2.2.1 Tẵnh chĐt cỹc tiu cừa hm lỗi
Mằnh à dữợi Ơy cho thĐy måi iºm cüc tiºu àa ph÷ìng cõa mët hm lỗi trản mởt têp lỗi cụng chẵnh l iºm cüc tiºu tuy»t èi.
M»nh · 2.2.1. Cho f : Rn → R∪ {+∞} lỗi. Khi õ, mồi im cỹc tiºu àa ph÷ìng cõa f trản mởt têp lỗi Ãu l cỹc tiu ton cửc. Hỡn núa, tªp hđp c¡c iºm cüc tiºu cõa f l mởt têp lỗi. Náu f lỗi cht thẳ im cỹc tiu náu tỗn tÔi s duy nhĐt.
Chùng minh. Cho C ⊆Rn. Gi£ sû x∗ l iºm cüc tiºu a phữỡng cừa f
trản C.
Khi ừ tn tễi ln cờn U cừa x∗ sao cho
f(x∗) ≤f(x),∀x ∈ U ∩ C.
Vỵi måi x ∈ C, v 0 < λ < 1, do C lỗi v U l lƠn cên cừa x∗ ∈ C, n¶n iºm xλ = (1−λ)x∗+λx ∈ C∩U khi λ õ nhä . Do f(x∗) ≤ f(xλ)
v f lỗi, ta câ
f(x∗) ≤ f(xλ) ≤(1−λ)f(x∗) +λf(x).
Tø ¥y, suy ra f(x∗) ≤ f(x),∀x ∈ C.
Chùng tä x∗ l cüc tiºu to n cöc cõa f tr¶n C.
Gi£ sû x∗, y∗ ∈ C l iºm cüc tiºu cõa f tr¶n C. Suy ra
f(x∗) ≤ f(x), f(y∗) ≤ f(x),∀x ∈ C
L§y
z∗ = λx∗ + (1−λ)y∗,vỵi 0< λ < 1.
Do C lỗi nản z∗ ∈ C v do f lỗi nản
f(z∗) ≤ λf(x∗) + (1−λ)y∗ ≤ f(x).
Suy ra z∗ l iºm cüc tiºu cõa f trản C
Vêy têp hủp c¡c iºm cüc tiºu cõa f l mởt têp lỗi.
Dạ thĐy rơng têp hủp ny ch gỗm nhi·u nh§t mët iºm khi f lỗi cht.
2.2.2 Tẵnh chĐt cỹc Ôi cừa hm lỗi
CĂc tẵnh chĐt cỹa Ôi cừa mởt hm lỗi khĂc hn cĂc tẵnh chĐt v· cüc tiºu cõa nâ. Cư th ta thĐy rơng cỹc Ơi a phữỡng cừa mởt hm lỗi
khỉng nhĐt thiát l cỹc Ơi tuyằt ối.
V½ dư h m f(x) = x2 câ im cỹc Ơi a phữỡng trản oÔn [-1; 2] l
x = −1, những im cỹc Ôi tuyằt ối lÔi l x = 2. Náu xt hm ny trản [-2; 2] ta thy tờp cc im cỹc Ôi tuyát ối cừa nõ trản oÔn ny l khổng lỗi vẳ nõ ch gỗm 2 im -2 v 2. Dữợi Ơy náu khổng nõi gẳ thảm, ta luổn hiu cỹc Ôi l cỹc Ôi tuyằt ối.
Tứ nh nghắa hm lỗi, ta thĐy rơng, náu f l lỗi chẵnh thữớng trản mởt têp lỗi C v a, b ∈ C, th¼
∀x ∈ (a, b), x = λa+ (1−λ)b,0 < λ < 1.
Ta câ
f(x) ≤λf(a) + (1−λ)f(b) ≤ max{f(a), f(b)}.
Tứ Ơy suy ra rơng cỹc Ôi cừa mởt hm lỗi f trản [a; b] Ôt tÔi Ưu mút cừa oÔn õ. Mởt cĂch tờng quĂt ta câ: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
M»nh · 2.2.2. i) Gi£ sû f l mởt hm lỗi chẵnh thữớng trản Rn v
C ⊆ Rn l mët tªp lỗi. Khi õ náu f Ơt cỹc Ôi tÔi mởt im trong tữỡng ối cừa C, thẳ f l h¬ng số trản C.
ii) Náu f l mët hm lỗi chẵnh thữớng, b chn trản trong mởt têp a-phin, thẳ nõ l hơng số trản têp ny.
Chựng minh.
i) Gi£ sû a ∈ riC l im tÔi õ f Ôt cỹc Ôi cừa nõ trản C. Theo tẵnh chĐt cừa im trong tữỡng ối ta cõ
∀x ∈ af f C,∃y ∈ C sao cho a ∈ (x, y).
Theo nhên xt trản v do f(x) ≤ f(a), f(y) ≤ f(a),inf lỗi, suy ra
Vêy f l hng s trn C.
ii) Náu f khỉng l h¬ng sè trản têp a-phin M, cõ nghắa l tỗn tÔi
a, b ∈ M sao cho f(a) < f(b).Vi mồi x thc nỷa ữớng thng xuĐt phĂt tứ a v cõ hữợng b - a Ãu cõ dÔng x = a+ λ(b−a), λ > 0. Khi â b = 1 λx+ λ−1 λ a.
Vỵi måi λ > 1, theo t½nh chĐt lỗi cừa f ta cõ
f(b) 1
f(x) +
1 f(a).
Tứ Ơy v do giÊ thiát f(x) ≤ m < ∞,∀x ∈ M, ta suy ra
f(b)−f(a) ≤ 1
λf(x)− 1
λf(a) ≤ 1
λ[m−f(a)].
i·u n y óng vỵi måi λ > 1, nản khi cho + vá ph£i, do f(x) hỳu hÔn, nản vá phÊi tián dƯn tợi 0. Trong khi õ theo giÊ thiát, v¸ tr¡i f(b) - f(a) > 0 (mƠu thuăn).
Vêy f ph£i l h¬ng số trản têp a-phin M.
Hằ quÊ 2.2.3. Náu mởt hm lỗi Ôt cỹc Ôi trản mởt têp lỗi cõ im cỹc biản, thẳ cỹc Ôi s Ôt tÔi mởt im cỹc biản cừa têp lỗi õ.
Chựng minh. Gi£ sû x∗ l iºm cỹc Ôi cừa f trn tờp li C. Nỏu x
khng phÊi l im cỹc biản cừa C, thẳ tỗn tÔi a, b ∈ C v λ ∈ (0,1) sao cho x∗ = λa+ (1−λ)b.
Theo i) cõa m»nh · (2.2.2), ta câ
H» qu£ 2.2.4. Cho Γ ={λd|λ ≥ 0} v Γa = a+ Γ vỵi a, d ∈ Rn. Gi£ sû f l mởt hm lỗi chẵnh thữớng trản Rn v f b chn trản nỷa ữớng th¯ng Γa. Khi â f bà ch°n trản mồi nỷa ữớng thng song song vợi Γa. Ngo i ra cỹc Ôi cừa f trn na ng thng ễt tễi Ưu mút cừa nâ.
Chùng minh. Do f bà ch°n tr¶n tia a, nản a domf. Náu b//a
thẳ b domf.
Theo hằ quÊ (2.2.3), tẵnh b chn trản cừa mởt hm lỗi trản mởt nỷa ữớng thng khổng phử thuởc vo Ưu mút cừa nûa ÷íng th¯ng m ch¿ phư thuởc vo hữợng cừa nõ.
Ch֓ng 3 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
B i to¡n cỹc tr hm lỗi
Dỹa trản cĂc kát quÊ và cỹc tr cừa hm lỗi  nảu, chữỡng ny s giợi thiằu bi toĂn tối ữu lỗi v cĂc lỵ thuyát liản quan cho b i to¡n n y, nh÷ l cĂc iÃu kiằn tối ữu, lỵ thuyát ối ngău, iºm y¶n ngüa...
C¡c kh¡i ni»m v kát quÊ trẳnh by trong chữỡng ny ữủc lĐy tø t i li»u tham kh£o [1], [4] trong danh möc t i li»u tham kh£o.
3.1 Bi toĂn tối ữu lỗi khổng cõ r ng buëc
X²t b i to¡n:
(P1) min{f(x) : x ∈ Rn}.
trong â f l hm lỗi khÊ dữợi vi phƠn trản Rn.
M»nh · 3.1.1. º x∗ ∈ Rn l nghi»m cõa b i to¡n (P1), i·u ki»n c¦n v õ l :
0 ∈ ∂f(x∗).
Chùng minh. x∗ l nghi»m cõa (P1) ⇔f(x∗) ≤f(x), ∀x ∈ Rn ⇔0 +f(x∗) =h0, x−x∗i+f(x∗) ≤f(x), ∀x ∈ Rn ⇔0 ∈ ∂f(x∗).
3.2 Bi toĂn tối ữu lỗi vợi r ng buëc ¯ng thùc
Gi£ sû f l hm lỗi khÊ dữợi vi phƠn trản C, C ⊆ Rn l mởt têp lỗi kh¡c réng. X²t b i to¡n: (P2) Min{f(x) : x∈ C}. Gåi δC l h m ch¿ cõa C, tùc l f(x) = 0 n¸u x ∈ C , +∞ n¸u x 6∈ C.
°t h(x) = f(x) + δC(x). Khi â, b i to¡n câ i·u ki»n (P2) ÷đc chuyºn v· b i to¡n khỉng i·u ki»n (P1) vợi hm mửc tiảu l h. i·u ki»n c¦n v õ º x∗ l iºm cüc tiºu cõa h tr¶n Rn l
0∈ ∂h(x∗) =∂(f(x∗) +δC(x∗)).
Tø ¥y ta câ m»nh · sau cho mët i·u ki»n c¦n v õ v· cüc tiºu cừa mởt hm lỗi trản mởt têp lỗi bĐt ký.
Mằnh à 3.2.1. Cho C ⊆ Rn lỗi, khĂc rộng v f : Rn −→ R∪ {+∞}. Gi£ sû ri(domf)∩riC 6= ∅.
Khi â, i·u ki»n c¦n v õ º x∗ l cüc tiºu cõa f tr¶n C l :
0∈ ∂f(x∗) +NC(x∗).
Trong â
NC(x) ={ω|hω, x−x∗i ≤ 0,∀x ∈ C}.
l nân ph¡p tuyán ngoi cừa C tÔi x∗.
Chùng minh. Gåi δC(.) l h m ch¿ cõa tªp C. Khi â, x∗ l cüc tiºu cõa f tr¶n C khi v ch¿ khi nâ l cüc tiºu cõa h m h(x) = f(x) +δC(x)
trản ton khổng gian. Theo mằnh à 3.1.1 thẳ i·u ki»n c¦n v õ º x∗
l cüc tiºu cõa h tr¶n Rn l 0 ∈ ∂h(x∗).
Do ri(domf)∩riC 6= ∅, theo nh lỵ Moreau -Rockafellar, ta câ
∂h(x∗) =∂f(x∗) +∂δC(x∗).
V¼ x∗ ∈ C n¶n δC(x∗) = NC(x∗). Suy ra ∂h(x∗) =∂f(x∗) + NC(x).
Vêy x l cỹc tiu cừa f trản C khi v ch¿ khi
0∈ ∂f(x∗) +NC(x∗).
X²t b i to¡n (P2) vỵi C l mởt a tÔp tuyán tẵnh song song vợi khổng gian con M trong Rn. Ta câ m»nh · sau: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
M»nh · 3.2.2. a) Gi£ sû f liản tửc tÔi mởt iºm cõa C, vỵi C l mët a tÔp tuyán tẵnh song song vợi khổng gian con M trong Rn v x∗ l nghi»m cõa b i to¡n (P2).
Khi â
∂f(x∗)∩M⊥ 6= ∅. (3.1) b) GiÊ sỷ (3.1) úng tÔi x∗ ∈ C. Khi â, x∗ l nghi»m cõa b i to¡n (P2). Chựng minh. a) Do C l a tÔp affin v x∗ l nghi»m cõa b i to¡n
(P2) n¶n theo m»nh · 3.2.1, ta câ:
0∈ ∂f(x∗) +NC(x∗).
Những vẳ C l mởt a tÔp tuyán tẵnh song song vợi khổng gian con M,
x∗ ∈ C n¶n theo m»nh · 1.1.13, ta câ thº vi¸t C = M +x∗. Khi â
NC(x∗) = {ω|hω, x−x∗i ≤ 0,∀x ∈ C}
= {ω|hω, y+x∗ −x∗i ≤ 0,∀y ∈ M}
Do vªy, ta câ: 0∈ ∂f(x∗) +M⊥.
Hay ∂f(x∗)∩M⊥ 6= ∅.
b) GiÊ sỷ (3.1) úng tÔi x∗ ∈ C. Khi â ∃x∗1 ∈ ∂f(x∗)∩ M⊥. Do ∀x ∈
C, x−x∗ ∈ M, ta câ:
0 = hx∗1, x−x∗i ≤ f(x)−f(x∗).
Suy ra f(x∗) ≤ f(x),∀x ∈ C.
Vªy x∗ l nghi»m cõa b i to¡n (P2).
nh lỵ 3.2.3. Cho x∗i ∈ Rn, αi ∈ R(i = 1, ..., m) v
C = {x∈ Rn : hx∗i, xi = αi, i= 1, ..., m}.
Gi£ sû f l hm lỗi chẵnh thữớng trản Rn v liản tửc tÔi mồi im cõa M. Khi â, x∗ l cüc tiºu cõa h m f tr¶n C khi v ch¿ khi tỗn tÔi
i ∈ R(i = 1, ..., m) sao cho
λ1x∗1 +...+λmx∗m ∈ ∂f(x∗).
chựng minh nh lỵ ta cƯn chựng minh bờ · sau: Bê · 3.2.4. Gi£ sû x∗i ∈ Rn(i = 1, ..., m). °t
M⊥ = {x ∈ Rn :hx∗i, xi = 0, i= 1, ..., m}.
Khi â M⊥ = lin{x∗1, ..., x∗m}. Trong â, lin l kẵ hiằu bao tuyỏn tnh hay khng gian con công bi c¡c iºm x∗1, ..., x∗m.
Chựng minh. Khổng mĐt tẵnh têng qu¡t, ta câ thº xem nh÷ x∗1, ..., x∗m
l ởc lêp tuyán tẵnh. Xt toĂn tỷ tuyán tẵnh A : Rn → Rm ÷đc x¡c ành nh÷ sau:
Khi â ImA = Rm.
Theo kát quÊ cừa giÊi tẵch hm ta cõ: (kerA) = ImA∗.
Ta lÔi cõ: (kerA)⊥ = M⊥, ImA∗ = lin{x∗
1, ..., x∗m}. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Vªy M⊥ = lin{x∗1, ..., x∗m}.
Chựng minh. (Chựng minh nh lỵ) Ta cõ, a tÔp tuyán tẵnh C song song vỵi khỉng gian con M:
M⊥ = {x ∈ Rn :hx∗i, xi = 0, i= 1, ..., m}.
Tø m»nh · 3.2.2, suy ra x∗ l cüc tiºu h m f tr¶n C khi v ch¿ khi khi ∃x∗ ∈ ∂f(x∗)∩M⊥.
Theo bê · 3.2.4, ta câ
x∗ ∈ M⊥ = lin{x∗1, ..., x∗m}.
Do õ, tỗn tÔi cĂc số 1, ..., λm sao cho
λ1x∗1 +...+λmx∗m ∈ ∂f(x∗).
3.3 B i to¡n tèi ÷u lỗi vợi rng buởc bĐt ng thực
X²t b i to¡n t¼m cüc tiºu cõa mỉt h m lỗi trản mởt têp lỗi cõ dÔng sau: (OP)
minf(x) vỵi c¡c i·u ki»n
fi(x) ≤ 0, i= 1, ..., m x ∈ A.
Trong â A ⊂ Rn l mởt têp lỗi õng khĂc rộng v fi(i = 1, ..., m) l cĂc hm lỗi hỳu hƠn trản A. Ta s³ ln gi£ sû r¬ng A câ iºm trong
B i to¡n (OP) n y ÷đc gồi l mởt qui hoễch li. Hm f ữc gồi l hm mc tiảu. C¡c i·u ki»n x ∈ A, fi(x) ≤ 0(i = 1, ..., m) ữc gồi l
cĂc rng buởc. Têp
D = {x ∈ A|fi(x) ≤0, i= 1, ..., m}.
÷đc gồi l miÃn chĐp nhên ữủc. Mởt im x ∈ D ÷đc gåi l im chĐp nhên ữủc cừa bi to¡n (OP).
Do A l tªp lỗi, fi l cĂc hm lỗi trản A, nản D cụng l mởt têp lỗi. iºm cüc tiºu cõa f trản D cụng ữủc gồi l nghi»m tèi ÷u cừa bi toĂn (OP).
Ta xƠy dỹng hm sau, ữc gồi l h m Lagrange cho b i to¡n (OP):
L(x, λ0, λ1, ..., λm) = λ0f(x) +
m
X
i=1
λifi(x).
Düa v o h m Lagrange, ta cõ kát quÊ sau:
nh lỵ 3.3.1. (Karush - Kuhn - Tucker) N¸u x∗ l nghi»m cõa b i to¡n (OP), thẳ tỗn tÔi i ≥ 0(i = 1, ..., m) khổng ỗng thới bơng 0 sao cho
L(x∗, λ0, ..., λm) = Minx∈AL(x, λ0, ..., λm) (i·u kiằn Ôo hm trữủt tiảu)
ifi(x∗) = 0(i = 1, ..., m) (i·u ki»n ë l»ch bị) Hìn núa, i·u ki»n Slater sau thäa m¢n:
∃x0 ∈ A: fi(x0) < 0(i = 1, ..., m).
th¼ λ0 > 0 v hai iÃu kiằn Ơo hm trữủt tiảu v ở lằch bũ trản l iÃu kiằn cƯn v ừ im chĐp nhên ữủc x∗ l nghi»m tèi ÷u cõa b i to¡n (OP). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chùng minh. Gi£ sû x∗ l nghi»m cõa b i to¡n (OP). °t
C = (µ0, µ1, ..., µm) ∈ Rm+1|∃x ∈ A :
Ta câ: intRm+1+ ⊂ C.
Thêt vêy, lĐy (µ0, µ1, ..., µm) ∈ Rm+1+ . Khi â, µi > 0(i = 1, ..., m). Vỵi x = x∗ ta câ:
µ0 > f(x)−f(x∗), µi > 0≥ fi(x∗) (i = 1, ..., m).
⇒ (µ0, µ1, ..., µm) ∈ C ⇒ intRm+1+ ⊂ C ⇒intC 6= ∅.
Do A, f, f1, ..., fm lỗi nản C lỗi.
Hỡn nỳa, 0 6∈ C. Thêt vêy, náu 0 ∈ C th¼ ∃x ∈ A thäa m¢n:
f(x) < f(x∗), fi(x) ≤ 0 (i = 1, ..., m).
Do â x∗ khæng l nghi»m cõa (OP) núa, mƠu thuăn vợi giÊ thiát. Vẳ vªy 0 6∈ C.
Theo nh lỵ tĂch 1, cõ th tĂch têp C v 0 bi mởt phiám hm tuyán tẵnh khĂc 0, tực l tỗn tÔi cĂc số 0, λ1, ..., λm khổng ỗng thới bơng 0, sao cho:
m
X
i=0
λiµi ≥0, ∀(µ0, µ1, ..., µm) ∈ C. (3.2) Do intRm+1+ ⊂ C, ta suy ra: λi ≥ 0 (i = 0, ..., m).
Vỵi måi ε > 0 v x A, ta lĐy à0 = f0(x)f0(x) +ε, µi = fi(x)(i = 1, ..., m) rỗi thay vo (3.2) v cho ε → 0, ta ÷đc:
λ0f0(x) + m X i=1 λifi(x) ≥ λ0f0(x∗), ∀x ∈ A. (3.3) Do x∗ l iºm ch§p nhên ữủc, ta cõ fi(x∗) ≤ 0 (i = 1, ..., m). N¸u ∃i ∈ i = 1, ..., m :fi(x∗) = −α < 0 th¼ ∀ε > 0, 0 = f0(x∗)−f0(x∗) < ε, fj(x∗) ≤ 0 < ε (j = 1, ..., i−1, i, i+ 1, ..., m)
⇒ (ε, ...,−α, ε, ..., ε) ∈ C ( −α ð và tr½ thù i)
−λiα ≥ (do (3.2) v cho ε→ 0 )
⇒ λi ≤0 ⇒λi = 0 (Do λi ≥0 ).
Nhữ vêy, n¸u fi(x∗) < 0, th¼ λi = 0. Do â:
λifi(x∗) = 0 (i = 1, ..., m).
Vªy iÃu kiằn ở lằch bũ ữủc thọa mÂn. V do â, tø (3.3) ta câ: λ0f(x) + m X i=1 λifi(x) ≤ λ0f(x∗) + m X i=1 λifi(x∗) (∀x ∈ A).
Hay L(x∗, λ0, ..., λm) = Minx∈AL(x, λ0, ..., λm).
º chùng minh i·u ki»n õ, ta gi£ sû i·u ki»n Slater thäa m¢n. Khi â λ0 > 0.
Thờt vờy, v náu 0 = 0, thẳ trong số c¡c λ1, ..., λm phÊi cõ ẵt nhĐt mët λi > 0. Do â λ0f(x0) + m X i=1 λifi(x0) < 0 = λ0f(x∗) + m X i=1 λifi(x∗).
iÃu ny mƠu thuăn vợi iÃu kiằn Ôo hm trữủt tiảu trản. Vêy
λ0 > 0.
Do λ0 > 0, nản bơng cĂch chia cho λ0 > 0, ta câ thº coi h m Lagrange l L(x, λ0, ..., λm) = f(x) + m X i=1 λifi(x).
Tø i·u kiằn Ôo hm trữủt tiảu v ở lằch bũ, vợi mồi x chĐp nhên ữủc, ta câ: f(x∗) = f(x∗) + m X i=1 λifi(x∗) ≤ f(x) + m X i=1 λifi(x) ≤f(x). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chùng tä x∗ l nghi»m tèi ÷u cõa b i to¡n (OP).
ành lỵ 3.3.2. GiÊ sỷ cĂc hm f, f1, ..., fm v A l lỗi; f, f1, ..., fm li¶n tưc tƠi mởt im cừa A; x∗ l im chĐp nhên ữủc cừa bi toĂn (OP). Khi â;
a) N¸u x∗ l nghiằm cừa (OP), thẳ tỗn tÔi cĂc i ≥ 0(i = 1, ..., m)
khổng ỗng thới bơng 0, sao cho:
0 0f(x) +1f1(x) +...+λm∂fm(x∗) +NA(x∗). (3.4)
λifi(x∗) = 0 (i = 1, ..., m). (3.5) Trong â, NA(x∗) l nân ph¡p tuy¸n ngo i cõa A tÔi x∗.
b) Hỡn nỳa, náu iÃu kiằn Slater úng, thẳ λ0 > 0 v c¡c i·u ki»n (3.4), (3.5) ð tr¶n cơng l i·u ki»n ừ im chĐp nhên x∗ l nghi»m tèi ÷u cõa b i to¡n (OP).
Chùng minh.a) X²t h m Lagrange cõ dÔng:
L1(x, λ0, λ1, ..., λm) = λ0f(x) + m X i=1 λifi(x) +δA(x∗). Trong â δA(x∗) l h m ch¿ cõa tªp A.
Do x∗ l nghi»m cõa b i to¡n (OP), tứ nh lỵ Karush - Kuhn - Tucker, ta câ:
L(x∗, λ0, ..., λm) = Minx∈AL(x, λ0, ..., λm). L1(x∗, λ0, ..., λm) = Minx∈RnL1(x, λ0, ..., λm).
λifi(x∗) = 0 (i = 1, ..., m).
Vẳ thá, hm L1(., λ0, ..., λm) Ôt cỹc tiu tÔix∗. theo m»nh · (3.1.1),
Ngo i ra∂δA(x∗) =NA(x∗). Do vêy, theo nh lỵ Moreau - Rockafellar, ta cõ ữc:
0 0f0(x) +...+ mfm(x) +NA(x).
b) Náu i·u ki»n Slater úng, theo nh lỵ (3.2.3), ta suy ra λ0 > 0
v câ thº xem nh÷ λ0 = 1.
Gi£ sû (3.4), (3.5) thäa m¢n. Khi õ, tỗn tƠi x∗i ∈ ∂fi(x∗) (i = 1, ..., m), x∗m+1 ∈ NA(x∗) sao cho:
x∗0 + m+1 X i=1 λix∗i = 0. ⇒ 0 =hx∗0+ m+1 X i=1 λix∗i, x−x∗i ≤ f(x)−f(x∗)+ m X i=1 λi(fi(x)−fi(x∗)),∀x ∈ A ⇒ f(x) + Pmi=1λifi(x) ≥f(x∗) + Pmi=1λifi(x∗), ∀x ∈ A.
Tứ nh lỵ (3.3.1), suy ra x∗ l nghi»m cõa (OP). Vẵ dử 3.3.3. Xt bi toĂn sau trản khổng gian R2 :
(OP)
Min(px2 +y2 −x) vỵi c¡c i·u ki»n
t(x−1) +y2 ≤ 0, t ∈ 0,1,2
(x, y) ∈ C = {(x, y)|y ≥ 0, x ∈ R}.
°t
f(x, y) = px2 +y2 −x,
ft(x, y) = t(x−1) +y2 ≤ 0, t = 0,1,2.
Trữợc hát, dạ thĐy miÃn chĐp nhªn cõa b i to¡n l
D = (x, y) ∈ R2|x ≤ 1, y = 0 .
Ta câ ∂f(0,0) = n (u, v) ∈ R2|(u, v)(x, y) ≤px2 +y2 −x,∀(x, y) ∈ C o = (u, v) ∈ R2|(u+ 1)2 +v2 ≤1 , ∂ft(0,0) = (u, v) ∈ R2|(u, v)(x, y)−t ≤ t(x−1) +y2,∀(x, y) ∈ C = {(t,0)}, t = 0,1,2. ∂δC(0,0) = NC(0,0) = (u, v) ∈ R2|(u, v)(x, y) ≤ 0,∀(x, y) ∈ C . Chån λ0 = 1, λ1 = 0, λ2 = 0, ta câ: (0,0) ∈ ∂f(0,0) +λ0∂f0(0,0) +λ1∂f1(0,0) +λ2∂f2(0,0) +NC(0,0), λifi(0,0) = 0, i = 0,1,2. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Theo kát quÊ cừa nh lỵ (3.3.2), ta suy ra im (0, 0) ch½nh l nghi»m tèi ÷u cõa b i to¡n (OP).
3.4 ối ngău Lagrange
ối ngău l mởt phƯn quan trồng nhĐt trong tối ữu hõa. ị tững cừa ối ngău l: vợi méi b i to¡n tèi ÷u ang x²t (gåi l b i to¡n gèc), ta x¥y düng mët b i to¡n tèi ÷u kh¡c (gåi l b i to¡n èi ngău ) sao cho giỳa cĂc b i to¡n n y câ mët mèi li¶n quan ch°t ch³. ỡn giÊn m