"Điện tích Điện trƣờng" nhằm bồi dƣỡng học sinh giỏi
2.2.1. Chủ đề 1: Bài tập áp dụng định luật Culong
Bài 1.1. Hai quả cầu nhỏ bằng kim loại có cùng kích thƣớc và cùng khối
lƣợng m = 90 g, đƣợc treo một điểm bằng hai sợi dây mảnh cách điện có cùng chiều dài l = 1,5 m.
a. Truyền cho hai quả cầu (đang nằm cân bằng) một điện tích q = 4,8.10-7
C, thì thấy hai quả cầu tách ra xa nhau một đoạn bằng a. Xác định a. Xem góc lệch của các sợi dây so với phƣơng thẳng đứng là rất nhỏ.
b. Nếu một trong hai quả cầu bị mất hết điện tích đã truyền thì xảy ra hiện tƣợng gì ? Tìm khoảng cách mới giữa hai quả cầu. Lấy g = 10 m/s2
.
Bài giải
a. Các lực tác dụng lên mỗi quả cầu (hình 1.1) + Trọng lực , P = mg
+ Lực điện
+ Lực căng của mỗi sợi dây
- Điều kiện cân bằng của mỗi quả cầu + + = hay = + =
Nhƣ vậy lực cùng phƣơng với ( dọc theo dây treo) nhƣ Hình 1.1 Từ hình vẽ ta có: tan =
Vì hai quả cầu giống nhau nên điện tích mỗi quả cầu là Áp dụng định luật Cu- lông :
Fđ = k Do đó : tan = (1) Hình 1.1 l A a/2 a/2 B
Vì góc nên tanα ≈ sinα = = (2) Từ (1) và (2) ta có: =
Suy ra a3 = (3)
Thay số: a = 0,12m =12cm
b. Khi một trong hai quả cầu bị mất hết điện tích, hai quả cầu khơng cịn đẩy nhau nữa, chúng trở về vị trí cân bằng ( dây treo không bị lệch), chúng va chạm vào nhau. Khi đó điện tích của quả cầu kia lại đƣợc phân bố lại cho cả hai quả cầu và mỗi quả cầu sẽ có điện tích là . Hai quả cầu lại đẩy ra xa
nhau, và khoảng cách giữa chúng bây giờ là b. Tƣơng tự nhƣ ở câu a ta đƣợc b3
= = .
Sử dụng kết quả của phƣơng trình (3) thay số ta đƣợc b ≈ 7,56 cm.
Đáp số a. a = 12 cm; b. b ≈ 7,56 cm.
Bài 1.2. Hai quả cầu kim loại nhỏ, hoàn toàn nhƣ nhau đƣợc treo vào cùng một điểm O bằng hai sợi dây mảnh cách điện ( khơng dãn, có khối lƣợng khơng đáng kể) có cùng chiều dài l = 20 cm mặt ngoài của chúng tiếp xúc nhau. Sau khi truyền cho một trong hai quả cầu một điện tích q0 = 4. 10-7
C, chúng đẩy nhau, và góc giữa hai dây treo bằng 600.
a. Tính khối lƣợng của mỗi quả cầu.
b. Khi nhúng hai quả cầu vào dầu hỏa, ngƣời ta thấy góc giữa hai dây treo quả cầu bây giờ chỉ bằng 540. Hãy tìm khối lƣợng riêng D1 của chất làm quả cầu. c. Muốn cho góc giữa hai dây treo trong khơng khí và trong dầu hỏa là nhƣ nhau thì khối lƣợng riêng của chất làm quả cầu phải bằng bao nhiêu ?
- Mỗi quả cầu có điện tích q1 = q2 = = 2.10-7
C
- Các lực tác dụng lên mỗi quả cầu: + Trọng lực , P = mg + Lực điện
+ Lực căng của mỗi sợi dây - Điều kiện cân bằng của quả cầu:
+ + =
- Góc lệch α1 của dây treo so với phƣơng thẳng đứng :
tanα1 = = ; với r = 2lsinα1
tanα1 = với
Suy ra m =
Thay số ta có m ≈ 15,7 g.
b. Đối với mỗi quả cầu đặt trong khơng khí trọng lƣợng của mỗi quả cầu là:
P1 = mg = D1Vg = (1)
Với = 1. Khi nhúng vào dầu hỏa, mỗi quả cầu chịu thêm một lực đẩy Ác- si-mét: P2 = D2Vg.
Trong đó : V là thể tích quả cầu.
D1 là khối lƣợng riêng chất làm quả cầu D2 là khối lƣợng riêng của dầu hỏa.
Vì vậy, đối với trƣờng hợp nhúng trong dầu hỏa, tƣơng tự nhƣ (1) ta có:
P1 - P2 = (2)
Theo đề bài ta có 2α2 = 540 Từ (1) và (2) suy ra:
= = (3)
Thay số ta đƣợc: D1 = 2550 kg/m3
c. Muốn cho α1 = α2 Theo (3) ta phải có: = 1 ' = Thay số ta đƣợc: D1 = 1600 kg/m3. Đáp số: a. m ≈ 15,7 g b. D1 = 2550kg/m3. c. D1' = 1600kg/m3.
Bài 1.3.Trên hai tấm thủy tinh phẳng nhẵn
T1 và T2 cùng nghiêng một góc đối với mặt bàn nằm ngang có đặt ba quả cầu nhỏ A, B, C khối lƣợng m1 = m2 = 0,1 kg và m3, mang điện tích q1 = q2 = 3.10-7
C, q3 = 1,5.10-7 C.
Quả cầu A nằm ở đỉnh của góc do hai tấm T1 và T2 tạo ra, còn hai quả cầu B và C có thể trƣợt khơng ma sát trên T1 và T2. Khi cân bằng thì hai quả cầu B và C ở cùng một độ cao và tâm của ba quả cầu nằm trong mặt phẳng thẳng đứng. Hãy tính m3 và khoảng cách AB, AC, BC giữa ba quả cầu. Cân bằng đó có bền khơng? lấy g = 10m/s2
.( Hình 1.3a)
Bài giải
- Các lực tác dụng lên quả cầu tích điện B (hình 1.3b): + Trọng lực + Phản lực của T1 q1 B m1 α A q3 C q2 T2 T1 T1 α Hình 1.3a m2 m3 q2 B q3 C T2 T1
+ Lực điện và
- Điều kiện cân bằng của quả cầu B:
+ + = (1) - Chiếu các vecto của phƣơng trình (1) lên phƣơng song song với mặt phẳng T1 ta có:
F12 + F13cosα = m2gsinα (2) Với F12 = k ;
F13 = k P2 = m2g
Với r là khoảng cách giữa các quả cầu và theo đề bài tam giác ABC đều q3 = q1 thay vào (2 ) ta có:
= m2g (3)
Lập luận tƣơng tự đối với quả cầu C ta có
= m3g (4)
Từ (3) và (4) ta đƣợc:
= hay m3 = m2 = 60g
r = 3,42.10-2 m = 3,42 cm
- Khi cho r tăng, cho một trong hai quả cầu B hoặc C lên cao hơn một chút thì hai lực đẩy tĩnh điện và tác dụng lên B đều giảm và trọng lực về vị trí ban đầu; nếu cho r giảm thì và tác dụng lên B lại tăng và đẩy quả cầu lên, về vị trí ban đầu. Vì vậy cân bằng của các quả cầu là cân bằng bền.
Đáp số: m3 = 60g ; r = 3,42cm
Bài 1.4. Ba quả cầu nhỏ giống nhau A, B, C có
cùng khối lƣợng m và điện tích q, đặt trên mặt bàn nằm ngang khơng có ma sát, nối với nhau bằng các sợi chỉ cách điện tạo thành tam giác ABC vuông tại A. Biết = α; BC = l. Dây nối BC bị tuột ra, hãy xác định gia tốc của mỗi quả cầu tại thời điểm dây BC bị tuột ra.
Đáp số: aA =
aB =
aC =
Bài 1.5. Ba quả cầu nhỏ A, B, C mang điện tích lần lƣợt là q1 = 2,5.10-6 C, q2 =q3, có thể chuyển động theo phía trong của một vành trịn cách điện đặt nằm ngang. Khi ba quả cầu đó đƣợc nằm cân bằng trên vành trịn, một góc của tam giác tạo bởi ba quả cầu và có độ lớn bằng 300. Tìm dấu, độ lớn của q2 và q3. Bỏ qua ma sát.
Đáp số: q2 = q3 = + 2,3.10-7C.
Bài 1.6: Ba quả cầu nhỏ nhƣ nhau, bằng kim loại có cùng khối lƣợng m = 50g
đƣợc treo vào một điểm O bằng ba sợi dây tơ dài bằng nhau l = 50cm. Ban đầu ba quả cầu tiếp xúc với nhau. Tích cho hệ ba quả cầu một điện tích q0, ngƣời ta thấy sau đó ba quả cầu tách xa nhau và lập thành một tam giác đều có cạnh a = 5cm. Tính q0, cho g = 10m/s2.
Đáp số: q0 = 9,15.10-8C.
Bài 1.7. Hai quả cầu kim loại nhỏ A và B có cùng khối lƣợng riêng D có bán
kính lần lƣợt là r và 2r, đƣợc treo vào cùng một điểm O bằng hai sợi dây mảnh cách điện khơng co dãn( có khối lƣợng khơng đáng kể) có cùng chiều dài l. Ban đầu hai quả cầu cân bằng, tích điện cho hai quả cầu điện tích 3q,
chúng đẩy nhau. Hãy tính góc lệch của các dây treo so với phƣơng thẳng đứng. Giả thiết góc lệch nhỏ. Cho biết, với cùng một điện thế, điện tích mỗi quả cầu kim loại tỉ lệ thuận với bán kính của nó.
Đáp số: α =
= 8α =
2.2.2. Chủ đề 2: Tính cường độ điện trường gây bởi điện tích điểm.
Bài 2.1. Có ba điện tích điểm, có cùng độ lớn = 10-8
C, đặt tại 3 đỉnh tam giác đều ABC có cạnh a = 3cm trong chân khơng. Xác định cƣờng độ điện trƣờng tại điểm đặt của mỗi điện tích, do hai điện tích kia gây ra, trong các trƣờng hợp:
a. Ba điện tích cùng dấu.
b. Một điện tích trái dấu với hai điện tích kia.
Bài giải
a. Hình 2.1a mơ tả trƣờng hợp ba điện tích cùng dấu:
- Giả sử ba điện tích đều dương. Vì ba điện tích có độ lớn nhƣ nhau nên cƣờng độ điện trƣờng tại ba đỉnh A, B, C là nhƣ nhau.
- Xét cƣờng độ điện trƣờng tại điểm A = +
( và là vecto cƣờng độ điện trƣờng tại A do q1, q2 gây ra)
+ Vì q1= q2, tam giác ABC đều nên E1 = E2 = k
B Hình 2.1a H A C q2 q1 q3
EA = 2E1cos300 = 2E1 = 9.109 Thay số = 10-8
C; a = 3cm = 3.10-2 m
EA = 9.109 =1,75.105 (V/m)
- Kết quả tƣơng tự đối với cƣờng độ điện trƣờng và ( nhƣ hình 2.1a)
- Hình 2.1b mơ tả trƣờng hợp ba điện tích đều là
điện tích âm q < 0 thì , và cũng xác
định tƣơng tự nhƣ trên hình 2.1b. Các vecto , và đều có chiều hƣớng vào tâm O của tam giác và đều có độ lớn:
EA = EB = EC = 1,73.10-5(V/m)
b. Hình 2.1c mơ tả trường hợp một điện tích trái dấu với hai điện tích kia - Giả sử q2 > 0, q3 > 0 còn q1 < 0
( Hình 2.1c )
Vì q2 > 0, q3 > 0 nên do q2 > 0, q3 > 0 gây ra tại A có chiều hƣớng ra xa B và C do đó vecto cƣờng độ điện trƣờng tổng hợp tại A có chiều hƣớng ra xa H có độ lớn
EA = 9.109 = 1,73.105V/m
Véc tơ cƣờng độ điện trƣờng do q1 > 0, q2 > 0 gây ra tại C nhƣ hình vẽ Hình 2.1c H B A C q2>0 q1< 0 q3>0 Hình 2.1b B H A C q2 q1 q3 O
=
có phƣơng song song với AB (là phƣơng của đƣờng phân giác ngồi của góc C) có chiều hƣớng theo chiều từ B đến A và có độ lớn:
Ec = E23, về độ lớn Ec = 9.109 = 105
(V/m)
- Tƣơng tự cƣờng độ điện trƣờng tại B: có phƣơng song song với AC, có chiều hƣớng theo chiều từ C đến A và có độ lớn EB = 105
(V/m)
- Lƣu ý: các trường hợp khác ( q1 > 0, q3 > 0, q2 < 0) ( q2 > 0, q1 > 0, q3 < 0) Làm tƣơng tự nhƣ trên, tại điểm đặt điện tích âm độ lớn của cƣờng độ điện trƣờng bằng 1,73.105
V/m, cịn điểm đặt điện tích dƣơng thì độ lớn của cƣờng độ điện trƣờng là 105
V/m.
Đáp số: a. EA= EB = EC = 1,73.105V/m b. EA= 1,73.105V/m
EB = EC = 105V/m
Bài 2.2. Tại tám đỉnh của một hình lập phƣơng
cạnh a = 0,2m ở trong chân khơng, có đặt 8 tám điện tích điểm có cùng độ lớn là q = 9.10-8
C, bốn điện tích ở đáy trên có trị số âm, bốn điện tích ở đáy dƣới có trị số dƣơng. Xác định cƣờng độ điện trƣờng tại tâm hình lập phƣơng. (Hình 2.2a)
Bài giải
Vì hệ điện tích phân bố đối xứng nên vecto cƣờng độ điện trƣờng tổng hợp phải nằm dọc theo trục đối xứng ZZ'
( Hình 2.1b và 2.2c) B' B C A C' D' A' D -q -q -q -q q q q q Hình 2.2a B C A -q -q Z α Z -q -q B D
Vì khoảng cách từ điểm O là tâm đối xứng của hình lập phƣơng đến các đỉnh của hình lập phƣơng là nhƣ nhau, độ lớn của các điện tích là nhƣ nhau nên hình chiếu của các vecto cƣờng độ điện trƣờng của các điện tích lên trục ZZ' là nhƣ nhau. Vì vậy ta chỉ cần tính hình chiếu của một trong tám vecto đó.
Từ các hình 2.2b và 2.2c ta biểu diễn bốn vecto nằm trong mặt phẳng BDD'B'( với mặt phẳng ACC'A' cũng có một hình tƣơng tự ). Ta tính cho một vecto ví dụ ta có:
EB =
với BO = BD' = = =
Do đó: EB = Do đó hình chiếu của trên ZZ' là:
EBZ = EBcosα = EB = = = Vậy E = 8EBZ = ≈ 1,25.105 V/m Đáp số: E ≈ 1,25.105 V/m Hình 2.2b
Bài 2.4. Cho hai tấm kim loại song song, nằm ngang, nhiễm điện trái dấu.
Khoảng không gian giữa hai tấm kim loại đó chứa đầy dầu. Một quả cầu bằng sắt bán kính R = 1cm mang điện tích q nằm lơ lửng trong lớp dầu. Điện trƣờng giữa hai tấm kim loại là điện trƣờng đều hƣớng từ trên xuống dƣới và có cƣờng độ 20 000V/m. Hỏi độ lớn và dấu của điện tích q ? Cho biết khối lƣợng riêng của sắt là 7800kg/m3, của dầu là 800kg/m3. Lấy g = 10m/s2
.
Bài giải:
- Các lực tác dụng lên quả cầu ( hình 2.6)
+ Trọng lực : P = mg = Ds R3g + Lực đẩy Asimet , FA = Dd R3g + Lực điện
- Điều kiện cân bằng của quả cầu: + + =
- Trong đó và cùng phƣơng ngƣợc chiều, khối lƣợng riêng của sắt lớn hơn khối lƣợng riêng của dầu nên P > FA nên:
+ có phƣơng thẳng đứng hƣớng xuống dƣới.
Vì vậy có phƣơng thẳng đứng hƣớng lên trên và ngƣợc chiều với do đó quả cầu mang điện âm
Độ lớn Fđ = P - FA
E = Ds R3g - Dd R3g
Suy ra = ( Ds - Dd) = 14,7.10-6 C = 14,7 và q là điện tích âm nên q = -14,7 .
Đáp số: q = -14,7 .
Bài 2.5. Xác định cƣờng độ điện trƣờng gây ra bởi một vòng dây dẫn mảnh bán kính R mang điện tích q, tại một điểm M nằm trên trục của vòng dây,
cách tâm O của vòng dây một khoảng OM = h. Xét các trƣờng hợp riêng: điểm M trùng với tâm O, và điểm M ở rất xa vòng dây (h>> R).
Bài giải
- Vẽ hình theo đầu bài ( hình 2.3)
Chia vịng dây thành từng phần nhỏ có
độ dài có
điện tích có thể xem nhƣ một điện tích điểm. Khi đó vịng dây có thể xem nhƣ một hệ các điện tích điểm.
Mỗi điện tích điểm này gây ra tại điểm M một điện trƣờng và điện trƣờng tổng hợp do cả vòng dây gây ra đƣợc xác định nhờ nguyên lý chồng chất điện trƣờng.
Gọi λ là mật độ điện dài trên một vòng dây λ =
Giả sử q > 0 phần tử mang điện tích gây ra tại M một điện trƣờng có cƣờng độ với phƣơng và chiều nhƣ hình vẽ 2.3 và có độ lớn:
= k = k ( k =9.10-9 )
Do tính đối xứng sẽ tồn tại phần tử giống hệt ( = đối
xứng với nó qua tâm O ( Hình 2.3 ). Phần tử này mang điện tích =
gây ra tại M một điện trƣờng có cƣờng độ = và có phƣơng chiều nhƣ hình 2.3.
Ta thấy vecto và đối xứng nhau qua trục của vòng dây. Cƣờng độ điện trƣờng tổng hợp do cả và gây ra:
=
có phƣơng dọc theo trục của vịng dây, có chiều hƣớng ra xa tâm O ( giả sử q > 0) và có độ lớn: Hình 2.3 h α O R
= 2.
= 2k =
k
(Với là tổng độ dài của hai phần tử ta xét).
Xét tất cả các cặp phần tử của vòng dây tƣơng tự nhƣ trên, mỗi cặp này cho một vé tơ cƣờng độ điện trƣờng nằm trên trục vòng dây. Tất cả các vecto đó tạo thành cƣờng độ điện trƣờng do vịng dây mang điện tích q gây ra có phƣơng là trục vịng dây, có chiều hƣớng ra xa tâm O của vịng dây nếu q >0 hoặc hƣớng về tâm O nếu q < 0 và có độ lớn:
E = (
E = x ( chiều dài vòng dây)
E = x 2
Nhận xét: Tại tâm vòng dây h = 0 ( M 0); h = 0 nên E0 = 0. Tại điểm M ở rất xa vịng dây h >>R do đó = .
Ta thấy tại điểm ở rất xa vòng dây, cƣờng độ điện trƣờng gây bởi vịng dây mang điện tích q đặt tại tâm của vịng dây.
Đáp số: E =
Bài tập học sinh tự giải
Bài 2.6. Một quả cầu khối lƣợng m, mang một điện tích q đƣợc buộc vào một
sợi chỉ cách điện. Đầu còn lại của sợi chỉ đƣợc buộc vào điểm cao nhất của một vịng dây có bán kính R đặt trong một mặt phẳng thẳng đứng. Vòng dây đƣợc làm bằng một sợi dây dẫn cứng có bán kính nhỏ khơng đáng kể và đƣợc tích một điện tích Q cùng dấu với điện tích q và phân bố đều. Hãy xác định