a) Cấp số nhõn trong chăn nuụi.
Trong chăn nuụi, thụng thường cần phải giải quyết 2 bài toỏn:
- Tớnh số đàn gia sỳc sau mỗi kỡ chăn nuụi từ tỉ lệ tăng đàn từng kỡ và số gia sỳc ban đầu.
- Tớnh số đàn gia sỳc đầu kỡ cỏc năm về trước nếu biết số lượng đàn gia sỳc và tỉ lệ tăng đàn hàng năm.
Vớ dụ 1: Qua điều tra chăn nuụi bũ ở huyện X cho thấy ở đõy trong nhiều
năm qua, tỉ lệ tăng đàn hàng năm là 2%.
Tớnh xem, sau một kế hoạch 3 năm, với số lượng đàn bũ thống kờ được ở huyện này vào ngày 1/1/2006 là 18.000 con, thỡ với tỉ lệ tăng đàn trờn đõy, đàn bũ sẽ đạt tới bao nhiờu con?
Thụng thường bài toỏn trờn được giải như sau:
Sau một năm đàn bũ ở huyờn này tăng được: 18.000 2% = 360 (con). Nờn tổng số đàn bũ sau năm thứ nhất (cuối năm 2006) là:
18.000 + 360 = 18.360 (con).
Sau 2 năm đàn bũ lại tăng thờm: 18.360 2% = 367 (con). Nờn tổng số bũ sau năm thứ 2(cuối năm 2007) là:
18.360 + 367 = 18.727 (con).
Sau 3 năm đàn bũ lại tăng thờm: 18.727 2% = 375 (con). Như vậy tổng đàn bũ cuối năm thứ 3 (cuối 2008) là:
18.727 + 375 = 19.102 (con).
Bài toỏn đó được giải quyết xong. Tuy nhiờn ta nhận thấy nếu yờu cầu
tớnh số đàn bũ sau nhiều năm hơn thỡ cỏch tớnh đi từng bước như trờn sẽ rất vất vả, chậm và cú thể nhầm lẫn. Bằng kiến thức về cấp số nhõn ta sẽ tỡm ra cỏch tớnh tổng quỏt hơn.
Gọi S0 là tổng số đàn gia sỳc theo thống kờ ban đầu; q là tỉ lệ tăng hàng năm; n là số năm phỏt triển và Si (i = 1…n) là tổng số đàn gia sỳc sau i năm.
Ta cú:
Số gia sỳc sau 1 năm phỏt triển là: S1 = S0 + S0q = S0(1 + q )
Số gia sỳc sau 2 năm phỏt triển là: S2 = S1 + S1q = S0(1 + q) + S0(1 + q)q = S0(1 + q)2
Số gia sỳc sau 3 năm phỏt triển là:S3 = S2 + S2q = S0(1 + q)2 + S0(1 + q)2q = S0(1 + q)3
Như vậy, tổng số bũ của đàn sau mỗi năm phỏt triển lập thành 1 cấp số nhõn với cụng bội (1 + q) và S1 = S0(1 + q ). Vậy sau n năm tổng số
đàn gia sỳc là:
Sn = S1(1 + q)n - 1 = S0(1 + q ).(1 + q)n - 1 = S0(1 + q )n
Áp dụng cụng thức này cho bài toỏn trờn ta cú: S3 = 18.000(1 + 0,02)3 = 19.102 (con).
Vớ dụ 2: Kết quả kiểm kờ vào cuối năm 2006, cho biết tổng đàn bũ ở
vựng Y là 580 con và trong mấy năm qua tỉ lệ tăng đàn đạt 12% mỗi năm. Hóy tớnh xem vào đầu năm 2004 (cỏch đú 3 năm về trước) đàn bũ ở đõy cú bao nhiờu con?
Thụng thường bài toỏn trờn được giải như sau:
Coi số bũ mẹ đầu năm 2006 là 100%, với tỉ lệ tăng đàn 12%, số 580 bũ mẹ cuối năm 2006 so với đầu năm là: 100% + 12% = 112%.
Nghĩa là 112% số bũ ứng với 580 con. Vậy số bũ đầu năm 2006 là:
= (con).
Tương tự như trờn, số bũ đầu năm 2005(trước đú 2 năm) là:
Tiếp tục lập luận như trờn ta cú số bũ mẹ đầu năm 2004 (trước đú 3 năm)
là: = 413 (con).
Nếu gặp phải yờu cầu tớnh số bũ của đàn vào đầu năm nào đú cỏch xa thời điểm hiện tại thỡ rừ ràng cỏch tớnh "lựi" này sẽ gặp khú khăn.
Ta nhận thấy, số bũ của mỗi năm trước thời điểm thống kờ lập thành một cấp số nhõn với S1 = và cụng bội nờn trước đú n năm, số bũ sẽ là:
Sn = . =
Nếu gọi S là tổng số bũ của đàn tại thời điểm thống kờ; n là số năm trước thời điểm thống kờ; q là tỉ lệ tăng đàn hàng năm. Thỡ tổng số bũ cỏch thời điểm thống kờ n năm trước đú là:
b) Cấp số nhõn trong trồng trọt.
Vớ dụ: Đầu mựa thu hoạch xồi, một bỏc nụng dõn đó bỏn cho người thứ
nhất, nửa số xoài thu hoạch được và nửa quả, bỏn cho người thứ hai nửa số cũn lại và nửa quả, bỏn cho người thứ ba nửa số xoài cũn lại và nửa quả v.v... Đến lượt người thứ bảy bỏc cũng bỏn nửa số xoài cũn lại và nửa quả thỡ khụng cũn quả nào nữa.
Hỏi bỏc nụng dõn đó thu họach được bao nhiờu quả xồi đầu mựa? Gọi x là số quả Xoài thu hoạch được đầu mựa của người nụng dõn.
Người khỏch hàng thứ nhất đó mua: quả; người thứ 2 mua: quả; người khỏch hàng thứ 3 mua:
quả; ... và người khỏch hàng thứ 7 mua:
quả. Ta cú phương trỡnh:
(*)
Tớnh tổng cỏc số hạng của cấp số nhõn trong ngoặc ta được:
Do đú phương trỡnh (*) x = 127 Vậy bỏc nụng dõn đó thu hoạch được 127 quả Xồi đầu mựa. c) Cấp số nhõn trong õm nhạc.
Việc phõn chia phớm đàn trờn cần đàn khụng đỳng cỏch là nguyờn nhõn chớnh làm cho tiếng đàn sai giọng (chuyờn mụn gọi là "phụ"). Sau đõy ta sẽ thấy Toỏn học giỳp ớch thế nào cho người chơi đàn và cả người sản xuất đàn.
- Trờn cần đàn, độ dài cỏc "quảng 8" tạo nờn một cấp số nhõn lựi vụ hạn với và cụng bội q = . Tức là dóy số:
- Mỗi "quảng 8" lại phải chia phớm theo 7 nốt nhạc với 12 bỏn cung cú khoảng cỏch cỏc phớm cứ nhỏ dần và lập thành một cấp số nhõn với cụng bội q < 1 (trờn cần đàn mỗi bỏn cung được chia bởi một phớm bằng đồng).
Ta hóy tớnh xem cụng bội q bằng bao nhiờu?
Gọi L1 là độ dài "quảng 8" thứ nhất; L2 là độ dài "quảng 8" thứ 2 (Hỡnh
2.15). Ta cú: L1 = 2L2 Hỡnh 2.14 Hỡnh 2.15
- Như vậy, khoảng cỏch (gần đỳng) giữa mỗi bỏn cung lập thành một cấp số nhõn lựi vụ hạn. Do đú, chiều dài dõy buụng chỉ phụ thuộc vào phớm bỏn cung đầu tiờn (của "quảng 8" đầu) và là tổng của cấp số nhõn núi trờn:
d) Một phần thưởng thỳ vị.
Một người nụng dõn được Vua thưởng cho một số tiền trả trong 30 ngày và cho phộp anh ta chọn 1 trong 2 phương ỏn:
Theo phương ỏn 1, nhà vua cho anh ta nhận 1 xu trong ngày thứ nhất, 2 xu trong ngày thứ 2, 4 xu trong ngày thứ 3,… Số tiền nhận được sau mỗi ngày tăng gấp đụi. Cũn theo phương ỏn 2, nhà vua cho anh ta nhận ngày thứ nhất 1 đồng, ngày thứ hai 2 đồng, ngày thứ ba 3 đồng,… Mỗi ngày số tiền tăng thờm 1 đồng. Biết rằng 1 đồng bằng 12 xu.
Hỏi phương ỏn nào cú lợi cho người nụng dõn?
Đương nhiờn cỏch đơn giản là thực hiện phộp cộng tất cả số tiền cú được sau 30 ngày. Tuy nhiờn làm như vậy khụng cú lợi về mặt thời gian.
Ở phương ỏn thứ nhất, số tiền thưởng là:
S1 = 1 + 2 + 22 + 23 +…+ 229 - là tổng của một cấp số nhõn cú 30 số hạng, u1 = 1 và cụng bội q = 2 nờn S1 = =1.073.741.823 xu.
Cũn ở phương ỏn 2, số tiền thưởng là:
S2 = 1 + 2 + 3 + …+ 30 - là tổng của một cấp số cộng cú 30 số hạng, với u1 = 1 và cụng sai d = 1 nờn S2 = = 465 đồng hay S2 = 5580 xu.
Chọn phương ỏn nào cú lợi hơn?! e) Cấp số nhõn trong phõn tớch tài chớnh
Giả sử bạn cú một khoản tiền A đồng gửi vào một ngõn hàng nào đú với lói suất cố định là r một năm. Sau một năm bạn sẽ cú một khoản tiền cả gốc lẫn lói là: B1 = A + (tiền lói) = A + r.A = (1 + r)A. Cứ sau mỗi năm số tiền của bạn sẽ được nhõn thờm bội số (1 + r). Như vậy số tiền sau mỗi năm mà bạn cú lập thành cấp số nhõn với q = 1 + r. Gọi Bn là số tiền bạn cú sau n năm thỡ:
Bn = A(1 + r)n (*)
Nhưng trong cuộc sống, đụi khi chỳng ta phải thực hiện bài toỏn ngược lại: Hiện tại cần cú số tiền là bao nhiờu để sau n năm cú Bn đồng?
Chẳng hạn, trong kinh tế thường gặp bài toỏn sau:
Vớ dụ 1: Một dự ỏn đầu tư đũi hỏi chi phớ hiện tại là 100 triệu đồng và
sau 3 năm sẽ đem lại 150 triệu đồng. Với lói suất 8% một năm, hóy đỏnh giỏ xem cú nờn thực hiện dự ỏn hay khụng?
Từ cụng thức (*) ta cú: (**)
Nếu gửi ngõn hàng, để sau 3 năm bạn cú 150 triệu đồng thỡ hiện tại phải cú số tiền là: A = (triệu đồng).
Như vậy, việc thực hiện dự ỏn sẽ đem lại một khoản lợi 19,075 triệu đồng. Đú là việc nờn làm.
Vớ dụ 2: Bạn định mua một chiếc xe mỏy theo phương thức trả gúp. Theo
phương thức này sau một thỏng kể từ khi nhận xe bạn phải trả đều đặn mỗi thỏng một lượng tiền nhất định nào đú, liờn tiếp trong 24 thỏng. Giả sử giỏ xe mỏy thời điểm bạn mua là 16 triệu đồng và giả sử lói suất ngõn hàng là 1% một thỏng. Với mức phải trả hàng thỏng là bao nhiờu thỡ việc mua trả gúp là chấp nhận được?
Gọi khoản tiền phải trả hàng thỏng là a đồng. Nếu gửi vào ngõn hàng thỡ giỏ trị hiện tại của toàn bộ khoản tiền trả gúp tại thời điểm nhận hàng là:
đồng
Như vậy, việc mua trả gúp sẽ tương đương với mua trả ngay (bằng cỏch vay ngõn hàng) nếu:
24,21a = 16.000.000 (đồng) a = 660.883,9 (đồng)
Chắc hẳn, bạn sẽ bằng lũng mua trả gúp nếu số tiền phải trả hàng thỏng ớt hơn 660.883,9 (đồng), nếu khụng thỡ thà vay ngõn hàng để trả ngay 16.000.000 (đồng).
f, Cấp số nhõn trong Sinh học. Sinh học là mụn thuộc khoa học tự nhiờn nờn nú liờn quan đến nhiều mụn khoa học khỏc đặc biệt là Toỏn học. Toỏn học giỳp cỏc nhà sinh học xử lớ cỏc thụng số sinh học trong nghiờn cứu khoa học ở cỏc cấp độ khỏc nhau của thế giới sống cũng như ỏp dụng toỏn học trong giảng dạy sinh học ở cỏc trường phổ thụng.
Vớ dụ (Sinh sản của trựng biến hỡnh Amip): Một con Amip
sau một giõy nú tự phõn thành 2 Amip con. Và cứ sau mỗi giõy, mỗi Amip con ấy cũng tự phõn thành 2 (Hỡnh 2.16). Tớnh xem sau 30 giõy cú tất cả bao nhiờu con Amip?
Sau 30 giõy thỡ số Amip là: S = 1 + 2 + 22 + … +230 - là tổng của một cấp số nhõn cú 31 số hạng, u1 = 1, cụng bội q = 2, nờn:
S = = 2.147.483.647 (con).