Các bài toán tổng hợp phối hợp các hoạt động trí tuệ nhằm phát triển các

1.3 .Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo

2.4. Các bài toán tổng hợp phối hợp các hoạt động trí tuệ nhằm phát triển các

triển các loại hình tư duy

Bài tốn 34. Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo. Gọi

M, N, P,Q theo thứ tự là giao điể các đường phân giác của tam giác OAB, OBC, OCD, ODA.

a) Chứng minh tứ giác MNPQ hình thoi.

b) Nếu tứ giác ABCD là hình thoi thì tứ giác MNPQ là hình gì? Tại sao?

Lời giải: a) · 1· 2  OAM CAB, · 1· 2 

OCP ACD mà ·CAB ·ACD

nên ·OAM OCP· . Tương tự ·MOA OCP · .

OMA OPC(g.c.g) do đó OM OP. Tương tự ON OQ

OM, ON là các tia phân giác của hai góc kề bù OAB và OBC nên OM ON.

Hình 2.28

52

Mặt khác ·AOM POC· mà ba điểm A, O, C thẳng hàng nên ba điểm M, O, P thẳng hàng. Tương tự ba điểm Q, O, N thẳng hàng.

Tứ giác MNPQ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và hai đường chéo vng góc với nhau nên là hình thoi.

b) Nếu tứ giác ABCD là hình thoi thì ·OABOAD· do đó ·OAM OAQ· . OAM  OAQ (g.c.g), nên OM OQsuy ra MPNQ.

Hình thoi MNPQ có hai đường chéo bằng nhau nên là hình vng.

Bài tốn 35. Cho ABCcân tại A. Từ một điểm D trên đáy BC kẻ một đường thẳng vng góc với BC, đường thẳng này cắt AB ở E, AC ở F. Vẽ các hình chữ nhật BDEF và CDFK. Gọi I, J theo thứ tự là tâm của các hình chữ nhật BDEH, CDFK và M là trung điểm của đoạn thẳng AD.

a) Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng HK là một điểm cố định khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm D theo cạnh BC.

b) Chứng minh ba điểm I, M, J thẳng hàng và ba đường thẳng AD, HJ, KI đồng quy.

c) Khi D di chuyển trên cạnh BC thì M di chuyển trên đoạn thẳng nào?

Lời giải: a) BDEH là hình chữ nhật có tâm là I.  IBDcân ở I. µ1 µ1 B D , mà µ1 µ 1  B C (gt). µ1 µ1 D C  ID // AC. (1)

Tương tự đối với hình chữ nhật DCKF ta có:

µ µ 2  1 D B JD // AB. (2) Từ (1) và (2) AIJD là hình bình hành. AJ // ID và AJID. AJ // HI và AJHI(vì HI ID). Hình 2.29

53

AHIJ là hình bình hành IJ // AH và IJ AH. (3) Chứng minh tương tự có: IJ // AK và IJ AK. (4)

Từ (3) và (4) ba điểm H, A, K thẳng hàng (theo tiên đê Ơ Clit) và 

AH AKhay A là trung điểm của HK.

b) Tứ giác AIDJ là hình bình hành, AD và IJ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Mà trung điểm của AD là M nên M nằm trên IJ hay I, M, J thẳng hàng.

Trong DHKcó DA, KI và HJ là các đường trung tuyến nên chúng đồng quy. c) Khi D di chuyển trên cạnh BC thì HK ln đi qua điểm cố định A và M di chuyển trên đường trung bình ứng với cạnh BC của ABC.

Bài toán 36. Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của các

cạnh AB, AC, BC. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn AD, AE, EF, FD.

a) Tứ giác DAEF và MNPQ là hình gì? Vì sao?

b) Khi ABCvng ở A thì tứ giác DAEF và MNPQ là hình gì? c) Khi ABCcân ở A thì DAEF và MNPQ là hình gì?

d) Khi ABCvng cân tại A thì DAEF và MNPQ là hình gì?

Lời giải:

Hình 2.30

a) Ta dễ dàng chứng minh được các tứ giác: DAEF và MNPQ đều là hình bình hành.

54 Hình 2.32 Hình 2.33 b) Nếu ABCcó µA900. hình bình hành ADFE có một góc vng. ADFE là hình chữ nhật. (1) Từ (1)DE AF. MN MQ

Vậy hình bình hành MNPQ có hai cạnh kề bằng nhau MNPQ là hình thoi. c) Khi ABCcân ở A thì hình bình

hành ADFE có hai cạnh kề bằng nhau là AD AE

ADFE là hình thoi

d) Khi ABC vuông cân tại A Theo kết quả các câu trên ta có ADFE và MNPQ đều là các hình vng

Bài tốn 37. Gọi O là giao điểm các đường chéo của hình bình hành ABCD.

Chứng minh rằng giao điểm các đường phân giác trong của các tam giác ABO, BCO, CDO, DAO là đỉnh của một hình thoi.

Lời giải:Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O tạo thành hai cặp góc đối

đỉnh là ·AODvà ·BOC; ·AOB và ·COD

OE là phân giác của ·AOB và OI là phân giác của ·COD. OE, OI là hia tia đối nhau

E, O, I thẳng hàng.

Tương tự có K, O, F thẳng hàng. Có AB // DC.

 ·BACDCA (hai góc so le trong) ·

AE và CI là phân giác tương ứng, với ·BACvà ·DCABAE· DCI· .

Hình 2.31

55 Hình 2.34 Tương tự có ·ABE CDI· .

Xét AEB và CIDcó: ·BAE ·DCI; ABCD; ·ABECDI·  AEB CID (g.c.g)AECI.

Xét OEA và OICcó: OA OC ; ·EAO·ICO; AECI .  OEA OIC (c.g.c)OEOI.

Chứng minh tương tự như trên có: OK OF.

Vậy tứ giác EFIK là hình bình hành ( có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường). (1)

·

AOB và ·COBkề bù OEOF. (2) Từ (1) và (2) EFIK là hình thoi.

Bài tốn 38. Cho điểm M nằm giữa A và B. Vẽ các hình vng AMCD và

BMEF trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB. a) Chứng minh rằng: AEBCvà AE BC.

b) Gọi H là giao của AE và BC. Chứng minh rằng: D, H, F thẳng hàng. c) Chứng minh: DF đi qua một điểm cố định khi M chuyển động trên AB. d) Gọi I, G, K lần lượt là trung điểm của AC, AB, BE. P là giao điểm của đường thẳng vng góc với AB tại G và DF. Tứ giác IMKP là hình gì? Vì sao?

e) Tìm tập hợp các trung điểm của đoạn IK khi M di chuyển trên AB.

Lời giải:a) · ¶

1



MAC M ( 45 ) 0 AC // MF (hai góc đồng vị bằng nhau). MBFE là hình vng nên EB AC(giao điểm của 2 đường chéo của hình vng).

Xét ABC ta có BE AC và CM  AB

E là trực tâm của ABC. Vậy AEBC.

b) AEBC AHCvuông tại H.

56 I là tâm của hình vng AMCD,

trong AHCcó HI là trung tuyến thuộc cạnh huyền AC nên:

1 2  IH AChay 1 2  IH DM. DHMcó trung tuyến HI bằng 1

2 cạnh đối diện DM nên DHM vuông tại H.

· 0

90 DHM  .

Tương tự ta chứng minh được HMFvuông ở H · 0

90 MFH  . Vì vậy · · · 0 0 0 90 90 180      DHF DHM MFH . 3 điểm D, H, F thẳng hàng.

c) Kẻ GP ABGP là đường trung bình hình thang ABFD (G là trung điểm của đoạn AB).

1 1 1

( ) ( )

2 2 2

GP ADBF  AM MB  AB (K là trung điểm của EB). Điểm P nằm trên đường trung trực của AB và 1

2 

GP AB, AB cho trước nên AB không đổi P là điểm cố định.

d) Ta dễ chứng minh được ·DMF 900 DMFvuông tại M.

MI là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền DF nên: 1 . 2

 

MP DF PD

Vì MPPDP nằm trên đường chéo AC của hình vng AMCD P là giao điểm của AC với đường trung trực của đoạn thẳng AB nên:

· · 0

45 .

 

PBA PAB

Ta có: ·EBA450. Vậy ba điểm: B, E, P thẳng hàng (1). IMKP là hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vng). e) Tứ giác IMEP là hình chữ nhật (cmt) IK MPvà IKMP S . Kẻ ST AB tại T 1 2 ST  PG, mà 1 2 

PG AB (AB cho trước).

57

Hình 2.35

1 2

ST  ABS ln cách đường thẳng cố định AB một khoảng không đổi

là1

2AB.

Vậy S nằm trên đường thẳng d qua S và song song với AB cách AB một khoảng bằng

2

AB

không đổi (phần ảo - dễ chứng minh).

Khi M di chuyển trên AB thì S di chuyển trên đoạn XY (X, Y là giao của đường thẳng và d với tia AD và tia BF).

đồng thời cắt nhau ở trung điểm mỗi đường. Vậy O O O O1 2 3 4là hình vng.

Bài tốn 39. Cho hình thoi ABCD. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa D

dựng hình bình hành ACEF có EC AB. Gọi K là điểm đối xứng với E qua C.

Chứng minh rằng:

a) FK, BD, AC đồng quy. b) BK // FD

c) ·KBE900

d) B là trực tâm của EDF.

Lời giải:a) ABCD là hình thoi (gt),

AC cắt BD tại O  O là trung điểm AC và BD (1) Tứ giác AFEC là hình bình hành (gt)

AF // CE và AF CE. Mà E đối xứng K qua C (gt)

AF // CK và AF CK

AFCK là hình bình hành.

KF, AC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (2) Từ (1) và (2) FK, BD, AC đồng quy tại O

b) Vì BD, FK cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường (cmt)

58 FDKB là hình bình hành FD // BK c) K đối xứng với E qua C (gt) CK CE

Mặt khác: , AB = BC BC = CE = 1 2

 

CE AB KE

 BKE vuông ở B ( đường trung tuyến BC bằng nửa cạnh huyền KE)

· 0 90 KBE d) (cmt ) (cmt b)       P BK EB BE DF BK E Vì câu c u B câ (3)

Vì AC // FE (định nghĩa hình bình hành) và AC BD (tính chất đường chéo hình thoi)BDBF (4)

Từ (3) và (4) BE, BD là hai đường cao của DFE. Vậy B là trực tâm của DFE.

Bài tốn 40. Cho hình vng ABCD, M là điểm bất kì trên cạnh BC. Trong

nửa mặt phẳng bờ AB chứa C dựng hình vng AMHN. Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH ở E, cắt DC ở F

a) Chứng minh rằng: BM ND.

b) Chứng minh rằng: N, D, C thẳng hàng. c) EMHN là hình gì?

d) Chứng minh DFBM FMvà chu vi MCFkhơng đổi.

Lời giải:a) ABCD là hình vng (gt).

µ · 0 1 90 A MAD (gt) . (1) Vì AMHN là hình vng (gt). µ · 0 2 90 A MAD . (2) Từ (1) và (2) µA1 µA2. Ta có: AND AMB (c.g.c). Hình 2.36

59 µ µ 0 1 90  B D  và BM ND. b) ABCD là hình vng µ 0 µ µ · 2 90 1 2 D  D D  NDC. · · 0 0 0 90 90 NDCNDC180 N, D, C thẳng hàng.

c) Gọi O là giao điểm của hai đường chép AH và MN của hình vng AMHN.

O là tâm đối xứng của hình vng AMHN.

AH là đường trung trực của đoạn MN, mà , E FAH . EN EM và FM FN. (3)

Tam giác vuông EOM = tam giác vuông FON ( à ả 3 1 ,   OM ON N M ). µ µ 1 2 O O . EM NF. (4) Từ (3) và (4) EM NENF FM. MENF là hình thoi (đpcm) . (5) d) Từ (5) FM FNFDDN. Mà DNMB (cmt) MFDFBM.

Gọi chu vi tam giác MCF là p và cạnh hình vng ABCD là a.

      

p MC CF MF MC CF BM DF

( ) ( ) 2

 MCMB  CFFD BCCD  a a a.

Hình vng ABCD cho trước a khơng đổi p khơng đổi.

Bài tốn 41.Cho ABCD là hình thang có đáy lớn AB3a, đáy nhỏ CDa

và ·ADC1200. GọiMF DFMB M, N thứ tự là trung điểm của AB và DC.

a) Chứng minh AMND là hình thang cân.

b) Gọi I là trung điểm của MN, gọi giao điểm của CI với AB là E. Chứng minh rằng: EMCN là hình chữ nhật và AECD là hình thoi.

c) Hãy chứng tỏ rằng: ECB vng tại C.

60

Hình 2.37 Lời giải:a) INC IME (g.c.g).

NC EM (1). Mà 1 2 2 2   a  a NC DC EM . Ta có: 1 3 2 2    a MA MB AB . Vậy AEAM EM a.  ADEđều ( µ 0 , 60    AD AE a A ). µ 0 1 60 E  .

Lại có: DNME là hình bình hành(vì có DN // EM,

2  a DN EM ). DE // NM ả à 1 1 M E (đồng vị) ¶ 0 1 60 M  . Tứ giác AMND có DN // AM, à ả 0

1( 60 )

 

A M AMND là hình thang cân (đpcm). b) DECđều ( µ 0 2 , 60    DC DE a D ) DEEC. Ta có MN ED (vì MNED là hình bình hành) NM CE. Hình bình hành MCNE có hai đường chéo NM và CE bằng nhau.

MCNE là hình chữ nhật.

c) Dễ dàng chứng minhd được AECD là hình thoi. d) Kẻ CG là đường trung tuyến của CEB.

 CEGđều (CEEGa và µE2 600) 1 2

EGCGGB EBa.  ECBvng ở C.

61

Kết luận chương 2

Chương này trình bày kết quả chọn lọc, xây dựng hệ thống gồm 41 bài toán trong chương “Tứ giác” lớp 8 trung học cơ sở nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh. Qua đây chúng tơi muốn nói rằng chúng ta hồn tồn có khả năng rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học giải bài tập toán.

62

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM