2.2.1. Biện pháp 1: Phân tích định nghĩa, khái niệm vận dụng quy tắc, cơng thức vào giải tốn Tổ hợp - Xác suất thức vào giải tốn Tổ hợp - Xác suất
a. Quy tắc cộng
Nếu một cơng việc được hồn thành bởi một trong hai hành động, hành động này cĩ m cách thực hiện, hành động kia cĩ n cách (khơng trùng với hành động thứ nhất). Khi đĩ cĩ (mn) cách hồn thành cơng việc.
Phân tích. Đây là một trong hai quy tắc trong tốn Tổ hợp, nĩ ứng với phép
hợp trong tập hợp. Ở đây giả sử là cĩ hai hành động độc lập cùng để thực hiện một cơng việc (chú ý đây là độc lập với nhau). Nếu khơng, cách tìm của ta sẽ khác.
Ví dụ 1. Cĩ 6 cuốn sách tham khảo Đại số, 8 cuốn sách tham khảo Hình học.
Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn một cuốn sách tham khảo trong các cuốn sách đĩ?
Lời giải. Ta thấy hành động ở đây là “chọn một cuốn sách tham khảo trong số
các cuốn đã cho”, hai hành động độc lập là “chọn sách tham khảo Đại số” và “chọn sách tham khảo Hình học”.
Vậy số cách chọn đây là 6 + 8 =14 cách.
Ví dụ 2. Cĩ 4 con hổ, 5 con sư tử, 7 con linh cẩu, 3 con báo. Hỏi số cách để
chọn ra một con thú từ những con thú trên?
Lời giải.Ta thấy ở đây khơng cịn là 2 hành động nữa mà là 4 hành động độc
lập nhau. Số cách trong trường hợp này là: 4 5 7 3 19 cách.
Ví dụ 3. Trong một lớp cĩ 8 bạn học giỏi tốn, 10 bạn học văn, 4 bạn giỏi cả
văn và tốn. Hỏi số bạn học giỏi ít nhất một mơn trong lớp?
Hướng dẫn.Ta thấy ở đây khác với các bài tốn khác là trong 2 trường hợp
của mình lại cĩ những điểm chung. Như cách thơng thường thì ta cĩ là
8 + 10 = 18 cách. Sai lầm đây là cĩ giỏi tốn và giỏi văn khơng độc lập nhau. Dữ kiện tiếp theo cho ta rõ hơn về điều đĩ.
Theo lưu ý thì số cách cần tìm bằng tổng số cách trừ đi số cách chung. Hay bằng 8 + 10 – 4 = 14 bạn.
b. Quy tắc nhân
Một cơng việc nào đĩ cĩ thể bao gồm hai cơng đoạn A và B. Nếu cơng đoạn A cĩ m cách thực hiện và ứng với mỗi cách thực hiện A thì cĩ n cách thực hiện cơng việc B thì cơng việc đĩ cĩ (m.n) cách thực hiện.
Phân tích. Đây là quy tắc quan trọng trong tốn Tổ hợp, Xác suất. Khi làm
các bài tốn Tổ hợp, quy tắc này chiếm đa số. Một số chú ý với quy tắc nhân: – Nhận biết quy tắc nhân khi cơng việc gồm 2 hoặc nhiều cơng đoạn cĩ thứ tự hoặc khơng thể thực hiện đồng thời. Phép tính sử dụng là phép tính nhân. – Trong các cơng đoạn, chọn cơng đoạn nào cĩ điều kiện trước.
– Khi cơng việc cĩ nhiều cơng đoạn, các cơng đoạn cĩ thể đổi vị trí, dẫn đến phép tính khác nhau, nhưng kết quả chung phải giống nhau.
Ví dụ 1. Cĩ 3 đường đi từ A đến B, 5 đường từ B đến C. Hỏi cĩ bao nhiêu cách đi từ A qua B đến C?
Lời giải. Cơng việc đây là đi từ A qua B đến C, gồm 2 cơng đoạn là đi từ A
đến B và đi từ B đến C. Việc mình chọn cơng đoạn nào trước cũng được, nhưng đúng theo “lộ trình” thì ta phải chọn từ A đến B rồi B đến C.
Từ A đến B cĩ 3 đường, từ B đến C cĩ 5 đường. Vậy số cách đi từ A qua B đến C là 3.5 = 15 cách.
Ví dụ 2. (Cơng đoạn cĩ điều kiện) Cĩ bao nhiêu số cĩ 3 chữ số khác nhau lập
từ 0, 1, 2, 3, 4?
Lời giải. Gọi số cần tìm là 𝑎𝑏𝑐 . Như vậy a0, đây chính là điều kiện của bài tốn dẫn đến bước chọn ban đầu.
a cĩ 4 cách chọn (do a khác 0),
b cĩ 4 cách chọn (do b khác a và cĩ thể bằng 0), c cĩ 3 cách chọn.
Vậy cĩ 4.4.3 = 48 số.
Ví dụ 3. Cĩ bao cách chọn bộ lớp trưởng, lớp phĩ, bí thư từ 32 học sinh?
Lời giải. Ở đây, 3 vị trí này cĩ thể hốn đổi vị trí cho nhau khi chọn thứ tự,
nên cĩ cách chọn như sau: Lớp trưởng cĩ 32 cách, lớp phĩ cĩ 31 cách, bí thư cĩ 30 cách.
Vậy số cách chọn bộ là: 32.31.30 = 29760 cách
c. Giai thừa, hốn vị
- Giai thừa của số tự nhiên n kí hiệu là n! là tích của n số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n.
n! 1.2.3 . n1 . n, 𝑛 ∈ ℕ, n1. Quy ước : 0! = 1, 1! = 1.
- Hốn vị: Cho tập hợp A, gồm n phần tử (n1). Một cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hốn vị của n phần tử đĩ.
Kí hiệu: Pn là số các hốn vị của n phần tử.
n
P n! 1.2 n 1 .n
Phân tích. Giai thừa và hốn vị là định nghĩa, cơng thức và cách sử dụng
trong trường hợp chung nhất.
– Ở cơng thức, đơn giản, n giai thừa là tích từ 1 đến n.
– Ở cách dùng, chú ý là lấy hết các phần tử khác nhau của tập hợp và xếp thứ tự.
Ví dụ 1. Cĩ 4 người A, B, C, D. Tìm số cách để xếp thành hàng 4 người.
Lời giải.Ở đây, 4 phần tử là phân biệt, lấy hết cả 4 phần tử để xếp thứ tự theo
hàng, vậy số cách là hốn vị của 4 phần tử: 4! = 24 cách.
Ví dụ 2. Cĩ 5 số 1, 1, 3, 5, 6. Tìm cách cách để lập số cĩ 5 chữ số trong đĩ số
nào cũng cĩ mặt.
Lời giải. Đây chính là bài tốn hốn vị cĩ lặp sẽ đề cập sau. Coi 5 số là phân
biệt thì số cách là 5!. Vì cĩ 2 số giống nhau nên số cách giảm đi 2! Vậy, số các số là: 5!.2! = 60 số.
d. Chỉnh hợp
phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đĩ được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
- Kí hiệu: Ank là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử. - Cơng thức: Ank= !
( )!
n
n k =n n. 1 n k 1 (với 1 k n).
- Chú ý. Một chỉnh hợp n chập n được gọi là một hốn vị của n phần tử. !
n n n
A P n .
Phân tích. Chỉnh hợp là cơng thức quan trọng nhất trong 3 cơng thức về Tổ
hợp. Chỉnh hợp khác với hốn vị là số phần tử chọn ra lấy số thứ tự ít hơn số phần tử của tập lấy, khác tổ hợp là lấy ra và xếp thứ tự. Khi chỉnh hợp lấy hết các phần tử thì nĩ là hốn vị, khi lấy mà khơng xếp thứ tự thì là tổ hợp.
Chú ý. Dùng chỉnh hợp khi lấy các phần tử riêng biệt và xếp thứ tự. Khơng
riêng biệt hoặc khơng xếp thứ tự thì ta cĩ những cách giải quyết riêng.
Ví dụ 1. Cho các số 1,2,3,4,5,6,7. Tìm số các số cĩ 4 chữ số khác nhau lập lên
từ các số trên?
Lời giải. Thứ nhất, tập ban đầu cĩ 7 phần tử riêng biệt; thứ hai, mình lấy 4 phần tử riêng biệt và xếp vị trí. Như thế dùng chỉnh hợp.
Số các số cần tìm là: 4
7 840
A số.
Ví dụ 2. Lớp cĩ 35 học sinh đều là đồn viên , chọn ra ban cán bộ gồm lớp trưởng, lớp phĩ, bí thư. Tìm số cách cĩ thể lập được ?
Lời giải. Tập chọn gồm 35 phần tử khác nhau, lấy ra 4 phần tử riêng biệt và
sắp thứ tự. Như vậy dùng chỉnh hợp. Số các cách là: 4 35 1256640 A cách. Ví dụ 3. Cĩ 5 bạn học sinh, để xếp 5 bạn thành một hàng dọc thì ta cĩ bao nhiêu cách ?
nhiên, đây cũng là bài tốn cĩ thể dùng hốn vị của 5. Ta cĩ P5 A55 120 cách.
e. Tổ hợp
- Định nghĩa: Giả sử tập A cĩ n phần tử (n 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một Tổ hợp chập k của n phần tử đã cho (1 k n).
- Kí hiệu:Cnk (1 k n) là số các Tổ hợp chập k của n phần tử. - Cơng thức: Cnk= ! !( )! n k nk - Chú ý: Cn0= 1 k n k n n C C (0 k n). Cnk+Cnk1=Cnk11 (0 k n).
Phân tích. Cơng thức này dùng khi tập gồm các phần tử khác nhau, lấy ra các
phần tử và khơng xếp thứ tự.
Ví dụ 1. Tìm các tập hợp cĩ 3 phần tử lấy từ các phần tử 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Lời giải. Cơng việc ở đây là lấy ra 3 phần tử trong 7 phần tử và khơng sắp thứ
tự. Như vậy ở đây ta dùng cơng thức Tổ hợp. Số cách cĩ thể ở đây là: 3
7 35
C cách.
Ví dụ 2. Tìm số cách lập ban cán bộ lớp gồm 4 thành viên từ lớp cĩ 32 học
sinh.
Lời giải. Cơng việc này là lấy ra 4 phần tử trong 32 phần tử và khơng cần xếp
vị trí. Như vậy, ta dùng cơng thức Tổ hợp. Số cách cĩ thể cĩ là: 4
32 35960
C
f. Nhị thức Niutơn
0 ( ) n n k n k k n k a b C a b .
g. Phép thử ngẫu nhiên, khơng gian mẫu, biến cố
Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành
động mà:
- Kết quả của nĩ khơng đốn trước được.
- Cĩ thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả cĩ thể xảy ra của phép thử đĩ.
Phép thử thường được kí hiệu bởi chữ T .
Khơng gian mẫu của phép thử là tập hợp tất cả các kết quả cĩ thể xảy ra của
phép thử và được kí hiệu bởi chữ .
Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay khơng xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T. Mỗi kết quả của phép thử T làm cho
A xảy ra được gọi là một kết quả thuận lợi cho A. Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là A. Khi đĩ người ta nĩi biến cố A được mơ tả bởi tập hợp A.
h. Định nghĩa Xác suất
Định nghĩa cổ điển của Xác suất : Giả sử phép thử T cĩ khơng gian mẫu
là một tập hữu hạn các kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan với phép thử T và A là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì Xác suất củaA là một số, kí hiệu là P A , được xác định bởi cơng thức
A
P A , với A và lần lượt là số phần tử của A và .
Trong cuộc sống hằng ngày, khi nĩi về biến cố ta thường nĩi biến cố này nhiều khả năng xảy ra, biến cố kia cĩ ít khả năng xảy ra, biến cố này cĩ nhiều khả năng xảy ra hơn biến cố kia. Tốn học đã định lượng hĩa các khả năng
này bằng cách gán cho mỗi biến cố một số khơng âm, nhỏ hơn hay bằng 1 gọi là Xác suất của biến cố đĩ. Xác suất của biến cố A được kí hiệu là P A . Nĩ đo lường khả năng khách quan sự xuất hiện của biến cố A.
2.2.2. Biện pháp 2: Rèn luyện khả năng phân tích bài tốn, hình thành kĩ năng nhận dạng bài tốn cho học sinh dưới nhiều gĩc độ năng nhận dạng bài tốn cho học sinh dưới nhiều gĩc độ
Việc trang bị kiến thức, kĩ năng cơ bản cho học sinh, đặc biệt bồi dưỡng kĩ năng giải tốn cho học sinh là một quá trình liên tục, trải qua nhiều giai đoạn với những mức độ khác nhau. Điều quan trọng nhất trong dạy học tốn là giải phĩng hoạt động tư duy của học sinh bằng cách để các em tự hoạt động, tự khám phá tìm tịi, phải kết hợp tốt giữa hoạt động học tập và hoạt động nhận thức. Bên cạnh đĩ tính tích cực được nâng dần theo mức độ từ thấp đến cao: tích cực động não, độc lập suy nghĩ đến tích cực sáng tạo. Người thầy cần rèn luyện học trị nâng dần các hoạt động từ dễ đến khĩ: từ theo dõi cách chứng minh, đến hoạt động mị mẫm dự đốn kết quả và cuối cùng tự lực chứng minh. Việc dự đốn, mị mẫm kết quả khơng chỉ tập cho học sinh phong cách nghiên cứu khoa học, tập các thao tác tư duy cần thiết, mà cịn là biện pháp quan trọng nhằm nâng cao tính tích cực của học sinh. Khi tự đưa ra dự đốn, học sinh sẽ hào hứng và cĩ trách nhiệm hơn trong quá trình tìm tịi lời giải cho kết quả dự đốn của mình.
Dưới đây là một số bài tập cụ thể cĩ vướng mắc, hoặc thấy cách giải cịn chưa hay, giáo viên gợi mở cho học sinh theo các hướng trên để đạt được hiệu quả tốt hơn.
Ví dụ 1. Lần lượt xét các bài tốn sau đây.
Bài tốn 1.1. Cĩ bao nhiêu số được tạo ra bằng cách hốn vị các chữ số của
số 1234567?
Lời giải. Vì các chữ số của số đã cho 1234567 đơi một khác nhau nên mỗi số
Bài tốn 1.2. Cĩ bao nhiêu số được tạo ra bằng cách hốn vị các chữ số của
số 1133345?
Hướng dẫn và lời giải. Tiếp tục ý tưởng của BT1.1, sử dụng cơng thức về số
hốn vị để giải BT này. Tuy nhiên vì hai chữ số 1 giống nhau, ba chữ số 3 giống nhau nên khi hốn vị hai chữ số 1 cho nhau, ba chữ số 3 cho nhau ta nhận được cùng một kết quả. Vì vậy bài tốn được giải như sau:
Coi bảy chữ số trên khác nhau, số hốn vị của bảy phần tử là 7!. Khi hốn vị hai chữ số 1 cĩ 2! cách, hốn vị ba chữ số 3 cĩ 3! cách. Do đĩ chỉ lập được 7!
2!.3!= 420 số thỏa mãn.
Bài tốn 1.3. Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Hỏi từ A cĩ thể lập được
bao nhiêu số tự nhiên bảy chữ số, trong đĩ chữ số 2 xuất hiện đúng hai lần, chữ số 3 xuất hiện đúng ba lần, các chữ số khác xuất hiện khơng quá một lần?
Hướng dẫn. Đây là bài tốn lập số, chẳng hạn một số lập được là 4232733. Khi nĩi đến lập số, học sinh dễ nghĩ đến sử dụng chỉnh hợp, vì cần phải quan tâm đến thứ tự các chữ số. Tuy nhiên trong bài tốn này, số lập ra cĩ các chữ số giống nhau, và xuất hiện một số lần nhất định. Do đĩ nên gợi mở cho học sinh suy nghĩ theo các hướng: cách thứ nhất là HS cĩ thể tiếp tục ý tưởng của BT1.2, chọn các chữ số trước, sau đĩ hốn vị các chữ số để tạo thành số thỏa mãn; cách thứ hai là thực hiện chọn các phần tử của tập hợp A xếp vào bảy vị trí để được một số thỏa mãn yêu cầu.
Lời giải của bài tốn như sau:
Lời giải 1. Chọn hai chữ số khác nhau {a, b}, a < b, trong năm chữ số (khác 2
và 3) của tập hợp A, cĩ 2 5
C cách. Khi đĩ với mỗi số 22333ab, hốn vị các chữ số của số đĩ ta nhận được 7!
2!.3! số thỏa mãn. Vậy cĩ thể tạo ra tất cả
2 5
C 7!
2!.3! = 10.420 = 4200 số.
Lời giải 2. Gọi số cần lập là x = x x x x x x x1 2 3 4 5 6 7 (bảy vị trí) + Chọn hai vị trí trong bảy vị trí cho chữ số 2: cĩ 2
7
C cách; + Chọn ba vị trí trong năm vị trí cịn lại cho chữ số 3: cĩ 3
5
C cách;
+ Chọn hai chữ số khác nhau trong A\{2, 3} = {1, 4, 5, 6, 7} và xếp vào hai vị trí cịn lại: cĩ 2
5
A cách.
Vậy số cách lập được số x (cũng là số các số x) là: C C A72. 53. 52 4200.