Giải pháp tính tốn bằng phần mềm AUTODYN3D

Phần mềm AUTODYN [23] đã được phát triển để giải quyết các bài toán phi tuyến động lực học, đặc biệt hiệu quả trong giải các bài toán nổ (chuyển vị và biến dạng lớn). Các phương trình vi phân chủ đạo được rút ra từ các định luật bảo toàn khối lượng, động lượng và năng lượng (Bảng 2.1). Những định luật này phải được thỏa mãn ở mọi thời điểm tính tốn. Ngồi ra cần xây dựng các mối quan hệ cơ bản để mơ hình hóa các loại vật liệu sử dụng trong bài toán,

việc mơ hình hóa này mơ tả các mối quan hệ giữa ứng suất với biến dạng và nội năng. Hệ thống các phương trình vi phân được giải quyết trong AUTODYN bằng cách sử dụng kết hợp các phương pháp sai phân hữu hạn, thể tích hữu hạn, phần tử hữu hạn và phương pháp không lưới. Phương pháp giải dựa trên phép tính tích phân tường minh theo thời gian (explicit time integration).

Trong bài toán nổ, khi vụ nổ xảy ra một phần của năng lượng nổ truyền vào các phần tử tại thời điểm sóng nổ lan truyền tới. Sóng nổ lan truyền đến các phần tử trước, năng lượng nhiệt lan truyền đến sau. Với qui trình này chất nổ được giả thiết là nổ hồn tồn và tồn bộ chất nổ được chuyển hóa thành sản phẩm nổ.

Khác với giải thuật khi giải các bài toán động lực học kết cấu ở vùng đàn dẻo (khơng có mặt của q trình phá hủy vật liệu) là giải các phương trình cân bằng động lực học sử dụng phép tính gần đúng Newmark [17], [26], [75], [79]. Khi giải các bài toán động lực học diễn ra trong thời gian ngắn và có xét đến sự phá hủy vật liệu như trong bài toán nổ, người ta sử dụng sơ đồ tích phân trung tâm theo thời gian khác nhau (thường được gọi là phương pháp Leapfrog) [23] nội dung cơ bản như sau:

Sau khi đã được tính lực nút tại các nút của lưới (do áp lực bên trong, tiếp xúc hoặc điều kiện biên), các lực nút được chia cho khối lượng nút để tạo ra gia tốc nút theo công thức [23]. i i i F x b m    (2.8)

trong đó: xi là các các thành phần gia tốc nút (i=1..3); Fi là các lực nút tác dụng nên các điểm nút tương ứng; bi là các thành phần gia tốc của vật thể;

m là khối lượng được qui đổi nút.

Với các gia tốc tại thời điểm n đã xác định, vận tốc tại thời điểm n+1/2 sẽ được xác định theo công thức [23].

1 1

2 2

n n n n

i i i

x   x  x t (2.9)

Vị trí của các nút tại thời điểm n+1 sẽ được cập nhật bằng cách tích phân vận tốc theo công thức [23]. 1 1 1 n 2 n 2 n n i i i x   x  x  t  (2.10)

Ưu điểm của việc sử dụng phương pháp này là các phương trình trở nên độc lập riêng rẽ và có thể được giải một cách trực tiếp (tường minh). Khơng có u cầu thuật tốn lặp trong q trình tích phân theo thời gian. Khơng cần thiết phải kiểm tra tính hội tụ bởi vì các phương trình đã được tách rời độc lập riêng rẽ. Khơng cần phải tính ma trận độ cứng nghịch đảo. Tất cả các yếu tố phi tuyến (bao gồm cả thành phần tiếp xúc) đều được đưa vào trong vector nội lực.

Để đảm bảo sự ổn định và chính xác của lời giải, độ lớn của bước thời gian được sử dụng trong tích phân theo thời gian bị giới hạn bởi điều kiện CFL (Courant-Friedrichs-Lewy [23], [32]). Điều kiện CFL yêu cầu bước thời gian lựa chọn phải đủ nhỏ để thơng tin có đủ thời gian truyền qua khơng gian được rời rạc hóa. Trong bài tốn thực tế, điều kiện CFL được mơ tả rằng bước thời gian tính tốn phải nhỏ hơn khoảng thời gian cho một sóng âm vượt qua phần tử nhỏ nhất của mơ hình, cụ thể là: a kl t c   (2.11)

trong đó: k là kích thước nhỏ nhất của phần tử; l là hệ số ổn định (l có giá trị từ 0,6-0,9 [23]); ca vận tốc sóng âm trong mơi trường.

Hình 2.1. Sơ đồ giải pháp tính tốn bằng AutoDyn [23]

Để tính tốn các đại lượng, giải pháp tính tốn AutoDyn áp dụng kỹ thuật rời rạc hóa các phương trình vi phân cơ bản trong cơ học vật rắn biến dạng thành tập hợp các phương trình đại số, kỹ thuật rời rạc hóa tuân theo phương pháp rời rạc hóa của Wilkins. Đây là phương pháp dựa trên phương pháp sai phân trung tâm tường minh (explicit central difference method) [23], [37]. Các công thức của sai phân hữu hạn được trình bày trong (Bảng 2.4) và biểu diễn hình học được thể hiện ở (Hình 2.2). Trong phương pháp tường minh (explicit method) các đại lượng tại bước thời gian t+1 được tính trực tiếp dựa trên các đại lượng đã biết ở bước thời gian t trước đó.

Các cơng thức rời rạc hóa để xử lý phương trình vi phân trình bày trong (Bảng 2.4), thay vì khơng khả thi khi tính trực tiếp hệ phương trình vi phân phức tạp, các phương pháp sai phân hữu hạn cho phép lập trình và tính tốn các hệ phương trình vi phân thường (ODE) và PTVP đạo hàm riêng (PDE).

Bảng 2.4. Các công thức phương pháp sai phân hữu hạn

Đạo hàm Công thức Tên Độ chính xác

i t t u t          1 i i u u t  

 Sai phân tiến Bậc nhất

i t t u t          1 i i u u t  

 Sai phân lùi Bậc nhất

i t t u t          1 1 2 i i u u t   

 Sai phân trung tâm Bậc hai 2 2 i t t u t         1 1 2 2 i i i u u u t    

 Sai phân trung tâm Bậc hai

Hình 2.2. Biểu diễn hình học các cơng thức của sai phân hữu hạn

Rời rạc hóa khơng gian trong AUTODYN là rời rạc hóa lưới, (Hình 2.3) miêu tả lưới phần tử và phép gán các biến cho phần tử chữ nhật. Lưới đại diện cho đối tượng hình học cần quan tâm, các tham số vật liệu, điều kiện biên và điều kiện ban đầu được gán cho lưới.

Sự biến dạng của mơi trường (vị trí của mỗi chất điểm trong mơi trường liên tục) có thể được mơ tả căn cứ theo tọa độ ban đầu (phương pháp Lagrange) [48] hoặc qui luật biến đổi của các đại lượng đặc trưng tại vị trí nghiên cứu (phương pháp Euler) [31], [40]. Cả hai phương pháp trên được kết hợp để giải

các bài toán va chạm, nổ…. Nguyên lý giải các phương trình vi phân được thể hiện trong tính tốn Lagrange [23]. Hình 2.3(a) mơ tả cho phương pháp lưới Lagrange, Hình 2.3(b) mơ tả phương pháp lưới Euler.

Hình 2.3. Rời rạc hóa trong AUTODYN [23]

Để tính tốn cơng trình ngầm chịu tác dụng của tải trọng nổ bằng phần mềm AUTODYN trước tiên cần phải mơ hình hóa bài tốn. Cơng việc này thực chất là phân chia các vùng tính tốn, khai báo mơ hình vật liệu cho từng vùng, lựa chọn phương pháp giải phù hợp cho mỗi vùng và giải pháp tương tác giữa các vùng.

2.3. Cơ sở lý thuyết tính tốn các vùng trong bài tốn nghiên cứu

Trong phạm vi luận án, tác giả nghiên cứu trong khơng gian 3 chiều (3D) cơng trình ngầm bê tơng cốt GFRP trong mơi trường san hơ bão hịa nước chịu tác dụng của tải trọng nổ. Kết cấu bê tơng cốt GFRP có những tính năng vượt trội về khả năng chống ăn mịn khi xây dựng cơng trình trong điều kiện khắc nghiệt đã được nhiều nước trên thế giới sử dụng. Nhưng đối với cơng trình ngầm chịu tải trọng nổ, kết cấu bê tơng cốt GFRP chưa có nghiên cứu và ứng dụng. Để đánh giá ứng xử của CTN bê tơng cốt GFRP, trong luận án có tính tốn so sánh CTN bê tông cốt thép truyền thống với CTN bê tông cốt GFRP khi chịu tải trọng nổ.

Từ nội dung và phạm vi nghiên cứu trên, cơ sở lý thuyết và mơ hình vật liệu của các vùng được xem xét cụ thể.

2.3.1. Vùng thuốc nổ

Thuốc nổ được sử dụng trong nghiên cứu này là loại thuốc nổ TNT và các loại tương đương. Khi bị kích nổ, thuốc nổ chuyển hóa rất nhanh từ thể rắn sang khí, tương tác và truyền sang các vùng xung quanh một năng lượng nhất định [35], [42]. Do sự giãn nở rất lớn trong quá trình nổ, nên vùng thuốc nổ và các phần tử của sản phẩm thuốc nổ được mơ hình hóa và giải theo phương pháp lưới Euler hoặc nhờ kỹ thuật hạt không lưới SPH (sẽ được mô tả kỹ ở phần sau) nhằm tránh sự méo mó quá lớn của lưới dẫn đến lỗi trong quá trình giải [41], [54]. Mặt khác trong quá trình nổ các phần tử của sản phẩm nổ (quả cầu lửa) có thể sẽ được mở rộng ra các lớp đất xung quanh và ngược lại, lớp đất xung quanh có thể sẽ bị đẩy, thâm nhập vào vùng của sản phẩm nổ. Do đó thuốc nổ và vùng đất xung quanh cần phải được thiết lập để mơ hình hóa và giải theo cùng một phương pháp dạng lưới Euler hoặc kỹ thuật hạt không lưới SPH, trong môi trường thiết lập đa vật liệu.

Để mơ hình hóa hiện tượng nổ và quá trình lan truyền áp lực sóng nổ, người ta thường sử dụng phương trình trạng thái do Lee – Tarver và Jones - Wilkins - Lee” (JWL EOS) đề xuất. Theo đó phương trình trạng thái của thuốc nổ TNT và chất nổ tương đương có dạng [35]: 1 2 1 2 1 2 (1 ) r v (1 ) r v e p C e C e r v r v v           (2.12) trong đó: p là áp suất; v 1 

 là thể tích riêng; ρ là khối lượng riêng thuốc nổ TNT; C1, r1, C2, r2,  là các hằng số được xác định từ thí nghiệm, đối với

thuốc nổ TNT các hằng số này có giá trị [35]: ρ=1,658g/cm3;

8

1 3,7377. 10 kPa

C  ; C2  3,73471. 10 kPa6 ; r1 4,15; r2 0,9;

0,35

  ; tốc độ nổ 6,93.103m/s; năng lượng trên đơn vị thể tích 6.106 KJ/m3; áp suất nổ 2,1.107 kPa.

2.3.2. Vùng đất gần tâm nổ

Trong quá trình nổ vùng đất quanh tâm nổ sẽ bị phá hủy và biến dạng lớn, độ lớn vùng phá hoại được xác định nhờ các công thức thực nghiệm hoặc trong mô phỏng ta thực hiện bằng phương pháp thử dần. Bán kính vùng này được xác định dựa vào khối lượng khối nổ, tính chất của mơi trường và vị trí nổ theo cơng thức sau [12]:

3

P P T

R mK K C (2.13)

trong đó: C là khối lượng thuốc nổ TNT; RP là bán kính vùng phá hoại;

KP là các hệ số vùng phá hoại phụ thuộc tính chất mơi trường; m là hệ số lèn; KP, m tra bảng [12]; KT hệ số qui đổi thuốc nổ sang thuốc nổ tiêu chuẩn TNT;

Đối với những mơi trường chưa có số liệu của KP, m thì RP được xác định bằng phương pháp thử dần khi mô phỏng.

X T TNT Q K Q  (2.14)

với QTNT là nhiệt lượng nổ của thuốc nổ TNT; QX là nhiệt lượng nổ của thuốc nổ sử dụng.

Vùng đất quanh tâm nổ có sự méo mó và biến dạng rất lớn, nếu sử dụng phần tử Lagrange thông thường để mơ hình hóa, lưới sẽ biến dạng q mức cho phép, phần tử bị lộn ngược lại, thể tích phần tử trở thành âm, dẫn đến q trình tính tốn khơng thể thực hiện được. Hiện nay để giải quyết những khó khăn đã nêu, có thể sử dụng phương pháp Lagrangian-Eulerian tùy biến ALE (Arbitrary Lagrangian Eulerian) hoặc phương pháp hạt không lưới SPH (Smooth Particle Hydrodynamics) [19], [23], [54]. Cả hai phương pháp này cho phép ta mơ phỏng đáp ứng của vùng vật liệu có biến dạng rất lớn. Trong luận án sử dụng phương pháp SPH để giải cho vùng thuốc nổ và vùng đất gần tâm nổ.

Phương pháp SPH là một kỹ thuật hạt khơng lưới, do đó nó loại bỏ nhiều vấn đề rắc rối do lưới gây ra và cho kết quả mô phỏng gần thực tế hơn, đồng thời đơn giản trong việc xây dựng các bài toán 3 chiều và có khả năng mô phỏng sự phân tán, thâm nhập của vật chất mà không cần phải sử dụng các kỹ thuật đặc biệt. Phương pháp này phù hợp trong tính tốn bài tốn nổ, va chạm tốc độ cao, đặc biệt khi có sự thay đổi đáng kể về hình dáng hình học của các đối tượng được mơ phỏng (ví dụ sự dãn nở, mở rộng vật chất). Trong phương pháp SPH vật liệu được biểu diễn bằng các hạt có khối lượng cố định và chuyển động theo biến dạng của vật liệu. Không giống như phương pháp dựa trên lưới là giả định liên kết giữa các nút lưới để xây dựng lên mơ hình vật thể khơng gian, phương pháp SPH sử dụng một xấp xỉ hạt nhân (hạt trung tâm) dựa trên nội suy phân bố ngẫu nhiên của điểm. Các hạt mang vật chất như khối lượng

m, vectơ vận tốc ⃗ vectơ vị trí ⃗ ... và hình thành khung tính tốn cho các phương trình bảo tồn (khối lượng, động lượng, năng lượng…).

2.3.3. Phương pháp hạt không lưới SPH

2.3.3.1. Các bước cơ bản của phương pháp SPH

Lời giải của SPH đối với bài toán động trong cơ học môi trường liên tục bao gồm 6 bước cơ bản [19]:

- Bước 1: Tại thời điểm xuất phát t = 0, thực hiện rời rạc miền nghiên cứu thành các hạt. Gán cho các biến trường của mỗi hạt các giá trị ban đầu phù hợp với điều kiện đầu và điều kiện biên của bài toán;

- Bước 2: Xây dựng dạng xấp xỉ hạt cho các phương trình cần giải;

- Bước 3: Từ vị trí và tốc độ hạt tại thời điểm t, tính biến dạng và tốc độ biến dạng cho mỗi hạt, sau đó cũng tại thời điểm này tính ứng suất cho các hạt;

- Bước 4: Từ ứng suất tính được, tính gia tốc cho các hạt tại thời điểm t; - Bước 5: Từ gia tốc tính được tại thời điểm t, tính toạ độ và tốc độ mới cho bước tích phân t+t tiếp theo. Ở đó t là bước thời gian tích phân;

- Bước 6: Lặp lại các bước từ 3 đến 5 cho mỗi bước tích phân tiếp theo. Các bước từ 3 đến 5 là các bước tích phân các phương trình bảo tồn.

2.3.3.2. Cơ sở lý thuyết phương pháp SPH

Trong phương pháp SPH vùng nghiên cứu được rời rạc hóa bằng một tập hợp hữu hạn các hạt, các hạt này có thể hiểu như là các thể tích cơ bản của môi trường liên tục. Mỗi một thể tích (hoặc hạt SPH) như vậy sở hữu các đặc tính chuẩn mực của mơi trường như: mật độ, khối lượng, vận tốc, năng lượng, áp suất… Giá trị của thể tích này được tính bằng tỷ số giữa khối lượng của hạt với mật độ của nó V=m/ρ (m là khối lượng; ρ là mật độ). Trong phương pháp SPH, giá trị của hàm phải tìm tại một điểm được trình bày dưới dạng một tích phân theo thể tích của hàm này với hàm trọng số Dirac [19], [76], [80]:

     

R

trong đó: x x là hàm delta Dirac; a(x) là hàm cần tìm; dx’ phần thể tích nhỏ trong khơng gian đang được xem xét.

Bản chất của phương pháp SPH chính là việc xấp xỉ cơng thức (2.15) thành các chuỗi biến đổi liên tục. Đầu tiên để nhận được công thức gần đúng của hàm tích phân trong miền R, thay thế hàm Dirac bởi hàm giải tích cổ điển trơn tru nào đấy Wx  x h,  và gọi là hàm trọng số hạt trung tâm (hạt nhân), việc thay thế hàm giải tích này được gọi là làm mịn, h là bán kính làm mịn. Kết quả ta nhận được [19], [76], [80]

     ,

R

a x a x W  xx h dx  (2.16)

Rõ ràng rằng Wx x h,  cần phải thỏa mãn điều kiện [76], [80]:

    0   , 1 , R h W x h dx W x h   x          (2.17)

Trong cơng trình của Monoghan [54] khẳng định rằng nếu những điều kiện này được thỏa mãn (thông thường lựa chọn hàm  

2 , x h W x h e        ), thì việc thay thế gần đúng trên sẽ đảm bảo mức gần đúng tới bậc 2  2

O h .

Bây giờ chúng ta hãy xem xét các phương pháp số để tính các tích phân này. Ta giả định mơ hình (mơi trường nghiên cứu) của chúng ta được chia nhỏ thành các phần tử (các hạt). Mỗi phần tử (hạt) như vậy có giá trị tham số xấp xỉ a(x) của mình bằng ai. Chúng ta giả định rằng đã biết mật độ ρi, vị trí xi và