Một hệ mạng vị trớ - chuyển = (P, T; F, K, M0, W) cú thể cú nhiều
vụ hạn cỏc bộ đỏnh dấu đạt đƣợc khỏc nhau. Bởi vậy, ta phải tỡm cỏch xõy dựng đƣợc một đồ thị hữu hạn biểu diễn cỏc quỏ trỡnh xảy ra trờn mạng mà mỗi bộ đỏnh dấu đạt đƣợc hoặc đƣợc biểu diễn tƣờng minh bằng một đỉnh của đồ thị hoặc đƣợc “phủ“ bởi một đỉnh. Đồ thị nhƣ thế đƣợc gọi là đồ thị phủ của mạng.
Mỗi đỉnh của đồ thị phủ đƣợc xem nhƣ là một bộ đỏnh dấu của mạng. Một số đỉnh thực sự là cỏc bộ đỏnh dấu đạt đƣợc cũn những đỉnh khỏc ”phủ” cỏc bộ đỏnh dấu đạt đƣợc. í tƣởng chủ đạo cho việc phủ cỏc bộ đỏnh dấu xuất phỏt từ việc phõn tớch cỏc dóy vụ hạn cỏc bộ đỏnh dấu đƣợc sinh ra nhƣ thế nào. Chẳng hạn, giả sử M và M’ là hai bộ đỏnh dấu đạt đƣợc của mạng và M’ R(M). Giả thiết thờm rằng: p P : M(p) M’(p) và M M’ (khi đú
ta viết: M < M’) và K(p) = (đại lƣợng rất lớn) tại tất cả cỏc vị trớ mà M(p) < M’(p). Khi đú, một chuyển nào đú kớch hoạt đƣợc trong M thỡ cũng kớch hoạt đƣợc trong M’.
Lặp lại dóy cỏc chuyển mà nú dẫn M tới M’ ta lại nhận đƣợc bộ đỏnh dấu mới M’’ mà M’ < M’’. Lặp lại thủ tục này nhiều lần, sinh ra một dóy vụ hạn cỏc bộ đỏnh dấu khỏc nhau {Mi}, i = 1, 2, 3, ...
62
Chỳ ý rằng, dóy này thoả món tớnh chất là: Mi(p) = M(p) nếu M’(p) = M(p) và Mi+1(p) > Mi(p) nếu M’(p) > M(p). Dóy này sẽ đƣợc biểu diễn trong đồ thị phủ bằng một đỉnh phủ V với:
V(p) = M(p) nếu M’(p) = M(p) và V(p) = nếu M’(p) > M(p). Nhƣ vậy, ta đó hỡnh thức hoỏ việc xõy dựng đồ thị phủ.
Giả sử = (P, T; F, K, M0, W) là một hệ mạng vị trớ - chuyển mà ta
cần phải xõy dựng đồ thị phủ cho nú. Chỳng tụi cải tiến thuật toỏn xõy dựng đồ thị phủ cho hệ mạng trỡnh bày trong [34] để nhận đƣợc thuật toỏn ngắn gọn và dễ cài đặt trờn mỏy tớnh nhƣ sau:
Thuật toỏn 2.2 (Xõy dựng đồ thị phủ)
Dữ liệu: Hệ mạng vị trớ - chuyển = (P, T; F, K, M0, W). Kết quả: Đồ thị phủ của hệ mạng vị trớ - chuyển .
1) Xõy dựng đồ thị ban đầu chỉ gồm một đỉnh V0 = M0, khụng cú cung. 2) Giả sử V là đỉnh nào đú của đồ thị nhƣng chƣa cú cung nào đi ra từ nú thỡ:
2.1. Nếu V kớch hoạt chuyển t nào đú và V[ t > V’ thỡ ta bổ sung đỉnh mới V’ và cung mới (V, t, V’) vào đồ thị.
2.2. Trờn đƣờng từ đỉnh V0 tới đỉnh V, nếu tồn tại đỉnh V’ mà V' < V thỡ với những vị trớ p mà V’(p) < V(p) thỡ toạ độ tƣơng ứng của V đƣợc thay
bằng và đỉnh V đƣợc gọi là -đỉnh.
2.3. Trờn đƣờng từ đỉnh V0 tới đỉnh V, nếu tồn tại đỉnh V’ mà V' = V thỡ V là đỉnh treo của đồ thị.
2.4. Nếu khụng cú một chuyển nào đƣợc V kớch hoạt thỡ V là đỉnh treo. 3) Lặp lại bƣớc 2) chừng nào cũn cú thể.
63
Từ thuật toỏn trờn, ta cú ngay kết quả sau đõy thể hiện khả năng biểu diễn của đồ thị phủ.
Định lý 2.7 : Giả sử là đồ thị phủ của hệ mạng vị trớ - chuyển .
Với mỗi dóy hoạt động M0[t1 > M1[t2 > M2 . . . Mk-1 [tk > Mk trờn hệ mạng luụn tồn tại một đƣờng đi < V0 t1 V1 t2 . . . Vk-1 tk Vk > trong mà
M0 = V0 và Mi Vi , i = 1,2, ..., k.
Chứng minh:
Ta chứng minh định lý bằng quy nạp theo độ dài k của dóy hoạt động
trờn mạng .
Khi k = 0 , M0 = V0 là một đỉnh của theo định nghĩa đồ thị phủ. Giả sử bổ đề đỳng với mọi dóy hoạt động cú độ dài khụng quỏ k-1. Ta phải chứng minh nú đỳng với mọi dóy hoạt động cú độ dài k.
Theo giả thiết quy nạp, phần đầu của dóy hoạt động M0 [ t1 > M1 [ t2 >
M2 . . .. Mk-1 [ tk > Mk đó cú đƣờng đi V0 t1 V1 t2 . . . Vk-1 mà Mi Vi , i = 1,
2, ..., k-1.
Vỡ Mk-1 Vk-1 và tk là Mk-1- kớch hoạt nờn tk là Vk-1- kớch hoạt. Ta cú: Vk-1 [ tk > Vk. Theo cỏch xõy dựng đồ thị phủ thỡ cung (Vk-1, tk, Vk) phải thuộc đồ thị phủ. Hơn nữa, Mk = Mk-1 + tk Vk-1 + tk Vk.
Định lý đƣợc chứng minh. Nhƣ vậy, đồ thị phủ của một hệ mạng vị trớ - chuyển biểu diễn tất cả cỏc quỏ trỡnh tuần tự xảy ra trờn hệ mạng thụng qua cỏc đƣờng đi trờn đồ thị này. Trong [49] đó chỉ ra rằng, đồ thị phủ của một hệ mạng vị trớ - chuyển là hữu hạn. Do vậy, cú thể lƣu trữ đồ thị phủ một cỏch dễ dàng trong mỏy tớnh và sử dụng nú để nghiờn cứu một số vấn đề trờn những mạng này.