5. Những đĩng gĩp về khoa học và thực tiễn của đề tài
2.3. Đánh giá sai số ước lượng
Một vấn đề cần xem xét đối với mơ hình xấp xỉ nhận được là thiết lập tiêu chuẩn xác đ nh sai số ước lượng. Việc đánh giá này cĩ thể được thực hiện theo những cách cơ bản dưới đây:
2.3.1. Đánh giá sai số trong miền thời gian
Nĩi chung việc thiết lập tiêu chuẩn đánh giá độ chính xác theo các đặc trưng trong miền thời gian được ưu tiên hơn cả, do chúng cĩ tính trực quan cao và cho phép ước lượng các chỉ tiêu chất lượng. Để xác đ nh sai số, chúng ta thiết lập hàm biểu diễn sai lệch:
( ) dt e , (0, )
h t h t h t t
, (2.15)
giữa các đặc trưng quá độ của mơ hình gốc 1 dt( )
dt W s h t L s và mơ hình xấp xỉ 1 e( ) e W s h t L s
, nhận được tương ứng với một tham số cấu trúc
,
m n và bộ điểm nút i nhất đ nh. Hàm h t( ) cho phép chuyển đến ước lượng sai lệch bằng số. Việc chuyển đổi này cĩ thể được thực hiện theo các tiêu chuẩn khác nhau, chẳng hạn như tiêu chuẩn bình phương. Ở đây, sử dụng đại lượng sai lệch tuyệt đối cực đại.
max dt e CF
t
h h t h t h
, (2.16) với hCF- sai số cho phép. Tiêu chuẩn (2.16) cĩ ưu điểm dễ thực hiện khi sử
xỉ ứng với một tham số cấu trúc ( , )m n và bộ điểm nút i nhất đ nh, c n được phát triển để tìm mơ hình ước lượng tối ưu, theo các bộ tham số ( , )m n
và i khác nhau [69,72]: ;( , );max min i dt e t m n h h t h t . (2.17)
Khi thực hiện đánh giá sai số ước lượng theo (2.17) trên cơ sở phương pháp nội suy thực, việc giảm sai số h cĩ thể được thực hiện theo hai cách: phương án thứ nhất thực hiện hiệu chỉnh bằng cách d ch chuyển các điểm nút nội suy i,i1, dựa trên tính chất chéo nhau của biến đổi tích phân thực, c n phương án thứ hai thực hiện ước lượng với các tham số cấu trúc (m,n) khác nhau của mơ hình xấp xỉ W se .
Tuy nhiên, việc xác đ nh sai số ước lượng theo tiêu chuẩn (2.16) hoặc (2.17) với các đối tượng cĩ tham số phân bố cĩ khĩ khăn khơng kh c phục được, do khơng tồn tại biến đổi Laplace ngược của hàm truyền đạt gốc
dt
W s cĩ chứa các thành phần quán tính và siêu việt [16]. Một cách giải quyết vấn đề này là khai triển hàm gốc Wdt s thành tổng của một số biểu thức mà khơng làm thay đổi bản chất của hàm gốc. Tuy nhiên, nĩ chỉ thực hiện được trong những trường hợp riêng và cĩ thể khơng đáp ứng được sai số yêu cầu.
2.3.2. Đánh giá sai số trong miền nh
Phương pháp tần số được sử dụng rộng rãi để đánh giá sai số khi xấp xỉ hàm do tính trực quan của các kết quả. Theo phương pháp này, trước tiên hàm
( )
dt
W s được chuyển thành Wdt(j), sau đĩ các phần thực
( ) Re dt( )
P W j và ảo Q( ) ImWdt(j) cĩ đối số thực được tách riêng. Tuy nhiên, việc này khơng đơn giản với đối tượng cĩ tham số phân bố và thường khơng thể nhận được lời giải chính xác. Ngồi ra, việc tính tốn độ
tiệm cận của các đặc trưng tần số, chẳng hạn Ldt( ) và Le( ) gặp khĩ khăn vì hàm Ldt( ) tồn tại cực tr tại các tần số nhất đ nh [72].
Cách khả thi giải quyết vấn đề trên là ứng dụng phương pháp nội suy thực. Phương pháp này liên quan đến các hàm ảnh thực Wdt( ) và We( ) . Thuật tốn xấp xỉ hàm truyền đạt W sdt( ) bằng phân thức hữu tỷ W se( ) dựa trên IM đ i hỏi phải chuyển các ảnh phức W s W sdt( ), e( ) thành thực
( ), ( )
dt e
W W . Từ đây cĩ thể thiết lập tiêu chuẩn đánh giá độ chính xác xấp xỉ giữa W sdt( ) và W se( ) thơng qua các mơ hình Wdt( ) và We( ) trong miền thực :
( ) dt( ) e( ), , , 0
W W W C C
. (2.18)
Việc xác đ nh sai số xấp xỉ theo (2.18) cĩ những ưu điểm như khả năng biểu diễn ở dạng đồ th , trực quan và tính tốn đơn giản. Ngồi ra, các hệ số của hàm xấp xỉ We( ) tìm được theo phương pháp nội suy cĩ đặc điểm:
( ) ( ); , 1,
dt e i
W W i . Vì vậy giá tr của hàm W( ) tại các điểm nút sẽ bằng khơng W( )i 0;i,i1,. Điều này đưa đến khả năng tìm kiếm mơ hình ước lượng tối ưu bằng cách phân bố lại giá tr sai số trên từng khoảng nội suy i, i1,i1, 1, chẳng hạn sử dụng các đa thức Chebyshev [73].
Một ứng dụng khác của tiêu chuẩn (2.18) nằm ở khả năng thiết lập chỉ tiêu số đánh giá mức độ tiệm cận của hàm gốc W sdt( ) và hàm xấp xỉ W se( ). Điều này cho phép thực hiện phép lặp theo các tham số cấu trúc của mơ hình xấp xỉ ,m n và các điểm nút nội suy i,i1, khi cần thiết để tăng độ chính xác xấp xỉ đến mơ hình ước lượng tối ưu. Thuận tiện hơn cả, chúng ta thiết lập tiêu chuẩn đánh giá sai số ước lượng bằng biểu thức:
;( , );max ( ) ;( , );max ( ) ( ) , , , 0 i i dt e m n m n W W W W C C . (2.19)
Cơng thức (2.1 ) thể hiện sự ưu việt khi thực hiện hiệu chỉnh sai số xấp xỉ với phân bố đều của các điểm nút nội suy bởi việc thay đổi giá tr của một điểm nút sẽ làm thay đổi các điểm nút c n lại. Khả năng này sẽ được xem xét chi tiết trong bài tốn xấp xỉ hĩa hàm truyền đạt mơ tả băng tải đàn hồi (1.10), (1.11). Chúng ta thiết lập hai phương án sử dụng ước lượng (2.1 ). Phương án thứ nhất dựa trên đại lượng sai số cho phép đã biết WCF . Khi đĩ, bài tốn xấp xỉ được giải quyết nếu thỏa mãn điều kiện:
CF
W W
. (2.20)
Phương án thứ hai tìm kiếm hàm We( ) tiệm cận nhất vớiWdt( ) , tức cĩ độ chính xác xấp xỉ tối ưu. Việc này cĩ thể đạt được nếu điều kiện sau, hình thành trên cơ sở của ước lượng (2.1 ) được thực hiện:
;( , );max ( ) ;( , );max ( ) ( ) min
i i dt e m n m n W W W W . (2.21)
Một số kết luận rút ra từ việc so sánh các đánh giá (2.17) và (2.1 ) như sau:
- Giá tr cực đại của sai lệch trong miền thời gian (2.17) mang thơng tin quan trọng và trực quan, nhưng nĩ đ i hỏi dung lượng tính tốn lớn, và với đối tượng cĩ tham số phân bố, việc tính tốn này là khơng cho phép vì chẳng hạn đối với các hệ thống tự điều chỉnh, chúng làm việc trong thời gian thực;
- Đánh giá sai lệch trong miền ảnh thực (2.1 ) cĩ những tính chất ưu việt do nĩ được tính tốn đơn giản mà lại thể hiện được sự tiệm cận tương đối trong miền thời gian. Từ đây làm xuất hiện bài tốn: với mục đích bảo lưu các ưu điểm trong tính tốn của đánh giá (2.1 ), cần xây dựng cách đánh giá sai số trong miền thời gian h t( ) và h theo các sai lệch W( ) và W trong miền ảnh thực.