Phần này đề cập các khái niệm về tối ưu được sử dụng trong tài liệu [? ? ]. Cụ thể, trong lý thuyết tối ưu, một bài toán quy hoạch được định nghĩa dạng tổng quát như dưới đây.
Định Nghĩa 1. Một bài tốn quy hoạch có dạng tổng qt như sau
minimize
x∈X f0(x)
subject to fn(x)≤bn ∀n = 1, . . . N,
(2.11)
trong đó véc-tơ x= [x1, . . . , xn] chứa các biến cần tối ưu. f0(x) là hàm mục tiêu cần tối ưu (objective function). Hàm ràng buộc fn(x), n= 1, . . . , N chứa các điều kiện mà bài toán quy hoạch cần thỏa mãn. Mỗi giá trị bn định nghĩa bao trên cho một hàm ràng buộc tương ứng. Tập xác định X được coi là lồi trong phạm vi nghiên cứu của đồ án.
Trong định nghĩa trên, nếu một véc-tơ xthỏa mãn tất cả các hàm ràng buộc, chúng ta gọi véc-tơ này là một điểm khả thi. Tập hợp tất cả các điểm khả thi tạo thành vùng khả thi của bài toán quy hoạch.
Sau đây, các bài toán quy hoạch lồi sẽ được đề cập. Lưu ý, trong bài toán quy hoạch lồi, mồi điểm tối ưu cục bộ cũng là điểm tối ưu toàn cục. Khái niệm cơ bản đầu tiên là tập lồi. Cụ thể, một tập hợp X được hiểu là lồi trong trường
hợp x1, . . . ,xn ∈ X và các số thực dương a1, . . . , an thỏa mãn a1 +. . .+an = 1, chúng ta đạt được
a1x1+. . .+anxn ∈ X. (2.12) Từ khái niệm về tập lồi, chúng ta giới thiệu khái niệm của hàm lồi. Với các véc-tơx,x˜ ∈ X, các số thực dươnga1, a2 thỏa mãn a1+a2= 1 và a1x1+a2x2∈ X, hàm số fi,∀i= 0, . . . , n, thỏa mãn
fi(a1x1+a2x2)≤a1fi(x1) +a2fi(x2), (2.13) sau đó bài tốn quy hoạch mạng (2.11) là bài toán tối ưu lồi. Véc-tơ x∗ là giá trị tối ưu của (2.11) nếu giá trị hàm mục tiêu là nhỏ nhất trong tất cả các điểm khả thi. Các đặc điểm cơ bản của bài toán quy hoạch lồi bao gồm
Bởi vì miền khả thi của hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc là các tập lồi, miền khả thi của bài toán quy hoạch cũng là một tập lồi. Điều này đảm bảo một giải pháp không khả thi khơng bao giờ xuất hiện khi giải bài tốn quy hoạch (2.11).
Hàm mục tiêu của một bài toán quy hoạch lồi đảm bảo tất cả các điểm tối ưu cục bộ đều là điểm tối ưu tồn cục. Do đó nếu một điểm tối ưu cục bộ được tìm thấy, sau đó điểm tối ưu tồn cục sẽ đạt được bằng cách dùng một thuật tốn tìm kiếm.
Từ đặc điểm của các bài tốn quy hoạch lồi nói trên, bài tồn quy hoạch dạng nón bậc 2 sẽ được trình bày chi tiết bởi vì nó được sử dụng để đánh giá quy hoạch cơng suất trong luận văn này. Dạng chính tắc của bài tốn quy hoạch dạng nón bậc 2 được trình bày như sau
minimize
x∈X cTx
subject to kAix+bixk2≤cTi x+di ∀i= 1, . . . N,
(2.14)
trước. Các hàm ràng buộc trong bài toán quy hoạch (2.14) là các dạng nón bậc 2. Một bài tốn quy hoạch dạng nón là một trường hợp đặc biệt của quy hoạch lồi, do đó điểm tối ưu tồn cục có thể được tìm ra.