3 B i to¡n cüc trà hm lỗi
3.5iºm y¶n ngüa
iºm y¶n ngüa l mët kh¡i ni»m rĐt hỳu ẵch trong khi nghiản cựu cĂc iÃu kiằn tối ữu v ối ngău.
Cho X ⊂ Rn, Y ⊂ Rm, F : X ×Y → R. Mët iºm (x∗;y∗) ∈ X ×Y
ữủc gồi l im yản ngỹa cừa hm F trản X ×Y, n¸u
F(x∗, y) ≤ F(x∗, y∗) ≤F(x, y∗),∀x ∈ X, y Y.
Nh vờy, nỏu (x;y) l im yản ngỹa thẳ x∗ l iºm cüc tiºu tr¶n X cõa h m F(., y∗) v y∗ l cỹc Ôi trản Y cừa F(x∗, .).
Ta x²t iºm y¶n ngüa cõa h m Lagrange cho b i to¡n (P). H m n y l : L(x, y) =f(x) + m X i=1 yjgj(x).
nh lỵ 3.5.1. Náu (x∗;y∗) l im yản ngỹa cừa L(x, y) trản X ìRm
+ thẳ x∗ l nghi»m cõa (P) v y∗ l nghi»m cõa (D).
Chùng minh. Do (x∗;y∗) l iºm y¶n ngüa cõa L(x, y) n¶n ta câ
L(x∗, y∗) = f(x∗) ≤ f(x) +hy∗, g(x)i,∀x ∈ X.
Vêy náu g(x) ≤0 th¼
f(x∗) ≤f(x),∀x ∈ X.
Suy ra x∗ l nghi»m cõa (P). Hìn núa, ∀y > 0 ta câ
d(y) = inf
x∈Xf(x) +hy, g(x)i ≤ f(x∗) +hy, g(x∗)i ≤ f(x∗).
M°t kh¡c
d(y∗) = inf
x∈XL(x, y∗) = Minx∈X L(x, y∗) = f(x∗).
Suy ra y∗ l nghi»m cõa (D).
ành lỵ 3.5.2. GiÊ sỷ (P) l mởt qui hoÔch lỗi (X, g, f lỗi) thọa mÂn i·u ki»n Slater. Lóc â x∗ l nghiằm cừa (P) khi v ch khi tỗn tai
y∗ ≥ 0 º (x∗, y∗) l iºm y¶n ngüa cõa L trản X ìRm
+ v y l nghiằm cừa bi ton i ngău (D).
Chựng minh.
- i·u ki»n õ ch½nh l nh lỵ (3.5.1) - BƠy gií ta s³ chùng minh i·u ki»n c¦n: Gi£ sû x∗ l nghi»m cừa (P).
Do (P) lỗi v thọa mÂn iÃu kiằn Slater, theo nh lỵ cp ối ngău. Suy ra (P), (D) l cp ối ngău chẵnh xĂc. Tực l
f(x∗) = d(y∗), vỵi y∗ ≥ 0.
Theo ành ngh¾a cõa d(y∗) ta câ
f(x∗) =d(y∗) = inf
x∈XL(x, y∗).
Suy ra x∗ l iºm cüc tiºu cõa L(., y∗) tr¶n X. Ngo i ra f(x∗) ≤f(x) +hy∗, g(x)i,∀x ∈ X
Vỵi x = x∗ ⇒ hy∗, g(x∗)i = 0. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Suy ra (x∗, y∗) l iºm y¶n ngüa
Theo nh lỵ (3.5.1) thẳ y∗ l nghi»m cõa b i to¡n (D).