3 B i to¡n cüc trà hm lỗi
3.4ối ngău Lagrange
ối ngău l mởt phƯn quan trồng nhĐt trong tối ữu hõa. ị tững cừa ối ngău l: vợi méi b i to¡n tèi ÷u ang x²t (gåi l b i to¡n gèc), ta xƠy dỹng mởt bi toĂn tối ữu khĂc (gồi l b i to¡n èi ngău ) sao cho giỳa cĂc b i to¡n n y câ mët mèi li¶n quan ch°t ch³. ỡn giÊn m văn thĐy ró ỵ tững cừa lỵ thuyát ối ngău, ta xt b i to¡n sau:
(P)
Minf(x) vỵi c¡c i·u ki»n
gj(x) ≤ 0,∀j = 1, ..., m x ∈ X.
Tứ bi toĂn ny ngữới ta xƠy dỹng mởt bi toĂn tối ữu khĂc cõ dÔng (D)
maxd(y) vỵi c¡c i·u ki»n
y ≥0 y ∈ Rm.
Ta nâi (D) l b i to¡n ối ngău cừa (P) náu vợi mồi im chĐp nhên
x cõa (P) v y cõa (D) ta câ
f(x) ≥d(y).
C°p ối ngău (P) v (D) gồi l chẵnh xĂc, náu tỗn tÔi cĂc im chĐp nhên x∗ cõa (D) v y∗ cõa (P) sao cho f(x∗) =d(y∗).
Trong ối ngău Lagrange bi toĂn ối ngău cừa (P) ữủc xƠy dỹng thỉng qua h m Lagrange nh÷ sau:
X²t h m Lagrange cõa (P) l L(x, y) =f(x) + m X i=1 yjgj(x).
LĐy hm mửc tiảu cừa bi toĂn ối ngău l
d(y) = inf
x∈XL(x, y).
v mi·n r ng buëc cõa (D) l Rm+. Khi õ bi toĂn ối ngău (D) tr th nh sup y≥0 d(y) = sup y≥0 inf x∈X L(x, y).
ành lỵ 3.4.1. (nh lỵ ối ngău) GiÊ sỷ i) B i to¡n (P) câ nghi»m
ii) f v gj, (i = 1, ..., m) l cĂc hm lỗi, liản tửc trản têp lỗi õng X iii) i·u ki»n Slater thäa m¢n, tùc l ∃x0 sao cho gj(x0) < 0,∀j = 1, ..., m
Khi â (P) v (D) l cp ối ngău chẵnh xĂc.
Chựng minh. Gồi D l miÃn chĐp nhên ữủc cõa b i to¡n (P)
∀x ∈ D, y ≥0 ⇒f(x) ≥ d(y).
Tứ Ơy chựng minh rơng (P) v (D) l cp ối ngău chẵnh xĂc ta ch¿ c¦n ch¿ ra ∃y ≥ 0 sao cho d(y) ≥ f(x∗) (trong â x∗ l nghi»m cõa (P) ).
Thªt vªy X²t
A = {(t, z) ∈ R×Rm|t > f(x), z ≥ g(x), x ∈ X}.
Do f lỗi, gj lỗi suy ra A lỗi
GiÊ sỷ x∗ l nghi»m cõa (P), khi â u∗ = (f(x∗),0) 6∈ A.
Vẳ náu(f(x∗),0) ∈ Asuy ra tỗn tÔi x thäa m¢nf(x∗) > f(x),0≥ g(x)
(vổ lỵ).
Theo nh lỵ tĂch, tỗn tƠi vectì v = (α, y) 6= 0 ∈ R×Rm sao cho
vTu ≥ vTu∗, ∀u = (t, z) ∈ A (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
⇔αt+hy, zi ≥ αf(x∗) +yT0 = αf(x∗),∀(t, z) ∈ A.
(3.6) Do tẵnh liản tửc cừa f, g (3.6) óng cho måi (t, z) ∈ A
Do (f(x), g(x)) ∈ A thay v o (3.6) ta câ:
αf(x) +hy, g(x)i ≥ αf(x∗),∀x ∈ X. (3.7) Ta câ y ≥ 0.
Thêt vêy náu tỗn tÔi mởt tồa ở yj < 0. Ta l§y
(t0, z) = (t0, z0 +ξej) ∈ A,∀ξ > 0.
Trong â ej l vectì ìn và thù j. Thay (t0, z) v o (3.6) ta câ
αt0 +hy, z0 +ξeji ≥ αf(x∗),∀ξ >0 αt0 +hy, z0i+ξhy, eji ≥ αf(x∗),∀ξ >0 αt0 +hy, z0i+ ξyj ≥ αf(x∗),∀ξ >0.
Cho ξ → +∞ suy ra vá trĂi bơng m vá phÊi hỳu hÔn (mƠu thuăn).
Chựng tọ y ≥ 0. Hìn núa α ≥0 (chùng minh t÷ìng tü nh÷ y ≥ 0). Ta ch thảm rơng, náu = 0, khi â (3.6) trð th nh hy, g(x)i ≥
0,∀x ∈ X.
Do y ≥ 0, n¶n i·u ny mƠu thuăn vợi giÊ thiát Slater. Do α > 0 n¶n ta chia hai vá cừa (3.7) cho ta ữc
f(x) +hy , g(x)i ≥ f(x∗),∀x ∈ X d(y α) ≥f(x∗),∀x ∈ X. Theo tr¶n d(y α) ≤ f(x∗) Suy ra d(y α) = f(x ∗)
Vêy (P) v (D) l cp ối ngău chẵnh x¡c.