6. Cấu trúc của Luận án
2.6.3. Phương pháp phần tử hữu hạn
Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp số gần đúng để giải các bài tốn được mơ tả bởi các phương trình vi phân đạo hàm riêng trên miền xác định có hình dạng và điều kiện biên bất kỳ mà nghiệm chính xác khơng thể tìm được bằng phương pháp giải tích.
Cơ sở của phương pháp này là làm rời rạc hóa miền xác định của bài tốn, bằng cách chia nó thành nhiều miền con (phần tử). Các phần tử này được liên kết với nhau tại các điểm nút chung. Trong phạm vi của mỗi phần tử Nghiệm được chọn là một hàm số nào đó được xác định thông qua các giá trị chưa biết tại các điểm nút của phần tử gọi là hàm xấp xỉ thoả mãn điều kiện cân bằng của phần tử. Tập tất cả các phần tử có chú ý đến điều kiện liên tục của sự biến dạng và chuyển vị tại các điểm nút liên kết giữa các phần tử. Kết quả dẫn đến một hệ phương trình đại số tuyến tính mà ẩn số chính là các giá trị của hàm xấp xỉ tại các điểm nút. Giải hệ phương trình này sẽ tìm được các giá trị của hàm xấp xỉ tại các điểm nút của mỗi phần tử, nhờ đó hàm xấp xỉ hồn tồn được xác định trên mỗi một phần tử.
Về mặt toán học, phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) được sử dụng để giải gần đúng bài toán phương trình vi phân từng phần (PT VPTP) và phương trình tích phân, ví dụ như phương trình truyền nhiệt. Lời giải gần đúng được đưa ra dựa trên việc loại bỏ phương trình vi phân một cách hồn tồn (những vấn đề về trạng thái ổn định), hoặc chuyển PTVPTP sang một phương trình vi phân thường tương đương mà sau đó được giải bằng cách sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn, vân vân.
PPPTHH khơng tìm dạng xấp xỉ của hàm trên tồn miền xác định V của nó mà chỉ trong những miền con Ve (phần tử) thuộc miền xác định của hàm. Trong PPPTHH miền V được chia thành một số hữu hạn các miền con, gọi là phần tử. Các miền này liên kết với nhau tại các điểm định trước trên biên của phần tử được gọi là nút. Các hàm xấp xỉ này được biểu diễn qua các giá trị của hàm (hoặc giá trị của đạo hàm) tại các điểm nút trên phần tử. Các giá trị này được gọi là các bậc tự do của phần tử và được xem là ẩn số cần tìm của bài tốn.
Trong việc giải phương trình vi phân thường, thách thức đầu tiên là tạo ra một phương trình xấp xỉ với phương trình cần được nghiên cứu, nhưng đó là ổn định số học (numerically stable), nghĩa là những lỗi trong việc nhập dữ liệu và tính tốn trung gian khơng chồng chất và làm cho kết quả xuất ra trở nên vơ nghĩa. Có rất nhiều cách để làm việc này, tất cả đều có những ưu điểm và nhược điểm.
PPPTHH là sự lựa chọn tốt cho việc giải phương trình vi phân từng phần trên những miền phức tạp (giống như những chiếc xe và những đường ống dẫn dầu) hoặc khi những yêu cầu về độ chính xác thay đổi trong tồn miền. Ví dụ, trong việc mơ phỏng thời tiết trên Trái Đất, việc dự báo chính xác thời tiết trên đất liền quan trọng hơn là dự báo thời tiết cho vùng biển rộng, điều này có thể thực hiện được bằng việc sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn [112], [113].
Phương pháp Phần tử hữu hạn thường được dùng trong các bài toán Cơ học (cơ học kết cấu, cơ học môi trường liên tục) để xác định trường ứng suất và biến dạng của vật thể. Ngoài ra, phương pháp phần tử hữu hạn cũng được dùng trong vật lý học để giải các phương trình sóng, như trong vật lý plasma, các bài toán về truyền nhiệt, động lực học chất lỏng, trường điện từ [112], [113].
Ưu điểm của phương pháp PTHH: Phương pháp PTHH cho phép phân tích và đánh giá ứng xử động lực học của kết cấu chính xác và sát với thực tế hơn các phương pháp giải tích sử dụng nhiều giả thuyết đơn giản hóa. Phương pháp PTHH có thể mơ phỏng gần đúng các kết cấu có cấu trúc phức tạp, bất đối xứng. Phương pháp PTHH cho phép tính tốn các mơ hình có kích thước lớn mà phương pháp thực nghiệm không thực hiện được. Các tham số của mơ hình được hiệu chỉnh dựa trên số liệu đo của các mơ hình thí nghiệm có kích thước nhỏ, sau đó được áp dụng phân tích các mơ hình lớn. Với sự hỗ trợ của máy tính điện tử và các thuật tốn hiện đại, phương pháp PTHH cho phép phân tích phi tuyến (phi tuyến hình học và phi tuyến vật liệu) chịu tác dụng của tải trọng phức tạp (va chạm, động đất, gió bão, tải trọng nổ, sụp đổ lũy tiến). Phương pháp PTHH kết hợp với phương pháp thể tích hữu hạn, có xét tới dao động và tương tác giữa nước với kết cấu, cho phép phân tích chính xác ứng xử động lực học của hệ kết cấu - bể nước. Kết quả đạt được là chính xác và thực tế hơn kết quả giải tích, đồng thời có thể áp dụng để mơ phỏng các kết cấu lớn, nhiều bậc tự do mà khơng thể tiến hành thí nghiệm. Phương pháp mơ phỏng đề xuất trong đề tài cho phép phân tích kết cấu có nhiều bậc tự do và giảm thời gian tính tốn so với mơ hình đầy đủ các thành phần của tịa nhà và bể nước.
Nhược điểm của phương pháp PTHH: Bên cạnh đó phương pháp PTHH cũng tồn tại nhược điểm đó là: Tính chính xác của mơ hình phụ thuộc vào khả năng xây dựng và kiểm sốt mơ hình của người thực hiện. Vì vậy, tính phổ thơng và dễ áp dụng của phương pháp này cho bài toán tương tác giữa kết cấu và chất lỏng chưa cao.
Dựa vào phân tích ưu, nhược điểm của các phương pháp cũng như những yêu cầu khi phân tích tính tốn bể chứa chất lỏng, luận án đề xuất sử dụng mơ hình
mơ phỏng số dịng chất lỏng tính tốn bằng phương pháp PTHH. Cụ thể là đề xuất ra một mơ hình tính tốn phù hợp cho bể chứa chất lỏng. Mơ hình này sẽ được kiểm chứng qua các phương pháp tính tốn khác. Cụ thể Luận án nghiên cứu sử dụng mô phỏng số trên phần mềm ANSYS APDL để phân tích mơ hình đề xuất, tính tốn ảnh hưởng của bể chứa chất lỏng đến kết cấu. Đề xuất mơ hình phân tích bể chứa để mô phỏng theo phương pháp PTHH qua phần mềm ANSYS APDL với phần tử nước là phần tử Flui30 [114], [115], [116], [117], [118]. Kết quả tính tốn cho tần số dao động riêng của bể chứa, đặc tính dao động của chất lỏng trong bể dưới tác dụng của tải trọng điều hòa, là dẫn chứng cho sự phù hợp của phương pháp PTHH.
Hình 2.17. Mơ hình bể chứa chất lỏng trong ANSYS APDL