Theo [38]: số 2,71828…, "số e đúng vai trũ quan trọng trong toỏn học, trong khoa học tự nhiờn và trong kĩ thuật"(?!). Trong toỏn học, ta đó biết đến vai trũ của lụgarit cơ số e. Sau đõy ta sẽ tỡm hiểu tại sao số e được gọi là hằng số ngõn hàng?
- Trước hết ta cần biết, trong ngõn hàng cú 2 cỏch tớnh lói tiền gửi tiết kiệm: lói đơn; lói kộp và 2 thể thức gửi tiền: cú kỡ hạn; khụng kỡ hạn.
Giả sử lói suất là r trờn một đơn vị thời gian (cú thể là năm, thỏng, ngày…). + Với thể thức gửi tiền cú kỡ hạn (3 thỏng, 6 thỏng,…) thỡ được hưởng lói đơn (theo 3 thỏng): cứ 1 đồng gửi tiết kiệm, sau k đơn vị thời gian sẽ thu đuợc cả gốc lẫn lói là: 1 + k.r = (với ).
Chẳng hạn, nếu gửi 1 đồng (cú kỡ hạn) với lói suất là 0,8%/ thỏng (0,8% = 0,008 = ) thỡ sau 3 thỏng cú được số tiền cả gốc lẫn lói là:
1 + 3.0,008 = 1 + .
+ Cũn với thể thức gửi tiền khụng kỡ hạn thỡ được hưởng lói kộp theo thỏng: Tiền lói sau mỗi đơn vị thời gian được gộp vào vốn để tớnh lói cho đơn
vị thời gian tiếp sau đú. Do vậy, với mỗi đồng gửi tiết kiệm, sau k đơn vị thời gian sẽ thu đuợc cả gốc lẫn lói là:
, (*)
(Với số ngày dụi ra chưa đủ thỏng thỡ được hưởng lói đơn theo ngày). Chẳng hạn, nếu gửi 1 đồng (khụng kỡ hạn) với lói suất 0,4%/thỏng (0,4% = 0,004 = ) thỡ:
Sau 3 thỏng cú được số tiền cả gốc lẫn lói là:
Sau 3 thỏng 12 ngày thỡ 12 ngày sau, số tiền được tớnh lói đơn theo ngày với lói suất là: /ngày.
- Bõy giờ ta hóy quan tõm đến cụng thức (*): Trường hợp đơn vị thời gian k = n thỡ cho ta: .
Nếu gửi 1 đồng (khụng kỡ hạn) với lói suất 0,4%/thỏng (0,4% = 0,004 = ) thỡ sau 250 thỏng cú được số tiền cả gốc lẫn lói là:
= 2,71286…(xấp xỉ e đồng - chớnh xỏc đến 2 chữ số thập phõn).
Ta sẽ nghĩ đến việc cho n lớn dần. Giả sử ngõn hàng trả lói kộp theo
ngày, coi mỗi thỏng cú 30 ngày, mỗi ngày tớnh lói suất là thỡ sau 250 thỏng (tức 7500 ngày), số tiền cú được cả gốc lẫn lói là:
=2,71810…(xấp xỉ e đồng - chớnh xỏc đến 3 chữ số thập phõn). Nếu trả lói kộp theo giờ, mỗi giờ tớnh lói suất là thỡ sau 250 thỏng(tức 180.000 giờ), số tiền cú được cả gốc lẫn lói là:
=2,71827… (xấp xỉ e đồng - chớnh xỏc đến 4 chữ số thập phõn).
Nếu trả lói kộp theo giõy, mỗi giõy lói suất là:
thỡ sau 250 thỏng(tức 648.000.000giõy), số tiền cú được cả gốc
lẫn lói càng gần đến e đồng là: =2,71828…
Tổng quỏt, nếu ta gửi X đồng và được trả lói kộp liờn tục với lói suất r/thỏng (r = ) thỡ sau k thỏng ta được số tiền là: p = X = X
(Ở vớ dụ trờn r = 0,4% = , do đú sau thời gian k = n = 250 thỏng, ta cú số tiền p = X.e )