Giả sử là một bảng chữ cỏi khụng rỗng hữu hạn. Ngoài cỏc cụng cụ
quen biết sinh ra hoặc đoỏn nhận ngụn ngữ là văn phạm, otomat và nguồn chỳng ta cũn cụng cụ khỏc để sinh ra ngụn ngữ chớnh quy, đú chớnh là biểu thức chớnh quy.
Định nghĩa 3.1: Biểu thức chớnh quy trờn bảng chữ cỏi là một cụng thức
toỏn học biểu diễn ngụn ngữ, đƣợc định nghĩa đệ quy nhƣ sau:
1) Tập rỗng là một biểu thức chớnh quy, nú biểu diễn ngụn ngữ rỗng. 2) Với mỗi chữ cỏi a thỡ a là biểu thức chớnh quy trờn bảng chữ cỏi , nú biểu diễn ngụn ngữ {a}.
3) Nếu r, s là hai biểu thức chớnh quy trờn biểu diễn hai ngụn ngữ R và S tƣơng ứng thỡ:
(r) + (s) là biểu thức chớnh quy biểu diễn ngụn ngữ R S , (r) . (s) là biểu thức chớnh quy biểu diễn ngụn ngữ R . S ,
72
(r)+ là biểu thức chớnh quy biểu diễn ngụn ngữ R+.
Khi viết một biểu thức chớnh quy ta cú thể bỏ bớt đi một số ngoặc đơn mở, đúng nếu phõn biệt đƣợc mức độ ƣu tiờn của cỏc phộp toỏn. Phộp lặp cắt (+) cú độ ƣu tiờn cao nhất, sau đú là phộp tớch ghộp (.) và cuối cựng là phộp cộng (+).
Tập hợp cỏc từ do một biểu thức chớnh quy biểu diễn đƣợc gọi là ngụn ngữ sinh bởi biểu thức chớnh quy.
Vớ dụ 3.1:
1) Biểu thức chớnh quy (0 + 1)* sinh ra ngụn ngữ bao gồm tất cả cỏc xõu nhị phõn.
2) Biểu thức chớnh quy (1 + 10)* sinh ra ngụn ngữ bao gồm tất cả cỏc xõu nhị phõn bắt đầu bằng chữ số 1 và khụng chứa hai chữ số 0 liờn tiếp.
Theo Định lý Kleene, lớp cỏc ngụn ngữ sinh bởi cỏc biểu thức chớnh quy trựng với lớp cỏc ngụn ngữ chớnh quy. Hay núi một cỏch khỏc, biểu thức chớnh quy cũng là một cụng cụ sinh ra ngụn ngữ chớnh quy.
3.2.2. Xõy dựng nguồn tương đương với biểu thức chớnh quy
Biểu thức chớnh quy E và nguồn I đƣợc gọi là tƣơng đƣơng nếu chỳng sinh ra cựng một ngụn ngữ.
Giả sử cú nguồn I. Tập cốt yếu trong I đƣợc ký hiệu là D(I). Tổng số vị trớ của cỏc chữ cỏi xuất hiện trong biểu thức chớnh quy E đƣợc ký hiệu là |E|.
Định lý 3.2: Với mọi biểu thức chớnh quy E luụn tồn tại một nguồn I tƣơng
đƣơng với E sao cho: |D(I)| |E| +1.
Chứng minh: Ta chứng minh định lý trờn bằng quy nạp theo số ký hiệu xuất
hiện trong biểu thức chớnh quy E.
73 1) Cơ sở quy nạp:
- Với biểu thức chớnh quy sơ cấp a ta cú nguồn nhƣ sau:
a
thế thỡ |D(I)| = |E| +1.
- Với biểu thức chớnh quy a2n+1 (luỹ thừa bậc lẻ) ta cú nguồn nhƣ sau: thế thỡ |D(I)| |E| +1.
- Với biểu thức chớnh quy a2n (luỹ thừa bậc chẵn) ta cú nguồn nhƣ sau:
a a thế thỡ |D(I)| |E| +1.
2) Bƣớc quy nạp: Giả sử cú hai biểu thức chớnh quy E và F với hai nguồn tƣơng đƣơng I và J mà |D(I)| |E| +1 và |D(J)| |F| +1.
Theo thuật toỏn trờn ta cú:
|D(I J)| = |D(I)| + |D(I)| |E| + |F| +2 = |(E) + (F)| +1 |D(I . J)| = |D(I)| + |D(I)| |E| + |F| +2 = |(E) . (F)| +1 |D(In)| = |D(I)| |E| +1 |E|n
= |(E)n| , n 1.
Định lý đƣợc chƣng minh.
Theo định lý trờn, cận trờn của độ phức tạp otomat của biểu thức chớnh quy E khụng lớn hơn cận trờn của độ phức tạp otomat của nguồn I tƣơng đƣơng với E. Theo Định lý 3.1 cận trờn của độ phức tạp otomat của nguồn I là 2|D(I)|, trong đú D(I) là tập cỏc đỉnh cốt yếu của nguồn này.