ 0 2 = 16(𝑥 − 1)(2𝑥 − 1) ⇔ 𝑥 = 5

Đối chiếu với điều kiện, PT có một nghiệm 𝑥 = 5

4) 3 𝑥 + 1+ 3𝑥 + 13 = 𝑥 − 13 (1)

Lập phƣơng hai vế của PT (1), ta đƣợc:

𝑥 + 13 + 3𝑥 + 13 3 = 𝑥 − 1 ⇔ 4𝑥 + 2 + 3 𝑥 + 13 . 3𝑥 + 13 . 𝑥 + 13 + 3𝑥 + 1 3 = 𝑥 − 1 (2) Thay (1) vào (2) ta đƣợc: 4𝑥 + 2 + 3 𝑥 + 13 . 3𝑥 + 13 . 𝑥 − 13 = 𝑥 − 1 ⇔ 3 𝑥 + 13 . 3𝑥 + 13 . 𝑥 − 13 = −3𝑥 − 3 ⇔ 27(x+1)(3x+1)(x-1) = (-3x-3)3 ⇔ 27(x+1)(3x+1)(x-1) = 27(x+1)3 ⇔ 𝑥 + 1 = 0 3𝑥 + 1 𝑥 − 1 = 𝑥 + 1 2 ⇔ x = -1 hoặc x = 0

Thử lại, chỉ thấy x = 0 thỏa mãn phƣơng trình (1). Vậy nghiệm của PT là x = 0.

*) Bước 5: Nghiên cứu sâu giải pháp(12 phút)

(?) Hãy tóm tắt lại cách giải của các phƣơng trình cơ bản:

Dạng 1: 𝐴 = 𝐵 Cách giải:

𝐴 = 𝐵 ⇔ 𝐵 ≥ 0

Dạng 2: 𝐴 − 𝐵 = 𝐶 Cách giải: 𝐴 − 𝐵 = 𝐶

⇔ 𝐴 − 𝐵 2 = 𝐶 ⇔ 2 𝐴𝐵 = 𝐴 + 𝐵 − 𝐶 ⇔ 4AB = (A+B-C)2

Dạng 3: 3 𝐴+ 𝐵3 = 𝐶3 Cách giải: Lập phƣơng hai vế. A + B + 33 𝐴. 𝐵3 . 𝐴3 + 𝐵3 = 𝐶

Thay PT ban đầu vào ta đƣợc: A + B + 33 𝐴. 𝐵3 . 𝐶3 = 𝐶 ⇔ 3 𝐴3 . 𝐵3 . 𝐶3 = 𝐶 − 𝐴 − 𝐵

Lập phƣơng tiếp hết căn bậc 3. Chú ý: Khi bình phƣơng hai vế cần chú ý

điều kiện gì mà chúng ta hay quên?

Khi bình phƣơng hai vế cần chú ý tìm điều kiện hai vế khơng âm mới đƣợc bình phƣơng hai vế.

GV đƣa thêm bài tập củng cố. Giải các phƣơng trình sau: 1) 2𝑥 − 1 + 𝑥2 − 3𝑥 + 1 = 0 2) 7 − 𝑥2 + 𝑥 𝑥 + 5 = 3 − 2𝑥 − 𝑥2 3) 𝑥2 − 𝑥 − 2 𝑥2 + 𝑥2 + 2𝑥 = 0 4) 4𝑥 + 1 + 𝑥 + 7 = 2 2𝑥 − 3 + 5𝑥 − 6 5) 𝑥 + 13 + 𝑥 + 23 + 𝑥 + 33 = 0

Hoạt động 2: Giải PT vô tỷ bằng phƣơng pháp nhân liên hợp (tiết 2)

*) Bước 1: Phát hiện vấn đề Ví dụ. Giải phƣơng trình: 1) 3𝑥 + 2 + 𝑥 + 3 = 2𝑥 − 1 2) 2x2  x 9 2x2    x 1 x 4 3) 3𝑥 + 1 − 6 − 𝑥 + 3𝑥2 − 14𝑥 − 8 = 0

4) 2 3𝑥 + 4 + 3 5𝑥 + 9 = 𝑥2 + 6𝑥 + 13

*) Bước 2+3: Khám phá vấn đề, chọn chiến lược và phương pháp giải( 23 phút)

(?) Em có giải đƣợc các phƣơng trình này bằng phƣơng pháp nâng lên lũy thừa hay khơng? Vì sao?

HS thử làm ra nháp và trả lời câu hỏi của giáo viên: khơng.

Vì khi nâng lên lũy thừa đƣợc PT đa thức với số mũ khá cao mà lại rất khó để phân tích thành phƣơng trình tích đƣợc.

+ Phân tích PT (1)và (2): Em có nhận xét gì về mối quan hệ giữa các biểu thức trong căn với biểu thức ngoài căn? Từ đó ta dùng cách gì để giải phƣơng trình?

HS phát hiện ra mối quan hệ: (3x+2) - (x+3) = 2x-1 = VP(1)

 2   2 

2x   x 9 2x   x 1 2(x4) Vì vậy ta dùng pp nhân liên hợp trực tiếp.

+ Phân tích PT (3): Ở phƣơng trình (3) có mối liên hệ giống phƣơng trình (1) hay khơng?

Khơng.

(?) Sử dụng máy tính em có dị đƣợc một nghiệm của phƣơng trình (3) khơng?

HS thao tác trên máy tính bỏ túi, và tìm đƣợc nghiệm x = 5.

(?) Vậy nghĩa là phƣơng trình có chứa nhân tử nào?

PT có chứa nhân tử x – 5.

(?) Khi ta dò đƣợc một nghiệm của phƣơng trình mà là nghiệm đẹp, ta giải PT theo phƣơng pháp nhân liên hợp để xuất hiện nhân tử (x – 5), vấn đề là ta biết nhóm

3𝑥 + 1 và 6 − 𝑥 với số mấy để đƣợc

nhân tử ( x -5) ? + Phân tích PT(4):

(?) GV yêu cầu học sinh thử giải phƣơng trình theo hƣớng của PT(3).

- Ta đặt 3𝑥 + 1 = 𝑎 với x = 5 thay vào ta đƣợc a = 4, tƣơng tự ta đặt

6 − 𝑥 = 𝑏 với x = 5 thay vào ta

đƣợc b = 1. Vậy ta nhóm thành hai nhóm: 3𝑥 + 1 − 4 và 6 − 𝑥 − 1

trong phƣơng trình.

- HS thực hiện với 1 nghiệm dị đƣợc nhƣng gặp bế tắc.

(?) GV hỏi cả lớp các em dò đƣợc mấy nghiệm, là các nghiệm nào?

HS chỉ dò một nghiệm, nhƣng mỗi bạn lại trả lời kết quả có thể khác nhau. Cuối cùng chấp nhận PT có hai nghiệm đẹp là 0 và 1.

(?) Các em có biết lí do vì sao và làm thế nào để chúng ta biết phƣơng trình có mấy nghiệm một cách tƣơng đối khơng?

Thao tác: Sử dụng chức năng TABLE (MODE 7) để kiểm soát số nghiệm của PT một cách tƣơng đối. Sau đó quay về MODE 1, sử dụng SHIFT CALC để dò nghiệm của PT gần khoảng nghiệm mà MODE 7 tìm ra. (trong trƣờng hợp nghiệm lẻ). Còn trong bài này, MODE 7 cho ln hai nghiệm đẹp.

- Có thể có HS biết câu trả lời, khi đó GV sẽ nhắc lại và giúp cả lớp hiểu rõ hơn. Trong trƣờng hợp khơng ai biết thì GV sẽ giải đáp vì đây chỉ là thao tác máy tính.

(? ) Vậy PT (4) có nhân tử khơng? - Vì PT(4) có 2 nghiệm là x = 0 và x = 1 nên có nhân tử : x(x-1) = x2

– x. Tức là ta cần nhóm mỗi căn với số hay với

biểu thức cả x?

- Ta nhóm mỗi căn với nhị thức bậc nhất của x, vì nhóm với số nào đó khơng ra nhân tử x2 –x mà ta đã thử vừa rồi. (?) Vậy thì ta làm thế nào để ra nhị thức bậc nhất đó? Vậy là ta có các nhóm nào? - Ta đặt: 2 3𝑥 + 4 = 𝑎𝑥 + 𝑏 Và 3 5𝑥 + 9 = 𝑐𝑥 + 𝑑.

Sau đó thay x = 0, x = 1 vào ta tìm đƣợc a = 1, b = 2, c = 1, d = 3.

suy ra (2 3𝑥 + 4 − (𝑥 + 2)) và (3 5𝑥 + 9 − (𝑥 + 3))

*) Bước 4: Trình bày giải pháp(15 phút)

GV yêu cầu HS làm việc theo nhóm, các nhóm cùng trình bày các lời giải cho từng

bài ra bảng nhóm. Sau đó cho các nhóm nhận xét chéo, đánh giá những lỗi hay mắc phải để cả lớp rút kinh nghiệm khi trình bày.

Cụ thể:

1) 3𝑥 + 2 + 𝑥 + 3 = 2𝑥 − 1 (1)

Điều kiện: 𝑥 ≥ −2/3

Điều kiện kéo theo: Do VT(1) > 0 nên 𝑉𝑃 1 > 0. Suy ra 𝑥 > 1/2.

* Xét 3𝑥 + 2 − 𝑥 + 3 = 0 ⇔ 𝑥 = 1/2 Thay vào phƣơng trình (1) khơng thỏa mãn * Xét 3𝑥 + 2 + 𝑥 + 3 ≠ 0 ⇔ 𝑥 ≠ 1/2 (1) ⇔ 3𝑥+2−𝑥−3 3𝑥+2− 𝑥+3 = 2𝑥 − 1 ⇔ 2𝑥−1 3𝑥+2− 𝑥+3 = 2𝑥 − 1 ⇔ 2𝑥 − 1 = 0 1 3𝑥+2− 𝑥+3= 0 ⇔ 𝑥 = 1 2 𝑙𝑜ạ𝑖 3𝑥 + 2 − 𝑥 + 3 = 1 Kết hợp với PT(1) ta đƣợc hệ PT: 3𝑥 + 2 + 𝑥 + 3 = 2𝑥 − 1 3𝑥 + 2 − 𝑥 + 3 = 1 Cộng vế ta đƣợc: 2 3𝑥 + 2 = 2𝑥 ⇔ 3𝑥 + 2 = 𝑥 ⇔ 𝑥 ≥ 0 3𝑥 + 2 = 𝑥2 ⇔ 𝑥 =3+ 17

2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy PT đã cho có nghiệm 𝑥 =3+ 17

2) 3𝑥 + 1 − 6 − 𝑥 + 3𝑥2 − 14𝑥 − 8 = 0 Điều kiện: −1 3 ≤ 𝑥 ≤ 6 PT (2) ⇔ ( 3𝑥 + 1 − 4) − ( 6 − 𝑥 − 1) + 3𝑥2 − 14𝑥 − 5 = 0 ⇔ 3𝑥+1−16 3𝑥+1+4− 6−𝑥−1 6−𝑥+1+ 3𝑥2 − 14𝑥 − 5 = 0 ⇔ 3(𝑥−5) 3𝑥+1+4+ 𝑥−5 6−𝑥+1+ 3𝑥 + 1 𝑥 − 5 = 0 ⇔ 3 𝑥 − 5 = 0 3𝑥+1+4+ 1 6−𝑥+1+ 3𝑥 + 1 = 0 (∗) ⇔ x = 5 (thỏa mãn điều kiện)

PT(*) vơ nghiệm vì VT(*) > 0, với x thỏa mãn điều kiện. Vậy PT có nghiệm x = 5. 3) 2 3𝑥 + 4 + 3 5𝑥 + 9 = 𝑥2 + 6𝑥 + 13 Điều kiện: 𝑥 ≥ −4/3 PT ⇔ 2 3𝑥 + 4 − 𝑥 − 2 + 3 5𝑥 + 9 − 𝑥 − 3 = 𝑥2 + 𝑥 ⇔ 2(−𝑥2−𝑥) 3𝑥+4+𝑥+2+ 3(−𝑥2−𝑥) 5𝑥+9+𝑥+3 = 𝑥2 + 𝑥 ⇔ −𝑥 2 − 𝑥 = 0 2 3𝑥+4+𝑥+2+ 3 5𝑥+9+𝑥+3+ 1 = 0 (∗) ⇔ x = 0 hoặc x = 1. PT(*) vô nghiệm do VT(*) > 0, ∀ x ≥ −4/3 PT đã cho có nghiệm x = 0; x = 1. 4) 3𝑥 − 5 + 2 19𝑥 − 303 = 2𝑥2 − 7𝑥 + 11

Điều kiện: 𝑥 ≥ 5/3 PT ⇔ 3𝑥 − 5 − 𝑥 − 1 + 2 19𝑥 − 303 − 𝑥 = 2𝑥2 − 10𝑥 + 12 ⇔ 3𝑥−5−(𝑥−1)2 3𝑥−5+ 𝑥−1 + 2 19𝑥−30−𝑥3 19𝑥−30 3 +𝑥 = 2(𝑥2 − 5𝑥 + 6) ⇔ − 𝑥2−5𝑥+6 3𝑥−5+ 𝑥−1 − 2 𝑥+5 𝑥2−5𝑥+6 19𝑥−30 3 +𝑥 = 2(𝑥2 − 5𝑥 + 6) ⇔ 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 1 3𝑥−5+ 𝑥−1 + 2 (𝑥+5) 19𝑥−30 3 +𝑥+ 2 = 0 ∗ ⇔ x = 2 hoặc x = 3 (thỏa mãn điều kiện)

PT(*) vô nghiệm do VT(*) > 0 với mọi

𝑥 ≥ 5/3.

Vậy PT đã cho có nghiệm x = 2 và x = 3.

*) Bước 5: Nghiên cứu sâu giải pháp(7 phút).

- Hãy tổng kết lại quá trình làm bài tập vừa rồi để có cách nhìn tổng quát vế phƣơng pháp nhân liên hợp.

*) Dạng bài: 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝑕(𝑥) với

f(x) – g(x) = h(x) hoặc có nhân tử chung giống nhau.

*) Dạng bài: 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝑕(𝑥)với f(x) – g(x) = h(x) hoặc có

nhân tử chung giống nhau.

Cách giải là ta nhân liên hợp trực tiếp

𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 với 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)

- Trong phƣơng trình mà dị đƣợc một nghiệm đẹp?

- Nếu ta dò đƣợc một nghiệm đẹp của PT: x = x và dự đoán nghiệm đó là

duy nhất thì ta ghép căn với số a bằng cách thay x = x0 vào căn để tìm a. - Nếu dị đƣợc hai nghiệm đẹp? - Nếu dò đƣợc hai nghiệm đẹp của PT

là x = x1 và x = x2 thì ta ghép căn với nhị thức bậc nhất, tức là đặt 𝑓 𝑥 = ax + b, sau đó thay hai nghiệm x = x1 và x = x2 vào để tìm a và b.

- GV yêu cầu học sinh về nhà làm bài tập tƣơng tự sau. Giải các phƣơng trình sau: 1) 2𝑥2 + 𝑥 + 9 + 2𝑥2 − 𝑥 + 1 = 𝑥 + 4 2) 3 2𝑥 − 1 + 𝑥 5 − 4𝑥2 = 4𝑥2 3) 4𝑥 + 3 + 𝑥 + 2 = 3𝑥 + 1 4) 𝑥2 − 9𝑥 + 24 − 6𝑥2 − 59𝑥 + 149 = 5 − 𝑥 5) 𝑥2 + 15 = 3𝑥 − 2 + 𝑥2 + 8 6) 𝑥 + 1 3𝑥 + 1 + 𝑥3 + 2𝑥2 + 1 = 2 𝑥2 − 𝑥 + 1 + 6𝑥.

Bài kiểm tra 30 phút Bài 1 (4 điểm). Giải phƣơng trình

4𝑥 − 5 = 2𝑥2 − 6𝑥 − 1

Bài 2 (6 điểm). Giải phƣơng trình

3𝑥 − 2 − 𝑥 + 1 = 2𝑥2 − 𝑥 − 3

Đáp án Bài 1: Điều kiện: 𝑥 ≥ −5/4

⇔ 4𝑥 + 5 = 4𝑥4 + 36𝑥2 + 1 − 24𝑥3 − 4𝑥2 + 12𝑥 ⇔ 4𝑥4 − 24𝑥3 + 32𝑥2 + 8𝑥 − 4 = 0 ⇔ 𝑥4 − 6𝑥3 + 8𝑥2 + 2𝑥 − 1 = 0 ⇔ 𝑥2(𝑥 − 3)2 − 𝑥 − 1 2 = 0 ⇔ 𝑥 𝑥 − 3 + 𝑥 − 1 𝑥 𝑥 − 3 − 𝑥 + 1 = 0 ⇔ 𝑥2 − 4𝑥 + 1 𝑥2 − 2𝑥 − 1 = 0 ⇔ 𝑥2 − 4𝑥 + 1 = 0 𝑥2 − 2𝑥 − 1 = 0 ⇔ 𝑥 = 2 ± 3 𝑥 = 1 ± 2

Đối chiếu với điều kiện, PT có 4 nghiệm 𝑥 = 2 ± 3và 𝑥 = 1 ± 2.

Bài 2: Điều kiện: 𝑥 ≥ 2/3

3𝑥 − 2 − 𝑥 + 1 = 2𝑥2 − 𝑥 − 3 (1)       3 2 1 2 3 1 3 2 1 2 3 2 3 1 3 2 1 2 3 0 1 1 3 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x                                3 ( ) 2 1 1 3 2 1 x tm x x x              (2) Giải (2): Xét hàm số g(x) = 3𝑥 − 2 + 𝑥 + 1 trên 2 3; +∞) Ta có g’(x) = 3 1 0 2 3x 2 2 x 1    ∀𝑥 ∈ 2 3; +∞) ⇒ Hàm số g(x) đồng biến trên 2 3; +∞) ⇒ Hàm số ( ) 1 ( ) f x g x  nghịch biến trên 2