Cỏc kiến thức về giới hạn là rất trừu tượng và khú hiểu đối với học sinh nhưng lại là cơ sở đối với kiến thức về hai phộp tớnh cơ bản của Giải tớch: phộp tớnh Đạo hàm và phộp tớnh Tớch phõn. Vỡ vậy để nõng cao hiệu quả dạy học, theo chỳng tụi giỏo viờn cần quan tõm làm rừ cỏc ứng dụng của giới hạn trong mụn Toỏn.
1.1) Sử dụng Giới hạn để chứng minh phương trỡnh cú nghiệm. Vấn đề này đó đề cập trong SGK, tuy nhiờn số lượng bài tập đang rất hạn chế. Giỏo viờn cú thể đưa vào cỏc vớ dụ sau:
Vớ dụ 1: Chứng minh rằng phương trỡnh:
a) cú ớt nhất hai nghiệm thực phõn biệt. b)
cú nghiệm với a, b, c tựy ý.
a) Xột hàm số là hàm số liờn tục trờn . Ta cú: ,
Do đú tỡm được d < 0 với khỏ lớn sao cho . Vỡ hàm số liờn tục trờn nờn liờn tục trờn . Hơn nữa nờn sao cho , nghĩa là phương trỡnh đó cho cú ớt nhất một nghiệm trờn khoảng .
Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được phương trỡnh đó cho cú nhất 1 nghiờm trờn .
Vậy phương trỡnh đó cho cú ớt nhất 2 nghiệm phõn biệt. b) Xột hàm số:
Ta cú: là hàm số liờn tục trờn .
. Suy ra = =
Nếu = 0 thỡ một trong bốn số 0, a, b, c là nghiệm của phương trỡnh.
Nếu < 0 thỡ ớt nhất cú một cặp số trỏi dấu, do đú phương trỡnh đó cho luụn cú nghiệm thực.
Vớ dụ 2: Chứng minh rằng phương trỡnh tanx = x cú vụ số nghiệm. Phương phỏp giải:
Xột hàm số trờn khoảng . Hiển nhiờn trờn khoảng này f(x) là hàm liờn tục. Ta cú:
, .
Suy ra, sao cho f( ) < 0
và sao cho và .
Do đú, tồn tại xn để f(xn) = 0 hay tanxn = xn. Vỡ vậy, trờn mỗi
khoảng , phương trỡnh đó cho cú ớt nhất một nghiệm. Cho k thay đổi trờn , phương trỡnh đó cho cú vụ số nghiệm.
Vớ dụ 3: Chứng minh rằng:
a) Một đa thức bậc lẻ thỡ cú ớt nhất một nghiệm thực.
b) Một đa thức bậc chẵn cú ớt nhất 2 nghiệm thực, nếu nú nhận ớt nhất một giỏ trị trỏi dấu với hệ số của số hạng cao nhất của đa thức.
Phương phỏp giải:
a) Giả sử: , là một
Suy ra, để và , để . Nờn sao cho . Vậy đa thức cú ớt nhất một nghiệm thực.
b) Giả sử , , là
một đa thức bậc chẵn nào đú và . Ta cú:
Suy ra, để và để . Do đú để và để hay đa thức cú ớt nhất hai nghiệm thực.
1.2) Ứng dụng giới hạn để tỡm đạo hàm: mặc dự Đạo hàm được định nghĩa thụng qua giới hạn nhưng cú một thực trạng là học sinh chỉ biết tỡm đạo hàm bằng cụng thức, thậm chớ tớnh rất nhanh nhưng lại khụng tỡm được đạo hàm của một hàm số bằng định nghĩa. Do đú, theo chỳng tụi giỏo viờn phải thực sự quan tõm đến ứng dụng này. Một mặt vừa rốn luyện được một kĩ năng giải toỏn, mặt khỏc nhằm củng cố, khắc sõu định nghĩa Đạo hàm và phương phỏp tỡm giới hạn.
Vấn đề này theo [26], để tớnh đạo hàm y'(x0) cần thực hiện 3 bước sau:
Bước 1: Cho x0 số gia và tớnh =f(x0 + ) - f(x0)
Bước 2: Lập tỉ số
Bước 3: Tỡm giới hạn
(Đề thi tuyển sinh vào ĐHQG Hà Nội, Khối A, 1999)
Phương phỏp giải: Cho số gia đối số tại x = 0. Số gia hàm số là:
= = . Nờn: .
Do đú:
Vậy
1.3) Giải quyết một số bài toỏn về bất đẳng thức.
Vớ du 1: Chứng minh bất đẳng thức sau và hóy chứng tỏ rằng khụng thể
thay hằng số ở vế phải bằng một số nhỏ hơn.
, (1)
Phương phỏp giải:
Ta cú:
,
Đặt . Gọi là một số lớn hơn sao cho: un > (*).
Vỡ , nờn với số tỡm được
số n0 sao cho ta đều cú: (mõu thuẫn với (*)).
Vậy, trong bất đẳng thức (1) khụng thể thay số bằng bất kỡ số nào
lớn hơn .
Vớ dụ 2: Chứng minh rằng trong mọi ABC khụng phải là tam giỏc tự
ta đều cú:
(Đề thi tuyển sinh vào ĐHSP Hà Nội 2, Khối A, 1999)
Hóy chứng tỏ khụng thể thay hằng số ở vế phải bằng bất kỡ số nào lớn hơn.
Phương phỏp giải:
Trường hợp ABC là tam giỏc nhọn bất kỡ. Khi đú: 0 < sinA < 1, 0 < sinB < 1, 0 < sinC < 1 nờn ta cú:
= =
= 2 + cosC = 2 + 2cosA.cosB.cosC > 2 (vỡ cosA > 0, cosB > 0, cosC > 0).
Trường hợp ABC là tam giỏc vuụng.
Giả sử ABC vuụng tại A, ta cú sinA = 1. Nờn:
> 1 + sin2B + cos2B = 2 Tam giỏc ABC vuụng tại B hoặc C chứng minh tương tự.
Vậy:
Trở lại trường hợp ABC vuụng tại A ta cú: =
Vỡ vậy, bất đẳng thức trờn khụng thể thay số 2 bởi bất kỡ số nào lớn hơn 2.
Vớ du 3: Tỡm số k lớn nhất để trong mọi ta đều cú: sin2A + sin2B > ksin2C
Phương phỏp giải:
Giả sử ABC là tam giỏc bất kỡ và a, b, c là cỏc cạnh của nú. Ta cú: c < a + b sinC < sinA + sinB (theo định lớ sin)
sin2C <
Suy ra, số k cần tỡm là k .
Xột trường hợp cõn tại C. Lỳc này: sin2A + sin2B = 2sin2A. Theo yờu cầu bài toỏn ta cú: 2sin2A > ksin2C = ksin22A = 4ksin2Acos2A
k <
Nhưng , nờn k . Vậy k = .