1 C¡c ki¸n thùc cỡ bÊn và têp lỗ iv hm lỗi
1.2.5Dữợi vi phƠn cừa hm lỗi
1.2 Hm lỗi
1.2.5Dữợi vi phƠn cừa hm lỗi
ành ngh¾a 1.2.29. Cho f : Rn → R∪ {+∞}. Ta nâi x∗ ∈ Rn l dữợi Ôo hm cừa f tƠi x, n¸u
hx∗, z −xi ≤ f(z),∀z.
nh nghắa 1.2.30. Têp hủp tĐt cÊ cĂc dữợi Ôo hm cừa f tÔi x ÷đc gồi l dữợi vi phƠn cừa f tƠi x, kỵ hi»u l ∂f(x). Tùc l
∂f(x) = {x∗ ∈ Rn|hx∗, z −xi+f(x) ≤ f(z),∀z}.
Nâi chung, ¥y l mët têp (cõ th bng rng) trong Rn.
nh nghắa 1.2.31. Hm f ữc gåi l khÊ dữợi vi phƠn tƠi x n¸u
∂f(x) 6= ∅. V½ dư 1.2.32. X²t h m f(x) =kx k, x ∈ Rn. TÔi im x = 0, ta câ: ∂f(0) = {x∗|hx∗, xi,∀x} = {x∗| k x∗ k≤ 1} = B(0,1). ( B(0,1) l hẳnh cƯu ỡn v õng trong Rn ). Vªy h m f khÊ dữợi vi phƠn tƠi x= 0.
Nh÷ng lim x→0 f(x)−f(0)− hx∗, x−0i k x−0 k = limx→0 k x k −hx∗, xi k xk = 16= 0. Chùng tä h m f khổng khÊ vi tÔi x = 0.
M»nh · 1.2.33. i) x∗ ∈ ∂f(x) khi v ch¿ khi f0(x, y) ≥ hx∗, yi,∀y.
ii) N¸u f l hm lỗi chẵnh thữớng trản Rn, thẳ vợi mồi x ∈ dom(∂f), ta câ:
f(x) = f(x), ∂f(x) = ∂f(x).
M»nh · 1.2.34. Cho f : Rn → R∪ {+∞} lỗi. Khi õ: i) Náu x 6∈ domf th¼ ∂f(x) = ∅.
ii) x ∈ int(domf) khi v ch¿ khi ∂f(x) 6= ∅ v compact.
Trong ch÷ìng trẳnh ToĂn giÊi tẵch cờ in, ta  thĐy hm lỗi mt biỏn khấ vi, th Ôo hm cừa nõ l mởt h m ìn i»u khỉng giÊm. Tẵnh chĐt ny cõ th m rởng cho hm lỗi nhiÃu bián, khổng nhĐt thiát ph£i kh£ vi. Khi â, ¡nh xÔ (toĂn tỷ) x → ∂f(.) s³ l mët Ănh xÔ a tr. Nhữ thữớng lằ, ta s kỵ hiằu têp tĐt cÊ cĂc têp con cõa Rn l 2Rn.
Cho T l mët to¡n tû a trà trản Rn, tực l vi mội x Rn, thẳ T(x)
l mởt têp (cõ th bơng rộng). Kỵ hiằu miÃn xĂc ành cõa T l :
domT = {x ∈ Rn|T(x) 6= ∅},
v ỗ thà cõa T l G(T) = {(x, y) RnìRn|y T(x)}.
nh nghắa 1.2.35. Cho T :Rn 2Rn v C ⊆domT.
Ta nâi T l ỡn iằu tuƯn hon trản C, náu vợi mồi số nguyản dữỡng
m v måi c°p (xi, yi) ∈ G(T), xi ∈ C(i = 0,1, ..., m) ta câ:
N¸u (1.1) ch úng vợi m = 1, thẳ ta nõi T ìn i»u tr¶n C, tùc l
hy −y0, x −x0i ≥ 0,∀x, x0 ∈ C,∀y ∈ T(x),∀y0 ∈ T(x0).
N¸u T ỡn iằu (hoc ỡn iằu tuƯn hon) trản domT, th¼ ta nâi ngn gån l T ìn i»u (ìn i»u ho n to n).
Nhªn xt rơng, náu T ≡ ∂f, thẳ T ỡn iằu tuƯn hon trảndom(∂f). Thªt vªy, ∀m ∈ N,∀(xi, yi) ∈ G(∂f), xi ∈ dom(∂f)(i = 0, ..., m) ta câ: G(∂f) = (xi, yi)|yi ∈ ∂f(xi), i = 0, ..., m . Suy ra hy0, x1 −x0i+f(x0) ≤ f(x1) hy1, x2 −x1i+f(x1) ≤ f(x2) ... ... hym, x0 −xmi+f(xm) ≤ f(x0). Cởng vá mợi vá cừa bĐt ng thực trản, ta ÷đc: hy0, x1 −x0i+ hy1, x2 −x1i +...+hym, x0 −xmi ≤ 0.
Theo ành ngh¾a, T f ỡn iằu tuƯn hon trản dom(f).
Mt cu hi c t ra l iÃu ngữủc lÔi cõ úng khổng? TrÊ lới cƠu häi nay, ta câ m»nh · sau:
M»nh · 1.2.36. Gi£ sû S l mët to¡n tû a trà tø Rn → Rn.
i·u kiằn cƯn v ừ tỗn tÔi mởt hm lỗi, õng, chẵnh thữớng f trản
Rn sao cho S(x) ⊆ ∂f(x) vỵi moi x l to¡n tû S ỡn iằu tuƯn hon. nh nghắa 1.2.37. Ta nõi mởt toĂn tû T : Rn → 2Rn l ìn i»u cüc Ơi nỏu nừ l n iu v ỗ th cừa nõ khỉng ph£i l tªp con thüc sỹ cừa ỗ thi cừa mởt to¡n tû ìn i»u n o kh¡c.
To¡n tû T ÷đc gåi l ìn iằu tuƯn hon cỹc Ơi, náu nõ l ỡn iằu tuƯn hon v ỗ th cừa nõ khổng l têp con thỹc sỹ cừa ỗ th cõa mët to¡n tû ìn i»u tu¦n ho n kh¡c. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
H» qu£ 1.2.38. Mồi toĂn tỷ ỡn iằu tuƯn hon cỹc Ôi trong Rn ·u l dữợi vi phƠn cừa mởt hm lỗi, õng, chẵnh thữớng tr¶n Rn.
Mằnh à 1.2.39. (nh lỵ Moreau-Rockafellar)
Cho fi, i= 1, ..., m l cĂc hm lỗi chẵnh thữớng tr¶n Rn. Khi õ
m X i=1 fi(x) ( m X i=1 fi(x)),x. Náu ri(domfi) 6= , thẳ m X i=1 fi(x) = ( m X i=1 fi(x)),x.
Chữỡng 2
Tẵnh chĐt cỹc tr cừa hm lỗi
Cỹc tr (cỹc Ôi, cỹc tiu) cừa mởt hm lỗi trản mởt têp lỗi cõ nhỳng tẵnh chĐt riảng, lỵ thú. Sỹ nghiản cựu và tẵnh chĐt cỹc tr cừa mởt hm lỗi trản mởt têp lỗi l mởt à ti quan trồng cừa lỵ thuyát tối ữu. Trong nhi·u v§n · ùng dưng ngữới ta thữớng gp bi toĂn tẳm cỹc tiu hay cỹc Ôi cừa mởt hm lỗi trản mởt têp lỗi. Hai bi toĂn ny cõ nhỳng tẵnh chĐt cỡ bÊn rĐt khĂc nhau. Tuy nhiản tẵnh chĐt lỗi ko theo nhỳng °c thị ri¶ng cho méi b i to¡n. Lủi dửng cĂc tẵnh chĐt ny, ngữới ta ữa ra ữc nhỳng phữỡng phĂp giÊi quyát khĂc nhau cho méi b i to¡n k trản.
Chữỡng ny trữợc hát giợi thiằu nh nghắa và cỹc tr (cỹc Ôi, cỹc tiu) cừa mởt hm lỗi. Tiáp theo trẳnh by và nhỳng tẵnh chĐt cỡ bÊn và cỹc tiu v cỹc Ôi cừa mởt hm lỗi trản mởt têp lỗi.
CĂc khĂi niằm v kát quÊ trẳnh by trong chữỡng ny ữủc lĐy tứ ti li»u tham kh£o [1], [3] trong danh möc t i li»u tham kh£o.
2.1 nh nghắa cỹc tr cừa mởt hm lỗi
ành ngh¾a 2.1.1. Cho C ⊆ Rn kh¡c réng v f : Rn → R. Mët iºm
x∗ ∈ C ÷đc gåi l cüc tiºu a phữỡng trản C náu tỗn tÔi mởt lƠn cên U cõa x∗ sao cho
f(x∗) ≤f(x),∀x ∈ U ∩ C.
iºm x∗ ∈ C ÷đc gåi l cüc Ơi a phữỡng nỏu
f(x) f(x),x U C.
Náu
f(x) f(x),x C.
thẳ x∗ ÷đc gåi l cüc tiºu to n cưc hay cüc tiºu tuy»t èi cõa f trản C. V náu
f(x∗) ≥ f(x),∀x ∈ C.
th¼ x∗ ữủc gồi l cỹc Ơi ton cửc hay cỹc Ơi tuyằt ối cừa f tr¶n C.