Là dóy số (un) xỏc định bởi: , đó được trỡnh bày trong [38, tr. 107] và [14, tr. 87].
a) Trong vấn đề sinh trưởng ta sẽ xột 2 bài toỏn sau:
Bài Toỏn thỏ đẻ con dẫn đến dóy số Fibụnacci: Một nụng dõn mua
một đụi thỏ để nuụi. Thỏng đầu tiờn đụi thỏ ấy sinh một đụi thỏ con, thỏng thứ 2 sinh một đụi nữa rồi dừng lại. Cỏc đụi thỏ con, đến lượt mỡnh lại sinh ra 2 đụi khỏc (mỗi thỏng sinh một đụi) rồi cũng dừng lại. Hỏi cứ mỗi thỏng người nụng dõn cú bao nhiờu đụi thỏ?
Để trả lời cõu hỏi này, hóy vẽ sơ đồ cỏc đụi thỏ và viết lờn một hàng số đụi thỏ của mỗi thế hệ kể từ đụi thỏ mua về đầu tiờn (Hỡnh 2.11).
Đụi thỏ bố mẹ Thế hệ thứ nhất Thế hệ thứ 2 Thế hệ thứ 3 Thế hệ thứ 4 Thế hệ thứ 5 Thế hệ thứ 6 Thế hệ thứ 7 1đụi 1 đụi 2 đụi 3 đụi 5 đụi 8 đụi 13 đụi 21 đụi Hỡnh 2.11
Trước hết viết số 1 cho đụi thỏ mua về và một số 1 nữa cho đụi thỏ con sinh ra ở thỏng thứ nhất (thế hệ F1). Thỏng thứ 2 cả 2 đụi thỏ này đều sinh đẻ nờn phải viết số 2 (thế hệ F2). Đến đõy đụi thỏ người nụng dõn mua ban đầu ngừng sinh. Thỏng tiếp theo thế hệ F1 sinh 1 đụi, thế hệ F2 sinh 2 đụi nờn thế hệ F3 cú 3 đụi. Đến đõy thế hệ F1 ngừng sinh. Thế hệ F2 sinh 2 đụi và thế hệ F3 sinh 3 đụi nờn cú 5 đụi (thế hệ F4). Như vậy mỗi thỏng chỉ cú 2 thế hệ sau cựng sinh đẻ, nờn số thỏ tiếp theo là tổng của số thỏ 2 thế hệ sau cựng cộng lại. Những số được thành lập như vậy gọi là dóy số Fibonacci (Fibonacci là biệt danh của Lộonardo Pisano - nhà toỏn học người í).
Bài toỏn dũng họ của loài ong: Ong đực chỉ cú mẹ, cũn ong cỏi cú cả
bố và mẹ. Hỏi một con ong đực cú bao nhiờu tổ tiờn ở đời thứ n?
Cũng giống như bài toỏn trờn, để trả lời cõu hỏi trước hết hóy vẽ sơ đồ cõy cỏc đời của loài ong và viết số tổ tiờn lờn dũng ứng với đời thứ n.
đ đ Số tổ tiên 6 5 4 3 2 Đ ời thứ 13 8 1 5 3 2 1 1 đ c c đ c c đ c đ c c đ c c đ c c c đ c c c đ c c đ c đ c C Đ
Đời thứ nhất cú 1 (mẹ), đời thứ hai cú 2 (1 đực và một cỏi), đời thứ ba cú 3 (vỡ ở đời thứ 2 cú một ong đực, một ong cỏi. Ong đực thỡ cú mẹ, cũn ong cỏi cú cả bố và mẹ), đời thứ bốn cú 5 (vỡ ở đời thứ ba cú 1 ong đực và 2 ong cỏi) …Như vậy ta thấy rằng số ong ở đời thứ n nào đú bằng tổng số ong của 2 đời liền trước đú nờn ta cú dóy số:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,…
Tổng quỏt, nếu gọi u(n) là số tổ tiờn của ong đực ở đời thứ n,
(coi u(0) = 1- con ong đực). Ta cú: u(n), , nhận cỏc giỏ trị là dóy số trờn - dóy số Fibonacci. Và như nhận xột đó nờu thỡ dóy số này được xỏc định:
b) Với thực vật học.
Từ dóy số Fibonacci, chia mỗi số cho số liền sau nú ta được dóy tỉ số :
Cỏc phõn số của dóy tỉ số này biểu thị cho một loại chỉ số phỏt triển của một số loại thực vật nhất định, thể hiện bằng sự phõn bố của cỏc lỏ xung quanh thõn cõy. Khi quan sỏt sự phõn bố này, người ta thấy chỳng được phõn phối đều và cuộn theo một đường xoắn ốc theo hướng từ dưới lờn (Hỡnh 2.13). Trong trường hợp này đường xoắn ốc quấn 5 vũng xung quanh thõn cõy từ lỏ số 1 đến lỏ số 9 và 8 khoảng giữa cỏc lỏ 1 đến lỏ 9. Tỉ số Fibonacci của cõy này là . Đối với mỗi cõy nhất định , tỉ số này là một hằng số
sinh học. Chẳng hạn, với cõy thụng tỉ số này là hoặc , cũn với cõy hoa
cỳc tõy là . Cỏc tỉ số này giỳp cho cỏc nhà thực vật học cú thờm những số liệu để phõn loại và tỡm ra quy luật phỏt triển của cỏc loài cõy.