Trong đồ thị phủ của hệ mạng vị trớ - chuyến mỗi cạnh (V, t, V') cú thể xem nhƣ là cạnh (V, {t}, V') với nhón là bƣớc đơn U = {t}. Vậy thỡ, nhón trờn cạnh của đồ thị phủ cũng là bƣớc. Để tỡm cỏc bƣớc tƣơng tranh (cực đại) của một hệ mạng vị trớ - chuyển, chỳng ta sẽ rỳt gọn đồ thị phủ của mạng này. Cỏc kết quả dƣới đõy là cơ sở cho việc rỳt gọn đồ thị phủ.
Định lý 2.8 : Giả sử là một hệ mạng vị trớ - chuyển, cỏc bộ đỏnh dấu V2, V3
R(V1), hai tập con cỏc chuyển U1, U2 khụng giao nhau. Nếu (V1, U1, V2) và
(V1, U2, V3) là hai cạnh trờn đồ thị phủ và 0 V2 + U2 K, đồng thời U = U1 U2 là tỏch đƣợc thỡ hai cạnh (V2, U2, V4) và (V3, U1, V4) với V4 = V2 + U2, cũng thuộc đồ thị phủ và V1 [ U > V4.
Chứng minh:
Vỡ (V1, U1, V2) là một cạnh của đồ thị phủ nờn V1[ U1 > V2, cú nghĩa là: 0 V1 + U1 K và V2 = V1 + U1. Tƣơng tự, vỡ (V1, U2, V3) là một cạnh của đồ thị phủ nờn 0 V1 + U2 K và V3 = V1 + U2.
Hơn nữa, do U1và U2 là tỏch đƣợc, khụng giao nhau và 0 V2 + U2
K nờn cạnh (V2, U2, V4) với V4 = V2 + U2 = V1 + U, trong đú U = U1 U2 thuộc đồ thị phủ . Tƣơng tự, do U là tỏch đƣợc nờn 0 V1 + U = V1 + U2 + U1 = V3 + U1 K. Suy ra V3 [ U1 > V4. Vậy thỡ, cạnh (V3, U1, V4) cũng thuộc đồ thị phủ. Đồng thời, suy ra rằng V1[ U > V4.
66
Định lý đƣợc chứng minh.
Định lý 2.9 : Giả sử là một hệ mạng vị trớ - chuyển, cỏc bộ đỏnh dấu V2, V3
R(V1), hai tập con cỏc chuyển U1, U2 khụng giao nhau. Nếu (V1, U1, V2) và
(V2, U2, V3) là hai cạnh trờn đồ thị phủ , đồng thời U = U1 U2 là tỏch đƣợc thỡ hai cạnh (V1, U2, V4) và (V4, U1, V3) với V4 = V1 + U2, cũng thuộc đồ thị phủ và V1 [ U > V3.
Chứng minh: Tƣơng tự nhƣ chứng minh của Định lý 2.8.
Cỏc kết quả trờn đƣợc minh hoạ qua Hỡnh 2.4 dƣới đõy:
Hỡnh 2.4. Minh hoạ Định lý 2.9
Dựa vào cỏc kết quả trờn, chỳng ta xõy dựng thuật toỏn rỳt gọn đồ thị phủ nhƣ sau.
Thuật toỏn 2.3 (Rỳt gọn đồ thị phủ)
Dữ liệu: Hệ mạng vị trớ - chuyển = (P, T; F, K, M0, W). Kết quả: Đồ thị phủ rỳt gọn của hệ mạng vị trớ - chuyển .
1) Xõy dựng đồ thị phủ cho hệ mạng vị trớ - chuyển cú nhón trờn cạnh là cỏc bƣớc đơn (Thuật toỏn 3.2).
2) Vũng lặp:
Với mọi cặp cạnh (V1, U1, V2) và (V1, U2, V3) mà U1 U2 = , 0 V2 + U2 K và tập U = U1 U2 là tỏch đƣợc thỡ bỏ đi bốn cạnh (V1, U1, V2),
67
(V1, U2, V3), (V2, U2, V4) và (V3, U1, V4) với V4 = V2 + U2, và thờm vào cạnh mới (V1, U, V4).
3) Vũng lặp kết thỳc khi khụng cũn cặp cạnh nào thoả món tỡnh huống trờn. Dóy cỏc nhón trờn cỏc đƣờng đi của đồ thị rỳt gọn vừa nhận đƣợc sẽ cho ta cỏc quỏ trỡnh tƣơng tranh của mạng với cỏc bƣớc tƣơng tranh cực
đại.
Chỳ ý rằng, hai tỡnh huống đƣợc nờu trong Định lý 2.8 và 2.9 nhƣ mụ tả bằng hỡnh vẽ ở dƣới, thực chất là một. Song khi ỏp dụng Thuật toỏn 2.3 ta cần thuật toỏn duyệt đồ thị để phỏt hiện cỏc tỡnh huống. Khi đú, Định lý 2.8 là cơ sở cho thuật toỏn duyệt đồ thị theo chiều rộng cũn Định lý 2.9 là cơ sở cho thuật toỏn duyệt đồ thị theo chiều sõu. Hơn nữa, khi xõy dựng đồ thị phủ cho một hệ mạng vị trớ - chuyển chỳng ta đó rỳt gọn một phần của đồ thị bằng kỹ thuật ”đỉnh phủ”. Do vậy, trong Thuật toỏn 2.3 ta chỉ rỳt gọn mà khụng bổ sung cạnh mới nhƣ trong Thuật toỏn 2.1 cho hệ mạng điều kiện - biến cố.
Áp dụng Thuật toỏn 2.3 cho mạng đƣợc cho trong Vớ dụ 1.19. Trƣớc hết ta xõy dựng đồ thị phủ cho mạng này, sau đú sử dụng kỹ thuật rỳt gọn ta nhận đƣợc kết quả nhƣ sau:
68
Hỡnh 2.5. Một phần của đồ thị phủ và đồ thị phủ rỳt gọn Ta nhận đƣợc quỏ trỡnh tƣơng tranh:
(3,0,1,5,1) [{t1} > (1,2,6,2,1) [{t2,t4} > (0,0,8,0,2) ...
Độ phức tạp của thuật toỏn
Sử dụng thuật toỏn duyệt đồ thị (duyệt theo chiều sõu hoặc duyệt theo chiều rộng) để phỏt hiện cỏc tỡnh huống nhƣ ở bƣớc 2. Giả sử số đỉnh của đồ thị phủ là n. Mỗi đỉnh cú bậc khụng quỏ |T|. Do vậy, độ phức tạp của phộp
duyệt đồ thị là O(n.(|T|+1)). Số lần duyệt đồ thị khụng quỏ |T| lần. Ở mỗi đỉnh phải chọn hai cạnh cựng kề với đỉnh và kiểm tra tớnh rời nhau của hai nhón trờn cỏc cạnh này và tớnh tỏch đƣợc của hợp của hai nhón. Vậy thỡ, độ phức tạp tổng thể của thuật toỏn là O(n.|T|4).
Đõy là một thuật toỏn hữu hiệu để song song hoỏ cỏc quỏ trỡnh tuần tự trờn hệ mạng vị trớ - chuyển. Kỹ thuật trỡnh bày ở trờn cú thể ứng dụng cho một số mụ hỡnh biểu diễn tƣơng tranh khỏc.
2.4. KẾT LUẬN CUỐI CHƢƠNG
Trong chƣơng này chỳng tụi đó đƣa ra khỏi niệm bƣớc tƣơng tranh trờn hệ mạng điều kiện - biến cố và xõy dựng thuật toỏn đầy đủ hoỏ đồ thị cỏc trƣờng hợp của một hệ mạng điều kiện - biến cố để nhận đƣợc đồ thị cỏc trƣờng hợp đầy đủ. Khi đú, dóy cỏc nhón trờn mỗi đƣờng đi của đồ thị cỏc trƣờng hợp đầy đủ sẽ cho ta một quỏ trỡnh tối ƣu của hệ mạng điều kiện - biến cố với cỏc bƣớc tƣơng tranh và cỏc bƣớc tƣơng tranh cực đại.
Áp dụng kỹ thuật trờn cho hệ mạng vị trớ - chuyển, chỳng tụi đó xõy dựng một thuật toỏn rỳt gọn đồ thị phủ để xỏc định đƣợc cỏc bƣớc tƣơng tranh trờn hệ mạng này. Từ đú, chỳng ta cũng nhận đƣợc cỏc quỏ trỡnh tƣơng
69
tranh tối ƣu xảy ra trờn hệ thống đƣợc biểu diễn bởi một hệ mạng vị trớ - chuyển. Cỏc kết quả này cú thể ỏp dụng cho cỏc mụ hỡnh tƣơng tranh khỏc và gúp phần phỏt triển lý thuyết tƣơng tranh.
Chƣơng 3