CHƯƠNG 1 : TỔNG QUAN
2.3 Xây dựng Unified Game-Based Model mơ hình hóa xung đột
2.3.4 Cân bằng Nash của xung đột
Bài toán cân bằng lần đầu tiên được giới thiệu bởi bởi H. Nikaido, K. Isoda vào năm 1955 nhằm mục đích tổng qt hố bài tốn cân bằng Nash trong trị chơi khơng hợp tác [26]. Bài toán cân bằng các yếu tố của vấn đề nói chung là bài tốn: tìm x∗ ∈ 𝐾 sao cho 𝑓(𝑥∗, 𝑦) ≥ 0, ∀𝑦 ∈ 𝐾 [27]. Trong đó K là một tập cho trước và 𝑓: 𝐾 × 𝐾 → ℝ là một hàm cho trước thỏa mãn 𝑓(𝑥, 𝑥) = 0.
Bất đẳng thức trên được H. Nikaido và K. Isoda đưa ra lần đầu tiên năm 1955 khi tổng qt hóa bài tốn cân bằng Nash trong trị chơi khơng hợp tác [26]. Cụ thể, hàm Nikaido-Isoda định nghĩa điểm cân bằng Nash của bài toán xung đột trong quản lý dự án được mơ tả theo Unified Game-based model có dạng như sau:
𝑓(𝑥∗, 𝑥) = ∑(𝑓𝑖(𝑥) − 𝑓𝑖(𝑥[𝑦𝑖]))
𝑛
𝑖=1
Trong đó vectơ 𝑥[𝑦𝑖] là vectơ nhận được bằng cách từ vectơ x thay thành phần xi bởi
yi. Ký hiệu 𝐾𝑖 ⊂ ℝ là tập chiến lược của người chơi thứ i. Khi đó tập chiến lược của trị chơi là: 𝐾 ≔ 𝐾1× . .. × 𝐾𝑛. Một điểm x∗ ∈ 𝐾 được gọi là điểm cân bằng Nash của trò chơi nếu:
𝑓𝑖(𝑥∗) = max
𝑦𝑖∈𝐾𝑖𝑓𝑖(𝑥∗[𝑦𝑖]) , ∀𝑦𝑖 ∈ 𝐾𝑖, ∀𝑖
Việc tìm ra điểm cân bằng Nash sử dụng song hàm Nikaido-Isoda tương đương với việc tìm ra các 𝑓𝑖(𝑥∗) sao cho thỏa mãn Cơng thức 2.7.
Trong mơ hình Unified Game-based model, việc xác định lợi ích qua các hàm lồi 𝑓𝑖(𝑥∗) tương đương với các ký pháp về hàm payoff 𝑢𝑖. Hàm lồi 𝑓𝑖(𝑥∗[𝑦𝑖]) cho điểm cân bằng Nash 𝑥∗ tìm được tương đương với định nghĩa về 𝑢𝑖(𝑠𝑖∗, 𝑠−𝑖∗ ) trong Phần 2.3.2 và mơ hình của Dario Bauso [35], trong đó tập các chiến lược 𝑥∗ = 𝑆∗= (𝑠1∗, … , 𝑠𝑖∗, … , 𝑠𝑁∗ ) được gọi là điểm cân bằng Nash khi:
∀(𝑠𝑖∗, 𝑠𝑗∗) ∈ 𝑆∗, (𝑠𝑖∗, 𝑠𝑗∗) ∉ 𝑅𝑐, (1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑁), và: 𝑢𝑖(𝑠𝑖∗, 𝑠−𝑖∗ ) ≥ 𝑢𝑖(𝑠𝑖, 𝑠−𝑖∗ ), ∀𝑠𝑖 ∈ 𝑆𝑖
Vì vậy theo song hàm Nikaido-Isoda trong cân bằng Nash [61], áp dụng vào mơ hình Unified Game-based model, khi tìm kiếm được giá trị:
𝑓(𝑥∗, 𝑥) = 𝑓(𝑆∗, 𝑆) = ∑𝑛 (𝑢𝑖(𝑠𝑖∗, 𝑠−𝑖∗ ) − 𝑢𝑖(𝑠𝑖, 𝑠−𝑖∗ ))
𝑖=1 ≥ 0, , ∀𝑠𝑖 ∈ 𝑆𝑖
Trong thực tế, các điểm cân bằng Nash cần phải thỏa mãn thêm các ràng buộc khác và việc tính 𝑓𝑖(𝑥∗) hay 𝑢𝑖(𝑠𝑖∗, 𝑠−𝑖∗ ) dựa vào nhiều yếu tố, dữ liệu của bài tốn, lúc này bài tốn tìm cân bằng Nash theo song hàm Nikaido-Isoda có dạng của một bài toán tối ưu đa mục tiêu và có thể giải quyết bằng các giải thuật tối ưu tiến hóa đa mục tiêu (MOEA) [61, 62].
Do đó, ta có các điều phải chứng minh về việc tồn tại của điểm cân bằng Nash trong các bài toán xung đột trong quản lý dự án như sau:
(i) Có thể khẳng định rằng nếu các giải thuật tối ưu tiến hóa đa mục tiêu hội tụ trong trường hợp khi giá trị thích nghi (fitness) của giải thuật sau một hữu hạn bước lặp
(2.7)
(2.8)
(2.9)
Trang 56
chỉ thay đổi trong phạm vi nhỏ hơn một giá trị Ꜫ xác định trước, khi đó sẽ tìm được điểm cân bằng Nash thỏa mãn cơng thức 2.9 và cơng thức 2.10.
(ii) Theo phân tích trong phần 2.1.1, các bài toán xung đột trong quản lý dự án phù
hợp với dạng bài tốn quy hoạch tuyến tính với nhiều hàm mục tiêu (đa mục tiêu). Từ tối ưu đa mục đa mục tiêu quy về tìm phương án tốt nhất để đạt được cực tiểu hoặc cực đại giá trị thích nghi dựa trên các hàm thưởng phạt của từng đối tượng: 𝑓(𝑥) → 𝑚𝑖𝑛(𝑚𝑎𝑥).
Từ (i) (ii) cho thấy rằng các bài tốn xung đột trong quản lý dự án là có thể hội tụ và đều tồn tại điểm cân bằng Nash. Các bài toán con về xung đột trong quản lý dự án được giới thiệu tại phần 1.1.2, phần 1.1.3 và có chung đặc điểm được giới thiệu như trong phần 2.1.1 cũng tồn tại điểm cân bằng Nash và có thể tìm được thơng qua các giải thuật tối ưu đa mục tiêu.
2.4 Tiểu kết chương
Trong chương 2, nghiên cứu sinh đã thực hiện nghiên cứu những nội dung sau: Trong phần 2.1, nghiên cứu sinh đã phân tích vai trị, đặc điểm của xung đột trên cơ sở các tính chất liên quan tới mơ hình lý thuyết trị chơi và có thể mơ tả thơng qua lý thuyết trị chơi, từ đó kết luận ra những đặc điểm cần thiết cần truyền tải trong mơ hình ở phần dưới. Từ các kỹ thuật giải quyết xung đột từ mơ hình của Thomas-Kilmann, nghiên cứu sinh đề xuất sử dụng phương án tốt nhất là Hợp tác. Phương án này luôn được biết tới là một phương án khó giải. Tuy nhiên nghiên cứu sinh cũng đã phân tích và đề xuất phương án này là giải được nhờ vào việc áp dụng lý thuyết trò chơi và cân bằng Nash. Cũng trong phần 2.1, nghiên cứu sinh phân tích vai trị của chủ đầu tư, sự ảnh hưởng của chủ đầu tư trong các bài toán xung đột và đi tới kết luận là trong bất cứ phân loại xung đột nào đều cần thiết phải tính tới lợi ích của chủ đầu tư. Cuối cùng, tại mục 2.1.4 tiến hành phân loại các xung đột điển hình theo sự có mặt của chủ đầu tư.
Trong phần 2.2, nghiên cứu sinh đã phân tích các mơ hình biểu diễn lý thuyết trị chơi hiện tại, từ đó đề xuất mơ hình biểu diễn xung đột phù hợp trong phần 2.2.2 và đề xuất mơ hình cụ thể biểu diễn tồn bộ các xung đột trong quản lý dự án tại phần 2.3. Khắc phục những vấn đề chung liên quan tới biểu diễn và giải quyết các bài tốn xung đột khác nhau đã được phân tích trước đó, trong phần 2.3, nghiên cứu sinh đề xuất mơ hình Unified Game-Based chung cho các lớp các bài tốn Xung đột trong Quản lý dự án với các đặc điểm chủ yếu sau: (i) thống nhất về ký pháp (ii) có sự xuất hiện của người chơi đặc biệt – đại diện cho quyền lợi của toàn dự án (iii) phân tách các mô tả về người chơi đặc biệt và người chơi bình thường (iv) có sự xuất hiện của mơ tả về xung đột. Trong phần 2.4, nghiên cứu sinh sử dụng song hàm Nikaido-Isoda là các chứng minh về toán học, được sử dụng nhiều trong việc áp dụng để giải quyết vấn để cân bằng nói chung cũng như cân bằng Nash, trong đó chỉ ra rằng nếu giải thuật tối ưu đa mục tiêu hội tụ, sẽ tìm ra được điểm cân bằng Nash.
Liên quan trực tiếp đến nội dung của chương 2, có 01 bài báo đã được cơng bố trên tạp chí Tin học và Điều khiển học – CT5, và trước đó là 02 bài báo khám phá mơ hình, có tính dẫn dắt đi để tới mơ hình là CT1, CT2.
Trong chương tiếp theo, nghiên cứu sinh sẽ ứng dụng Unified Game-based model trong một số ví dụ thuộc hai loại bài tốn xung đột khác nhau là các bài tốn xung đột có mặt chủ đầu tư và các bài tốn khơng có mặt chủ đầu tư để đánh giá thêm về tính hiệu quả của mơ hình.
Trang 57
CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG MƠ HÌNH UNIFIED GAME-BASED MODEL TRONG MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH