Bảng kế hoạch tự học Phƣơng trình vơ tỉ

STT Phương pháp giải

phương trình vơ tỉ

Mục tiêu

Ví dụ minh họa, bài tập vận dụng Thời gian Hoàn thành 1. 2. 3. …. ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- --------------- --------------- --------------- --------------- -------------- -------------- -------------- --------------

2.2.2.2. Hướng dẫn học sinh tự đọc tài liệu

Trong hoạt động tự học của học sinh khơng thể thiếu hình thức tự học với tài liệu. Để rèn luyện, phát triển khả năng tự học của học sinh thì quá trình dạy học cần đảm bảo điều kiện và thời gian tự học với tài liệu của học sinh. Tài liê ̣u mà ho ̣c sinh đo ̣c ở đây là sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo khác.

a) Hướng dẫn học sinh sử dụng sách giáo khoa

Một trong những công cụ không thể thiếu để phục vụ cho tự học là sách giáo khoa. Sách giáo khoa có một vị trí đáng kể trong việc nắm vững kiến thức nói chung và phát huy tính tích cực hoạt động trí tuệ của học sinh.

Sách giáo khoa là nguồn tri thức quan trọng cho học sinh, nó là một hƣớng dẫn cụ thể để đạt lƣợng liều lƣợng kiến thức cần thiết của môn học, là phƣơng tiện phục vụ đắc lực cho giáo viên và học sinh. Do đó, tự học qua sách giáo khoa là vô cùng quan trọng để học sinh tham gia vào quá trình nhận thức trên lớp và củng cố khắc sâu kiến thức, kĩ năng ở nhà.

Để học sinh tự nghiên cứu trƣớc sách giáo khoa ở nhà thì giáo viên không nên chỉ đơn giản là nhắc các em đọc trƣớc bài mới mà cần nêu cụ thể câu hỏi mà khi đọc xong bài mới các em có thể trả lời đƣợc. Đó là cách giao nhiệm vụ cụ thể giúp học sinh đọc sách giao khoa có mục tiêu cụ thể rõ ràng.

Sách giáo khoa cũng là tài liệu để học sinh đọc thêm cho rõ ràng những kiến thức mà giáo viên truyền đạt trên lớp, vì vậy những ví dụ mẫu giáo viên không nên thay đổi để nếu học sinh đã đọc trƣớc sẽ tham gia ngay đƣợc vào

bài giảng, những học sinh yếu có thêm một tài liệu để đọc lại khi chƣa rõ cách giáo viên hƣớng dẫn.

Đối với những nội dung mà sách giáo khoa đã có chi tiết đầy đủ thì khơng nên ghi lên bảng cho học sinh chép mà cho các em về tự đọc trong sách giáo khoa, cách làm này vừa tiết kiệm thời gian vừa tạo thói quen đọc sách giáo khoa cho học sinh và làm cho bài giảng không bị nhàm chán.

Để học sinh tự nghiên cứu trƣớc sách giáo khoa là nguồn tri thức quan trọng cho học sinh, nó là 1 hƣớng dẫn cụ thể để đạt lƣợng liều lƣợng kiến thức cần thiết của môn học, là phƣơng tiện phục vụ đắc lực cho giáo viên và học sinh. Do đó tự học qua sách giáo khoa là vô cùng quan trọng để học sinh tham gia vào quá trình nhận thức trên lớp và củng cố khắc sâu ở nhà. Khi hƣớng dẫn về nhà, giáo viên không nên chỉ đơn giản là nhắc các em đọc trƣớc bài mới mà cần nêu cụ thể câu hỏi mà khi đọc xong bài mới các em có thể trả lời đƣợc. Đó là cách giao nhiệm vụ cụ thể giúp học sinh đọc sách giao khoa có mục tiêu cụ thể rõ ràng.

Ví dụ 2.10. Khi dạy phƣơng trình vơ tỉ cho học sinh lớp 12, giáo viên cho học sinh đọc lại sách giáo khoa của lớp 10, đọc sách giáo khoa lớp 12 cộng với vốn kiến thức của học sinh để trả lời các câu hỏi:

Câu hỏi 1: Sử dụng các phép biến đổi tƣơng đƣơng hoặc hệ quả để

đƣợc các đẳng thức không chứa căn trong các đẳng thức sau:

A  B AB 3 A 3 B 3 AB A B  C A B  C  D

Câu hỏi 2: Khi đặt ẩn phụ để giải phƣơng trình vơ tỉ, khi nào thì cần tìm điều kiện chính xác cho ẩn phụ?

Câu hỏi 3: Hình dạng đồ thị hàm số y f x( ) nhƣ thế nào nếu hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên miền K?

b) Hướng dẫn học sinh sử dụng sách bài tập và tài liệu tham khảo

Cần nhấn mạnh cho học sinh thấy rằng, kiến thức môn học không chỉ gói gọn trong nội dung sách giáo khoa, trong bài giảng của giáo viên mà đến từ nhiều nguồn khác nhau. Do đó, giáo viên cần giới thiệu cho học sinh những cuốn sách hay, những tài liệu bổ ích liên quan đến mơn học và khuyến khích các em tự tìm kiếm, tự phân tích và tổng hợp kiến thức. Cũng có thể giới thiệu địa chỉ một số trang web chuyên môn, hoặc các trang diễn đàn trao đổi kinh nghiệm học tập để học sinh tham khảo thêm.

Ngoài ra, đối với học sinh trong trƣờng, sách bài tập đều có nên giáo viên phải tận dụng tài liệu này để giúp học sinh tự học hiệu quả. Việc cho bài tập về nhà cũng cho theo thứ tự dạng bài tập của sách giáo khoa và sách bài tập để học sinh có một lƣợng bài tập tƣơng tự đủ lớn (các bài này đều có lời giải chi tiết) để có thể tự mình làm đƣợc các bài trong sách giáo khoa. Khi cho bài theo cách này sẽ giúp học sinh có một cách học mới là khi gặp khó khăn sẽ tự tìm kiếm một phƣơng án tƣơng tự đã có để giải quyết chứ không thụ động chờ đợi giáo viên hƣớng dẫn.

2.2.2.3. Rèn cho học sinh một số kỹ năng tốn học như phân tích, tổng hợp, tương tự hóa, khái qt hóa

Phân tích, tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ cơ bản trong hoạt động tốn học, góp phần phát triển các phẩm chất trí tuệ, hình thành và phát triển những tri thức mới cho học sinh trên nền những tri thức có sẵn. Phân tích và tổng hợp là hai q trình đối lập nhau nhƣng nó là hai mặt của một quá trình thống nhất, bổ sung cho nhau. Phân tích là tách (trong tƣ tƣởng) một hệ thống thành những sự vật, tách một sự vật thành những sự vật riêng lẻ. Tổng hợp là liên

thành một hệ thống. Trong phân tích đã có tổng hợp, phân tích một cái tồn thể đồng thời là tổng hợp các phần của nó vì phân tích một cái tồn thể ra tồn phần cũng chỉ là mục đích làm bộc lộ ra mối liên hệ giữa các phần của cái tồn thể ấy; phân tích một cái tồn thể là con đƣờng để nhận thức cái toàn thể sâu sắc hơn. Sự thống nhất của quá trình phân tích, tổng hợp cịn đƣợc thể hiện ở chỗ: cái toàn thể ban đầu (tổng hợp I), định hƣớng cho phân tích, chỉ ra cần phân tích mặt nào, khía cạnh nào; kết quả của phân tích là cái tồn thể ban đầu đƣợc nhận thức sâu sắc hơn (tổng hợp II).

Trong toán học phân tích thƣờng dùng để tìm hiểu bài tốn, tổng hợp dùng để liên kết bƣớc giải thành lời giải hồn thiện.

Trong q trình dạy học, ngoài việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng phân tích, tổng hợp, giáo viên cịn phải đặc biệt chú ý đến việc rèn kĩ năng khái quát hóa và tƣơng tự hóa.

Trong “Phƣơng pháp dạy học mơn Tốn”, các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ Dƣơng Thụy đã nêu rõ: “Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tƣợng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số trong các đặc điểm chung của các phần tử của tập hợp xuất phát” [8, tr 21-23]. Có hai con đƣờng khái quát hóa: Con đƣờng thứ nhất trên cơ sở so sánh những trƣờng hợp riêng lẻ, con đƣờng thứ hai không dựa trên sự so sánh mà dựa trên sự phân tích chỉ một hiện tƣợng trong hàng loạt hiện tƣợng giống nhau.

Theo G. Pôlya, “hai hệ là tƣơng tự nếu chúng phù hợp với nhau trong mối quan hệ xác định rõ ràng giữa những bộ phận tƣơng ứng” [13, tr. 21- 23].Tƣơng tự là nguồn gốc của nhiều phát minh. Bên cạnh đó cũng giống nhƣ khái quát hóa, tƣơng tự thuộc về những suy luận có lý, do đó cần lƣu ý với học sinh những kết luận rút ra từ tƣơng tự có thể dẫn đến những kết luận sai. Chẳng hạn, trong mọi tam giác các đƣờng cao đồng quy tại trực tâm. Nếu cho rằng, tƣơng tự, mọi tứ diện có các đƣờng cao đồng quy tại trực tâm là sai, vì điều đó chỉ đúng với tứ diện có các cặp cạnh đối diện vng góc với nhau mà thơi (gọi là tứ diện trực tâm).

Nhƣ vậy trong q trình phân tích, tổng hợp bài tốn thì ngƣời học không thể bỏ qua các kĩ năng khái quát hóa và tƣơng tự hóa.

Dựa trên những tƣ tƣởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của G. Pôlya về cách thức giải bài toán đã đƣợc kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, có thể nêu lên phƣơng pháp chung để giải bài tốn nhƣ sau:

Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung của bài tốn. Bƣớc 2: Tìm cách giải

Bƣớc 3: Trình bày lời giải

Bƣớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải.

Trong các bƣớc của phƣơng pháp tìm lời giải, phân tích, tổng hợp thƣờng đƣợc sử dụng trong ba bƣớc: Tìm hiểu nội dung bài tốn, tìm cách giải, trình bày lời giải, cịn khái qt hóa và tƣơng tự hóa hợp thƣờng đƣợc sử dụng trong hai bƣớc: Tìm cách giải và nghiên cứu sâu lời giải.

Chẳng ha ̣n , khi hƣớng dẫn ho ̣c sinh giải phƣơng trình vô tỉ bằng phƣơng pháp sƣ̉ du ̣ng tính đơn điê ̣u của hàm sớ , giáo viên có thể hƣớng dẫn học sinh theo quy trình sau:

Trƣớc hết, giáo viên đƣa ra phần lý thuyết để phu ̣c vu ̣ cho bài ho ̣c: Phƣơng trình ( )f x cvới ( )f x đơn điê ̣u trên miền K, c là hằng số có

nhiều nhất mô ̣t nghiê ̣m trên K (với K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng).

Phƣơng trình ( )f x g x( )với ( )f x đồng biến trên miền K, ( )g x nghịch biến trên K có nhiều nhất một nghiệm trên K.

Phƣơng trình ( )f u  f v( )với ( )f t đơn điê ̣u trên miền K, phƣơng trình tƣơng đƣơng với uv.

Sau đó, lần lƣợt cho ho ̣c sinh giải các ví du ̣ sau:

Ví dụ 2.11. Giải phƣơng trình 5 3

1 3 4(1)

x x   x  

Ở ví dụ này, giáo viên cùng học sinh phân tích để tìm cách giải:

+) Các phƣơng pháp giải trƣớc nhƣ biến đổi tƣơng đƣơng, đặt ẩn phu… đều dẫn đến bậc của phƣơng trình tƣơng đối lớn.

+) Nhẩm nghiệm bằng MTCT ta thấy phƣơng trình có nghiê ̣m duy nhất x 1.

+) Vế trái của phƣơng trình là hàm số đồng biến trên miền xác định. Tƣ̀ nhƣ̃ng phân tích trên ta thấy viê ̣c áp du ̣ng lý thuyết ở trên vào giải phƣơng trình này là hợp lý nhất.

Tổng hợp các phân tích trên ta có lời giải sau: Tâ ̣p xác đi ̣nh ;1

3 D       Xét hàm số   5 3 1 3 4 f x x x   x trên D   4 2 3 1 ' 5 3 0 ; 3 2 1 3 f x x x x x          

   nên hàm số đồng biến

trên ;1 3       mà hàm số liên tục trên 1 ; 3    

  do đó hàm số đồng biến trên

1 ;

3

 

 

 . Phƣơng trình (1) có nhiều nhất một nghiê ̣m.

Nhâ ̣n thấy ( 1) 0f   nên phƣơng trình có nghiê ̣m duy nhất x 1.

Ví dụ 2.12. Giải phƣơng trình 3   2 x 2 x 4 2

Phân tích: Cũng nhƣ ví dụ trên ta thấy việc biến đổi tƣơ ng đƣơng hay đă ̣t ẩn phu ̣ dẫn đến phƣơng trình khá phƣ́c ta ̣p . Trong khi đó dùng MTCT nhẩm nghiê ̣m thì phƣơng trình cũng chỉ có mô ̣t nghiê ̣m duy nhất x2, tƣ̀ đó gợi ý cho ta cách giải phƣơng trình sƣ̉ du ̣ng tính đơn điê ̣u của hàm sớ. Phƣơng

trình tƣơng đƣơng với 3  

2 x 2 x  4 0 3

Tuy nhiên , nếu xét trên miền xác đi ̣nh x 2 thì hàm số 3

( ) 2 2 4

f x  x x  không đơn điệu , bởi vâ ̣y ta phải ha ̣n chế miền xác đi ̣nh của phƣơng trình thì trên đó hàm số mới đơn điê ̣u.

Điều kiê ̣n x 2. Ta thấy VT(2)0 nên (2) có nghiệm thì VP(2)0 hay x 3 4. Xét hàm số f x( )2 x 2 x3 4 trên 3 4; . Ta có 1 2 3  '( ) 3 0 4; 2 f x x x x       

 nên hàm số đồng biến

trên 3 4;  mà hàm số liên tục trên  3 4;  do đó hà m số đồng biến

trên 3 

4;

  

 . Phƣơng trình (1) có nhiều nhất một nghiê ̣m.

Nhâ ̣n thấy (2) 0f  nên phƣơng trình có nghiê ̣m duy nhất x2.

Nhƣ vâ ̣y tƣ̀ hai ví du ̣ trên ta có thế khái quát cách giải phƣơng trình ( )

f x cvới ( )f x đơn điê ̣u trên miền K:

- Xét hàm số y f x( ) trên miền mà phƣơng trình có nghiê ̣m . Chƣ́ng minh hàm số đơn điê ̣u trên miền đó.

- Nhẩm nghiệm, kết luâ ̣n sƣ̣ duy nhất nghiê ̣m của phƣơng trình.

Ví dụ 2.13. Giải phƣơng trình 2

4 x 2 3 x x 5(3)

Phân tích: Nếu nhƣ ở các phƣơng trình trên chỉ nhẩm đƣợc một nghiê ̣m duy nhất thì ở phƣơng trình này ta nhẩm đƣợc hai n ghiê ̣m phân biê ̣t x2,

1

x  . Hơn nƣ̃a, với 2

( ) 4 2 3 5

f x  x   x x  thì f x( ) không đơn điê ̣u trên miền xác đi ̣nh D trong khi đó '( )f x lại đơn điệu trên D.

Lời giải: Điều kiê ̣n   2 x 3.   2 3 4 x 2 3 x x  5 0 Xét 2 ( ) 4 2 3 5 f x  x   x x  với   2 x 3. Ta có   2 1 '( ) 2 2;3 2 2 3 1 1 ''( ) 2 0 ( 2;3) ( 2) 2 4(3 ) 3 f x x x x x f x x x x x x                    

Do đó '( )f x nghịch biến trên ( 2;3) mà f x'( ) liên tục trên 2;3 nên '( )

f x nghịch biến trên 2;3. Khi đó phƣơng trình '( ) 0f x  có nhiều nhất một nghiệm do đó phƣơng trình ( ) 0f x  có nhiều nhất hai nghiệm.

Nhâ ̣n thấy f(2)0, f( 1) 0. Vậy phƣơng trình đã cho có hai nghiê ̣m là x2, x 1.

Tƣ̀ ví du ̣ trên , cho ho ̣c sinh tởng quát hóa kết quả : Nếu phƣơng trình '( ) 0

f x  có nhiều nhất n nghiệm thì phƣơng trình f x( )0 có nhiều nhất

n+1 nghiệm.

Ví dụ 2.14. Giải phƣơng trình 3 2

3x 4 x 2 (3x 2) 3 1) (4)

x      x

Phân tích: Nhìn qua bài tốn ta thấy hai vế có vế trái là đa thức có bâ ̣c 3 cịn vế phải có bậc 3

2 nên có thể gây khó khăn khi dùng tính đơn điê ̣u của hàm số. Nhƣng ở vế phải nếu ta xem y 3x1 thì vế phải cũ ng có thể coi là bậc 3 ẩn y và do đó ta sẽ tách biểu thức ở vế phải nhƣ sau:

3

(3x 2) 3 x 1 (3x 1 1) 3x 1 ( 3x1)  3x1.

Nhƣ vâ ̣y ta sẽ nghĩ đến viê ̣c phân tích vế trái thành dạng 3 ( ) ( ) m axb n axb . Dễ thấy m n 1, còn a b, thỏa mãn 3 2 3 3x 4x 2 ( ) ( ) x     axb  axb . Đồng nhất hai vế ta đƣợc a1,b1 hay x3 3x24x 2 (x1)3 (x 1).

Lời giải tham khảo: Điều kiện 1 3 x    3  3   (4) x1  x 1 ( 3x1)  3x1 4' Xét hàm số 3 (t) f  t t trên , ta có 2