Chương 3 Bộ hấp thụ dao động bán chủ động
2.2 Mơ hình TMD kinh điển khi kết cấu chính chịu kích động nền
như sau [47] GA = xs f0/ks = TA = xs u0 = s (α2−β2)2+ (2αβξd)2 [α2 −(1 +α2+µα2)β2+β4]2+ [2αβξd(1−β2−µβ2)]2 (2.2)
Sử dụng phương pháp điểm cố định, Den Hartog [29] đã đưa ra các thông số tối ưu của TMD cho tiêu chuẩn H∞ như sau
α = 1 1 +µ ξd = s 3µ 8(1 +µ) (2.3)
Trong trường hợp tối ưu chuyển dịch tương đối đối với kích động nền, hàm truyền sẽ có dạng [60] RA = xs−u(t) u0 = s [α2(1 +µ)−β2]2+ [2αβξd(1 +µ)]2 [α2−(1 +α2+µα2)β2+β4]2+ [2αβξd(1−β2−µβ2)]2 (2.4)
Các tham số tối ưu trong trường hợp này như sau [60] α = p 1− µ2 1 +µ ξ = s 3µ 8(1 +µ) 1− µ2 (2.5)
Tuy nhiên trong thực tế thì kết cấu chính ln tồn tại cản. Khi tính đến cản của kết cấu chính, việc tìm lời giải giải tích cho các tham số tối ưu của TMD trở lên khó khăn hơn rất nhiều. Đối với mơ hình TMD kinh điển trong trường hợp kết cấu chính có cản, hai tiêu chuẩn H2 và cực đại sự ổn định đã có lời giải chính xác, cịn tiêu chuẩn H∞ chỉ có lời giải số và lời giải xấp xỉ bằng giải tích. Trong phần tiếp theo, luận án sẽ đưa ra một phương pháp tiếp cận giải tích để xấp xỉ các tham số tối ưu của TMD. Kết quả mô phỏng số đã chỉ ra rằng các thông số tối ưu của TMD thu được bằng phương pháp đề xuất trong luận án này tốt hơn các kết quả xấp xỉ giải tích đã có và rất gần với kết quả số của các tác giả khác.
2.1.2. Kết cấu chính có cản
2.1.2.1. Tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương đối ngẫu
Mặc dù phương pháp tuyến tính hóa tương đương thường được áp dụng để tuyến tính hóa một hệ phi tuyến, tuy nhiên luận án này áp dụng ý tưởng của phương pháp tuyến tính hóa tương đương để thu được một xấp xỉ hệ chính khơng cản từ hệ chính ban đầu có cản để có thể dễ dàng hơn trong việc tìm lời giải cho các tham số tối ưu của TMD.
Phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ tiền định được đề xuất bởi Krylov và Bogoliubov [40] vào năm 1943. Sau đó Caughey [23, 24] mở rộng phương pháp để áp dụng cho hệ ngẫu nhiên. Xét hệ ngẫu nhiên một bậc tự do với hàm phi tuyến phụ thuộc vào dịch chuyển và vận tốc như sau
ă
x+ 2hx˙ +ω20x+g(x,x) =˙ f(t) (2.6) trong đó h, ω0 là các hằng số dương, g(x,x)˙ là một hàm phi tuyến của hai biến x và x.˙
Phương trình (2.6) sau khi tuyến tính hóa sẽ có dạng sau đây
ă
trong đó hai hệ số tuyến tính hóa b và k sẽ được tìm bằng một tiêu chuẩn tối ưu nào đó. Có nhiều tiêu chuẩn tối ưu được đề xuất, tuy nhiên tiêu chuẩn được sử dụng rộng rãi nhất là tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình. Tiêu chuẩn này yêu cầu sai số e(x) = g(x,x)˙ −bx˙ −kx giữa phương trình phi tuyến (2.6) và phương trình tuyến tính hóa (2.7) là nhỏ nhất
e2(x)=(g(x,x)˙ −bx˙ −kx)2−→ min
b,k (2.8)
ở đó tốn tử h·i là giá trị trung bình trên một chu kỳ hay một phần của chu kỳ đối với hệ tiền định, hoặc là kỳ vọng trong trường hợp hệ ngẫu nhiên.
Mặc dù tiêu chuẩn (2.8) đưa ra một xấp xỉ khá tốt, tuy nhiên trong nhiều trường hợp hệ phi tuyến mạnh thì sai số khi sử dụng tiêu chuẩn (2.8) lại quá lớn. Để làm giảm sai số này, vào năm 2012, tác giả Nguyễn Đông Anh và cộng sự [3] đã đề xuất một tiêu chuẩn đối ngẫu cho phương pháp tuyến tính hóa tương đương. Ý tưởng của tiêu chuẩn này có thể được giải thích như sau: tiêu chuẩn thơng thường thay thế một hệ phi tuyến bằng hệ tuyến tính tương đương với hệ phi tuyến ban đầu, sử dụng khái niệm đối ngẫu ta có thể thay hệ tuyến tính tương đương thu được bởi một hệ phi tuyến cùng dạng với hệ phi tuyến ban đầu. Kết hợp hai bước thay thế này, chúng ta có thể đưa ra tiêu chuẩn đối ngẫu như sau
(g(x,x)˙ −bx˙ −kx)2+(bx˙ +kx−λg(x,x))˙ 2 −→ min
b,k,λ (2.9) Trong phương trình (2.9), số hạng đầu tiên mơ tả sự thay thế thơng thường, cịn số hạng thứ hai là sự thay thế đối ngẫu.
Sử dụng ý tưởng về sự thay thế trong phương pháp tuyến tính hóa tương đương, luận án đề xuất tiêu chuẩn thay thế tổng quát
hA−αBi+hαB−βAi −→ min
α,β (2.10)
Khi A là hệ phi tuyến và B là hệ tuyến tính, chúng ta có phương pháp tuyến tính hóa tương đương. Cịn khi A là kết cấu có cản và B là kết cấu khơng có cản, chúng ta có bài tốn xấp xỉ các thơng số tối ưu của TMD cho kết cấu chính có cản.
2.1.2.2. Kết cấu khơng cản tương đương
Ý tưởng chính trong phần này đó là sử dụng tiêu chuẩn (2.10) để thay thế kết cấu chính có cản như trong hình 2.3a bằng một kết cấu chính khơng cản tương đương như trong hình 2.3b.