Câu trả lời A B C Số lượng (Phần trăm) 70 (77,8%) 10 (11,2%) 0 (0%) Qua kết quả khảo sát trên chúng tôi nhận thấy việc tổ chức cho học sinh đánh giá kết quả hay mở rộng, khai thác bài toán chưa nhận được sự quan tâm của giáo viên cũng như học sinh.
Vì vậy trong biện pháp này chúng tôi đi sâu vào việc dạy học cho học sinh đánh giá kết quả, quá trình và mở rộng khai thác ý nghĩa bài toán nhằm giúp học sinh nâng cao năng lực đánh giá q trình nói riêng và năng lực giải quyết vấn đề nói chung.
2.2.3.1. Hệ thống bài tập có lời giải sai lầm hoặc chưa đầy đủ
Dạy học qua các bài tốn có lời giải sai lầm hoặc chưa đầy đủ không là điều mới mẻ trong dạy học hiện đại, đặc biệt là trong dạy học giải quyết vấn đề.
Ví dụ 10. Gieo lần lượt hai con súc sắc cân đối đồng chất. Gọi A là biến cố
a) Mơ tả khơng gian mẫu. Tìm số phần tử cuả không gian mẫu.
b) Liệt kê các kết quả thuận lời cho biến cố A. Tính xác suất của biến cố A. Với ví dụ trên, giáo viên đưa biến cố A vào tạo ra một cái “bẫy” cho học sinh. Học sinh dễ nhầm lần giữa không gian mẫu và biến cố A là đưa ra không gian mẫu 2,3, 4,...,11,12 gồm 11 phần tử. Để giúp HS phát hiện ra sai lầm của mình, giáo viên có thể dùng các câu hỏi gợi ý trong khi soạn bài như:
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Đặt các câu hỏi:
(?) Mỗi lần thực hiện một phép thử ta thực hiện bao nhiêu công đoạn?
Em liên hệ quy tắc nào?
Học sinh phát hiện thực hiện 2 công đoạn:
+) Gieo con súc sắc thứ nhất có: 6 kết quả
+) Gieo con súc sắc thứ hai có: 6 kết quả.
Học sinh liên hệ quy tắc nhân: 6.6 36 phần tử.
Giáo viên cần phát hiện kịp thời sai lầm của học sinh, gợi ý để học sinh sửa chữa sai lầm.
Ví dụ 11. Một thầy giáo có 2 đề thi khác nhau và muốn phân công 10 học sinh
thành 2 nhóm, một nhóm làm đề số 1, nhóm cịn lại làm đề số 2. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách phân cơng:
a) Một nhóm 3 học sinh, nhóm kia 7 học sinh. b) Một nhóm 4 học sinh, nhóm kia 6 học sinh. c) Mỗi nhóm 5 học sinh.
Ở ví dụ này học sinh có thể giải câu a) như sau:
Bƣớc 1: Lập 2 nhóm theo yêu cầu bài ra.
+) Hành động 1: Lấy 3 học sinh trong số 10 học sinh vào nhóm thứ nhất ta có: 3
10
C cách chọn.
+) Hành động 2: Còn 7 học sinh còn lại vào nhóm cịn lại là: 7 7
C cách chọn.
Vậy có tất cả là 3 7 10. 7
C C cách phân 10 học sinh thành hai nhóm theo đề bài.
Bƣớc 2:Giao đề cho các nhóm làm.
Trong q trình làm đề thì hai nhóm có thể hốn vị cho nhau thay đổi đề để làm nên có P2 2! cách.
Vậy ta có: 3 7 10 7
2!C C Cách
Cách giải trên là hoàn tồn đúng và bằng cách lập luận tương tự thì học sinh sẽ làm được ý b) và c). Trong đó kết quả của :
b): 4 6 10 6 2!C C cách c): 5 5 10 5 2!C C cách.
Tuy nhiên trong quá trình làm bài thì nhiều học sinh mắc sai lầm là khơng hốn vị đề giữa hai nhóm điều này dẫn đến kết quả sai. Trong trường hợp này giáo viên cần làn việc thực tế hoán vị 2 đề giữa hai nhóm sẽ thấy sự khác nhau.
Ví dụ 12. Một tổ có 10 học sinh. Thầy giáo chủ nhiệm phân thành 2 nhóm để đỉ
chúc mừng hai thầy cơ giáo bộ mơn Văn và Tốn nhân dịp ngày 20 – 11. Nhóm thứ nhất gồm 7 học sinh đi chúc mừng cơ Văn. Nhóm thứ hai gồm 3 học sinh đi chúc mừng cơ Tốn. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách phân cơng như thế?
Đọc bài tốn này có vẻ chẳng khác gì ví dụ 8 ở trên. Học sinh sẽ đi làm và kết quả như ví dụ 8. Tuy nhiên nếu đọc kỹ bài tốn thì sai lầm sẽ được phát hiện. Trong ví dụ này sự phân cơng thành hai nhóm vẫn được thực hiện như ví dụ 8, tuy nhiên khơng có sự hốn vị giữa hai nhóm nữa vì đã ấn định nhóm 7 người đi cơ Văn và 3 người đi cơ Tốn rồi.
Ví dụ 13. Một người tổ chức một bữa tiệc và mời thêm 5 người bạn nữa (như
vậy có 6 người dự tiệc) và trong số này có hai người bạn rất thân. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 6 người này vào một bàn hình chữ U với 8 cái ghế sao cho hai người bạn thân ngồi cạnh nhau.
Học sinh có thể giải bài tốn như sau:
Hai người bạn rất thân ta coi như một “thể thống nhất”. “Thể thống nhất” cộng với 4 người cịn lại là ta có 5 người cần sắp xếp.
Sắp xếp chỗ ngồi cho 5 người vào bàn chữ U với 8 ghế (trong đó 2 ghế hai người bạn thân là 1 cụm và 6 ghế cịn lại là ta có 7 cụm ghế) ta có: 5
7
A cách xếp. Tuy nhiên hai người bạn thân có thể hốn vị cho nhau nên ta có P2 cách Vậy có tất cả: 5
2. 7
P A Cách sắp xếp.
Với bài toán tương tự như trên ta lật ngược bài tốn như sau: “Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 người vào 6 cái ghế sao cho có hai người bạn thân ngồi cạnh nhau” ( Sau khi xếp xong thì 2 người khơng được xếp sẽ bị loại khỏi bàn này).
Học sinh sẽ làm như trên cho kết quả như trên tuy nhiên sai lầm sẽ xảy ra khi học sinh không nghiên cứu kỹ là hai người bạn thân phái có mặt trên bàn (Tức 2 người bị loại không thể là 2 người bạn thân).
Ví dụ 14. Cho hai đường thẳng dvà 'd . Trên d lấy điểm A và trên 'd lấy 30 điểm phân biệt.
a) Hỏi có thể vẽ được tối đa bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh là ba điểm trong các điểm trên
b) Trên d lấy thêm điểm B, hỏi có thể vẽ được tối đa bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh là ba điểm trong các điểm trên.
thể bỏ sót trường hợp tam giác được tạo thành từ hai đỉnh A và B với một đỉnh nằm trên 'd . Giáo viên cần quan sát và phát hiện kịp thời sai lầm của các em để sửa chữa.
Ví dụ 15. Một tổ gồm 10 học sinh, trong đó có 6 học sinh nữ. Cần chọn ra 4 học
sinh để thành lập đội văn nghệ sao cho có ít nhất 2 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
Sau đây là giáo viên đưa ra lời giải có kết quả khác nhau của hai bạn An và Bình.
Lời giải của An.
Vì ít nhất có 2 học sinh nữ nên ta có các trường hợp sau: Trường hợp 1: Chọn 4 học sinh nữ có 4
6
C cách chọn
Trường hợp 2: Chọn 3 học sinh nữ và 1 học sinh nam có 3 1 6. 4
C C cách chọn.
Trường hợp 3: Chọn 2 học sinh nữ và 2 học sinh nam có 2 2 6. 4 C C cách chọn. Theo quy tắc cộng ta có: 4 3 1 2 2 6 6. 4 6. 4 185 C C C C C cách chọn.
Lời giải của bạn Bình.
Bước 1: Chọn 2 học sinh nữ, có tất cả: 2 6
C cách chọn
Bước 2: Chọn 2 học sinh bất kỳ trong 8 học sinh cịn lại, có 2 8 C cách chọn Vậy ta có: 2 2 6. 8 C C cách chọn.
Trong lời giải trên có ít nhất một lời giải sai. Giáo viên tổ chức cho học sinh nghiên cứu kĩ các chiến lược trong lời giải của hai bạn. Sau khi phát hiện sai lầm học sinh cần đánh giá, tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến sai lầm, rút ra kinh nghiệm.
Trong lời giải của bạn Bình có lỗi sai là kết quả lặp lại nhiều lần, cụ thể: Giả sử 10 bạn trong đó 6 bạn nữ là: 1,2,3,4,5,6 , và 4 bạn nam là: A B C D, , ,
Bước 1: Chọn 2 bạn nữ, giả sử chọn 1,2
Bước 2: Chọn 2 bạn bất kỳ trong 8 bạn còn lại, ta giả sử chọn được 2 bạn bất kỳ là nam: 3,4
Vậy ta sẽ có 4 bạn được chọn và có ít nhất 2 nữ là: 1,2,3,4 Tuy nhiên với cách chọn khác:
Bước 1: Chọn 2 bạn nữ là 3,4
Bước 2: Chọn 2 bạn bất kỳ trong số 8 bạn còn lại, ta giả sử chọn được 2 bạn nữ 1,2
Vậy ta có 4 bạn được chọn trong đó có ít nhất 2 bạn nữ là: 1,2,3,4 Ta thấy với hai cách chọn khác nhau nhưng kết quả lại trùng nhau. Vì vậy lời giải của bạn Bình sai. Vì sao?
Sau khi học sinh giải xong bài toán, giáo viên cho học sinh đánh giá xem bài tốn có phù hợp với thực tiễn không? Nếu kết quả là một số quá lớn (Chẳng hạn lớn hơn 4
10 210
C ) hoặc quá bé thì sẽ giúp học sinh linh cảm đến sai lầm trong lời giải vì chọn 4 người bất kỳ mà số cách cũng chỉ lên tới 210 cách vậy mà chọn 4 người có sự giằng buộc về điều kiện số cách lại cao hơn thì khơng đúng, từ đó giáo viên tổ chức cho học sinh đánh giá, xem xét lại những phép toán hay những lập luận chưa chặt chẽ trong lời giải của bạn Bình.
Trong các câu hỏi trắc nghiệm khách quan nhiều lựa chọn, mỗi câu có nhiều đáp án nhưng chỉ có một đáp án đúng, các phương án khác là các phương án nhiễu mà bản thân nó là do sai lầm mà học sinh hay mắc phải. Như vậy chứa
đựng bên trong các câu hỏi trắc nghiệm khách quan có rất nhiều sai lầm của học sinh.
Với những câu hỏi trắc nghiệm khách quan có nhược điểm là khơng rèn được cho học sinh kĩ năng lập luận, diễn đạt của học sinh, hay học sinh không biết làm nhưng vẫn có thể chọn được đáp án đúng nhờ vào may rủi… Tuy nhiên trắc nghiệm khách quan vẫn có những ưu điểm như đem lại sự kích thích tư duy, nhận biết sai lầm. Góp phần nâng cao năng lực đánh giá q trình giải tốn.
Ví dụ 16. Một đồn đại biểu có 12 người. Cần thành lập lên một ban lãnh đạo của đồn gồm 5 người trong đó có 2 người là lãnh đạo, 3 người là ủy viên. Hỏi có Bao nhiêu cách lập? A. 2 3 12 12 C C B. 2 5 12 12 C C C. 2 3 12 10 C C D. 2 5 10 12 C C
Dựa vào dự tư duy của bản thân học sinh có thể nhận thấy sự sai sót trong đáp án B và D. Vì số người lấy ra chỉ 5 người và chính là số trên của tổ hợp. Trong đó đáp án B và D có số người lấy ra là 7 người nên ta loại luôn B và D, như vậy là các sai lầm được nhận diện. Việc sử dụng các kí hiệu về số tổ hợp, các phép toán cộng, nhân giúp học sinh xác định được chiến lược của mỗi lời giải, từ đó nhận ra được đâu là kết luận đúng.
Ví dụ 17: Cho 10 người ngồi trên 10 cái ghế, xung quanh một bàn trịn, trong đó
có 4 học sinh nữ và 6 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho khơng có hai học sinh nữ nào ngồi cạnh nhau?
Lời giải của học sinh:
Ta xét bài tốn gián tiếp: Tính số cách sắp xếp sao cho mỗi học sinh nữ đều ngồi cạnh một học sinh nam khác.
Ta có 2 4
A cách chọn 2 học sinh nữ bất kỳ (có thứ tự). Như vậy 4 học sinh nữ được chia làm 2 nhóm. Ta cần tìm 2 trong số 5 cặp chỗ ngồi cho 2 cặp học sinh nữ này. Có 2
5
C cách chọn chỗ ngồi cho 2 cặp học sinh nữ.
6 học sinh nam còn lại được xếp tuỳ ý giữa các học sinh nữ, ta cố định vị trí của một học sinh nam thì 5 học sinh nam cịn lại có 5!Cách xếp vịng trịn.
Vậy số cách xếp để mỗi học sinh nữ đều ngồi cạnh học sinh nữ khác là: 2 2
4. .5! 144005
A C cách.
Mặt khác, 10 người xếp quanh bàn trịn thì có 9! Cách xếp
Vậy số cách xếp 2 học sinh nữ không ngồi cạnh nhau là: 9! 14400 348480 cách.
Nguyên nhân sai lầm:
Do học sinh phân chia thiếu trường hợp 3 nữ ngồi cạnh nhau, học sinh nữ cịn lại khơng ngồi cạnh bạn nữ nào.
Lời giải đúng:
Giả sử đã xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh nam. Vì 4 học sinh nữ khơng ngồi cạnh nhau nên họ được chọn 4 trong 6 vị trí xen kẽ giữa học sinh nam. Số cách chọn là: 4
6
A . Vì 2 cách xếp vị trí cho 10 người với cùng một thứ tự quanh bàn trịn được coi là một nên ta có thể chọn trước vị trí cho một học sinh nam nào đó, số hốn vị của 5 học sinh nam cịn lại vào các vị trí là 5!
Vậy theo quy tắc nhân, số cách sắp xếp là: 4
6.5! 43200
A cách.
Ví dụ 18:. Trở lại ví dụ 15 về nhóm có 10 học sinh trong đó có 6 nữ. Cần
chọn nhóm có 4 người và ít nhất là có 2 nữ.
Hoặc học sinh có thể nghĩ đến một hướng giải khác ít trường hợp hơn như sau:
Học sinh sẽ đi tìm số cách chọn ra 4 người trong đó khơng q 2 nữ. Như vậy có hai trường hợp:
Trường hợp 1: Khơng có học sinh nữ nào, tức 4 bạn toàn nam ta có: 0 4
6. 4 1
C C cách chọn
Trường hợp 2: Có đúng 1 học sinh nữ được chọn, vậy ta có: 1 3 6. 4
C C cách chọn
Vậy có: 0 4 1 3 6. 4 6. 4
C C C C cách chọn sao cho không quá 2 bạn nữ. Mà ta có 4 10 C cách chọn 4 học sinh bất kỳ. Do đó ta có: 4 0 4 1 3 10 ( .6 4 6. ) 1854 C C C C C cách chọn 4 học sinh có ít nhất 2 nữ.
Ví dụ19. Một thầy giáo có 20 quyển sách khác nhau, trong đó có 9 quyển Đại số,
7 quyển Giải tích, 4 quyển hình học. Thầy muốn tặng thư viện nhà trường 10 quyển sách sao cho có đủ 3 loại sách trên. Hỏi thầy có bao nhiêu cách tặng như vậy.
Để giải bài toán này bằng cách trực tiếp liệt kê các trường hợp thì quá dài nên học sinh sẽ nghĩ đến việc làm bài tốn ngược, đó là chọn ra 10 quyển khơng đủ 3 loại sách như sau:
- Chọn ra 10 quyển bất kỳ trong số 20 quyển ta có 10 20
C
- Chọn 10 quyển khơng đủ 3 loại có các trường hợp sau:
+) Trường hợp 1: Chọn 10 quyển chỉ có Đại số và Giải tích, có 10 16
C cách +) Trường hợp 2: Chọn 10 quyển chỉ có Giải tích và Hình học, có 10
11
cách
+) Trường hợp 3: Chọn 10 quyển chỉ có Đại số và Hình học, có 10 13
C cách Vậy có tất cả 10 10 10 10
20 ( 16 11 13) 176451
C C C C cách.
Tuy nhiên nếu khai thác điều kiện này có thể phát triển thành bài tốn sau: Một thầy giáo có 20 quyển sách Tốn khác nhau, trong đó có 9 quyển Đại số, 7 quyển Giải tích, 4 quyển hình học. Thầy muốn tặng thư viện nhà trường 7 quyển có đủ 3 loại sách. Hỏi thầy có bao nhiêu cách tặng như vây.
Học sinh sẽ nghĩ đên cách giải như bài toán trên, như sau: - Chọn 7 quyển trong số 20 quyển, ta có 7
20
C cách
- Chọn 7 quyển khơng đủ ba loại có các trường hợp như sau: +) Trường hợp 1: Chọn 7 quyển chỉ có Đại số có 7
9
C cách +) Trường hợp 2: Chọn 7 quyển chỉ có Giải tích, có 7
7
C cách +) Trường hợp 3: Chọn 7 quyển có Đại số và Giải tích, có 7
16
C cách +) Trường hợp 4: Chọn 7 quyển có Giải tích và Hình học, có 7
11
C cách