Trong lý thuyết xác suất, tồn tại một số khái niệm về tính hội tụ của biến ngẫu nhiên. Khái niệm này đề cập tới việc một chuỗi những biến ngẫu nhiên hội tụ về một số lượng giới hạn các biến ngẫu nhiên, là một chủ đề quan trọng trong lý thuyết xác suất và những ứng dụng cho thống kê và xử lý tất định ngẫu nhiên.
Hội tụ về phân bố
Ở loại hội tụ này, ta mong muốn thấy đầu ra của một chuỗi các phép thử ngẫu nhiên được mơ hình hóa một cách ngày càng tốt hơn về một hàm phân bố xác suất được cho trước.
Hội tụ về phân bố là kiểu hội tụ yếu nhất, bởi nó được bao hàm bởi tất cả các kiểu hội tụ khác của biến ngẫu nhiên. Tuy nhiên đây lại là kiểu hội tụ được sử dụng nhiều nhất, đặc biệt trong những ứng dụng liên quan tới định lý giới hạn trung tâm.
Định nghĩa:
Một chuỗi những biến ngẫu nhiên thực X1, X2. . . được gọi là hội tụ về phân bố, hoặc hội tụ yếu về một biến ngẫu nhiên X nếu:
lim
n→∞Fn(x) =F(x) (2.4)
Với mọi x∈R tại đó F liên tục. Fn và F tương ứng là hàm phân bối tích lũy của biến ngẫu nhiên Xn và X.
Phân bố về xác suất được ký hiệu bởi: Xn −→s X
Với véc tơ ma trận ngẫu nhiên X1, X2, ...⊂Rk, hội tụ về phân bố được định nghĩa một cách tương tự. Ta nói chuỗi này hội tụ về về phân bố của véc tơ ngẫu nhiên X k chiều nếu:
lim
n→∞(Xn ∈A) =P r(X ∈A) (2.5)
Với mọi A⊂Rk là một tập hợp liên tục của X. Tính chất:
Hội tụ theo xác suất
Ở kiểu hội tụ này, xác suất của một phép thử ra kết quả “khơng bình thường” trở nên ngày càng nhỏ theo tiến trình. Định nghĩa hội tụ theo xác suất được sử dụng rất nhiều trong thống kê. Hội tụ theo xác suất còn là kiểu hội tụ được xây
dựng từ luật số nhiều yếu. Định nghĩa:
Dãy Xn hội tụ về X theo xác suất nếu:
lim
n→∞P(|Xn−X| ≤) = 0 (2.6)
với mọi . Hội tụ theo xác suất thực ra là hội tụ của xác suất.
Hội tụ theo xác suất được ký hiệu bằng cách thêm chữ 0P0 vào phía trên mũi tên chỉ sự hội tụ over:
Xn −→d X (2.7)
Hội tụ theo xác suất cũng là khái niệm hội tụ đề cập trong luật số lớn(yếu). Hội tụ theo xác suất suy ra sự hội tụ theo phân phối.
Hội tụ gần chặt (Almost sure convergence)
Ta nói rằng dãy Xn hội tụ hầu như chắc chắn hay hầu khắp nơi hay với xác suất 1 hay mạnh về X nếu:
P lim n→∞Xn =X = 1 (2.8)
Có nghĩa là bạn được đảm bảo rằng các giá trị của Xn xấp xỉ giá trị của X, theo nghĩa (xem hầu như chắc chắn) là xác suất để Xn không hội tụ về X là bằng 0. Bằng cách dùng không gian xác suất (Ω, F, P) và khái niệm biến ngẫu nhiên như là một hàm số từ Ω đến R, điều này tương đương với cách viết:
P w∈Ω|lim n→∞Xn(w) =X(w) = 1 (2.9)
Hội tụ hầu như chắc chắn thì suy ra hội tụ theo xác suất, và do đó cũng suy ra hội tụ theo phân phối. Nó là khái niệm hội tụ được đề cập trong luật số lớn (mạnh).
Hội tụ chặt
Một chuỗi biến ngẫu nhiên (Xn) được gọi là hội tụ chặt về biến ngẫu nhiên X nếu:
lim
n→∞Xn(w) =X(w),∀w∈Ω (2.10)
Trong đó Ω là khơng gian mẫu của không gian xác suất mà biến ngẫu nhiên X được định nghĩa.