2.3.1. Giới thiệu về phương phỏp phần tử hữu hạn
Phương phỏp phần tử hữu hạn (PP PTHH) là một phương phỏp tớnh toỏn đó được hỡnh thành và phỏt triển từ những năm 1950, nhưng do yờu cầu tớnh toỏn của một bài toỏn thực tế thường đũi hỏi một khối lượng tớnh toỏn rất lớn nờn việc ứng dụng phương phỏp này trước đõy gặp khụng ớt khú khăn. Chỉ cú đến khi cú sự xuất hiện của mỏy tớnh cỏ nhõn cựng với những tiến bộ của khoa học cụng nghệ tin học trong những năm gần đõy mới thật sự cho phộp phương phỏp này được ứng dụng một cỏch phổ biến và rộng rói. Cựng với việc tớnh giải cỏc đại lượng cơ học của kết cấu như biến dạng, ứng suất, chuyển vị... PP PTHH cũn là cơ sở của lĩnh vực mụ phỏng hoỏ trong cỏc bài toỏn thiết kế. Thụng qua sự phỏt triển của kỹ thuật đồ hoạ trờn mỏy tớnh người ta cú thể mụ phỏng hoỏ cỏc hoạt động của kết cấu; giả định vụ số cỏc phương ỏn tớnh toỏn để từ đú chọn lựa giải phỏp tối ưu. Điều này cho phộp giảm chi phớ và thời gian cho cỏc thớ nghiệm theo phương phỏp truyền thống.
Cựng với sự tiến bộ của khoa học kỹ thuật mỏy tớnh đó trở thành một bộ phận quen thuộc và khụng thể thiếu trong cỏc hoạt động nghiờn cứu cũng như ứng dụng thực tiễn. Theo đú, ngày càng xuất hiện nhiều hơn cỏc chương trỡnh tớnh toỏn sử dụng PP PTHH với phạm vi ứng dụng ngày càng phong phỳ và đa dạng: tớnh toỏn kết cấu, tớnh toỏn nhiệt, điện từ, mụ phỏng, tối ưu hoỏ... Đối với thực tế ở Việt Nam PP PTHH cũng từng được nghiờn cứu và ứng dụng khoảng 25-:-30 năm trửo lại đõy với số lượng người tham gia nghiờn cứu ngày càng tăng nhanh, phạm vi ứng dụng ngày càng phong phỳ thờm.P
[5]
PP PTHH cũng thuộc loại bài toỏn biến phõn, song khỏc với cỏc phương phỏp biến phõn cổ điển ở chỗ nú khụng tỡm dạng hàm xấp xỉ của hàm cần tỡm trong toàn miền nghiờn cứu mà chỉ trong từng miền con thuộc miền nghiờn cứu đú. Điều này thuận lợi đối với những bài toỏn mà miền nghiờn cứu gồm nhiều miền con cú những đặc tớnh khỏc nhau, vớ dụ như cỏc bài toỏn về đập, nền khụng đồng chất, đập vật liệu
địa phương, địa chất nền nhiều lớp, cụng trỡnh làm bằng nhiều loại vật liệu khỏc nhau.P
[9]
Trỡnh tự giải bài toỏn bằng phương phỏp PTHH
Bước 1: Chia miền tớnh toỏn thành nhiều cỏc miền con (gọi là cỏc phần tử):
Cỏc phần tử này được nối với nhau bởi một số hữu hạn cỏc nỳt. Cỏc nỳt này cú thể là đinh, cũng cú thể là một số điểm được quy ước trờn cạnh của phần tử.
Cỏc phần tử thường được sử dụng là cỏc phần tử dạng thanh, dạng phẳng, dạng khối như trờn hỡnh 2.15.
Bước 2: Trong phạm vi của mỗi phần tử ta giả thiết một dạng phõn bổ xỏc định
nào đú của hàm cần tỡm như: Hàm chuyển vị, hàm ứng suất, hàm biến dạng.
Thụng thường ta giả thiết cỏc hàm này là những đa thức nguyờn mà cỏc hệ số của đa thức này gọi là cỏc thụng số. Trong phương phỏp PTHH, cỏc thụng số này được biểu diễn qua cỏc trị số của hàm và cú thể là trị số của cỏc đạo hàm của nú tại cỏc điểm nỳt của phần tử.
Hỡnh 2-15: Cỏc phần tử cơ bản trong phương phỏp PTHH
Tuỳ theo ý nghĩa của hàm xấp xỉ mà trong cỏc bài toỏn kết cấu ta thường chia thành 3 loại mụ hỡnh:
a. Mụ hỡnh tương thớch: Ứng với mụ hỡnh này ta biểu diễn gần đỳng dạng phõn bổ của chuyển vị trong phần tử. Hệ phương trỡnh cơ bản của bài toỏn sử dụng mụ hỡnh này được thiết lập trờn cơ sở nguyờn lý biến phõn Laggrange.
b. Mụ hỡnh cõn bằng: Ứng với mụ hỡnh này ta biểu diễn gần đỳng dạng phõn bổ
của ứng suất hay nội lực trong phần tử. Hệ phương trỡnh cơ bản của bài toỏn sử dụng mụ hỡnh này được thiết lập trờn cơ sở nguyờn lý biến phõn Castigliano.
c. Mụ hỡnh hỗn hợp: Ứng với mụ hỡnh này ta biểu diễn gần đỳng dạng phõn bổ
của cả chueyẻn vị lẫn ứng suất trong phần tử. Ta coi chuyển vị và ứng suất là 2 yếu tố độc lập riờng biệt. Hệ phương trỡnh cơ bản của bài toỏn sử dụng mụ hỡnh này được thiết lập trờn cơ sở nguyờn lý biến phõn Reisner-Hellinger.
Như trờn đó núi, cỏc hàm xấp xỉ thường được chọn dưới dạng đa thức nguyờn, dạng của đa thức được chọn để bài toỏn hội tụ, cú nghĩa là ta phải chọn đa thức để khi tăng số phần tử lờn khỏ hơn thỡ kết quả tớnh toỏn sẽ tiệm cận tới kết quả chớnh xỏc.
Mặt khỏc hàm xấp xỉ cần phải chọn để đảm bảo được một số yờu cầu nhất định, trước tiờn là phải thoả món cỏc phương trỡnh cơ bản của lý thuyết đàn hồi. Nhưng để thoả món tất cả cỏc yờu cầu thỡ sẽ rất phức tạp trong việc chọn mụ hỡnh và lập thuật toỏn. Do đú người ta phải giảm bớt một số điều kiện nhưng vẫn đảm bảo nghiệm đạt được độ chớnh xỏc yờu cầu.
Trong 3 mụ hỡnh trờn thỡ mụ hỡnh tương thớch được sử dụng rộng rói hơn cả, cũn 2 mụ hỡnh sau chỉ sử dụng trong một số bài toỏn nhất định.
Bước 3: Thiết lập hệ phương trỡnh cơ bản của bài toỏn:
Để thiết lập hệ phương trỡnh cơ bản của bài toỏn giải bằng PP PTHH ta dựa vào cỏc nguyờn lý biến phõn. Từ cỏc nguyờn lý biến phõn ta rỳt ra được hệ phương trỡnh cơ bản của bài toỏn cú dạng hệ phương trỡnh đại số tuyến tớnh:
A.X=B (2-38) Trong đú:
A- ma trận hệ số X - vộc tơ ẩn
B - vộc tơ vế phải
Bước 4: Giải hệ phương trỡnh cơ bản
Giải hệ (2-38) sẽ tỡm được cỏc ẩn số tại cỏc điểm nỳt của toàn miền nghiờn cứu.
Bước 5: Xỏc định cỏc đại lượng cơ học cần tỡm khỏc
Để xỏc định cỏc đại lượng cơ học cần tỡm khỏc ta dựa vào cỏc phương trỡnh cơ bản của lý thuyết đàn hồi.
PP PTHH cú thể tớnh toỏn cho cả bài toỏn tĩnh và bài toỏn động. Trong luận văn này chỉ trỡnh bày PP PTHH tớnh toỏn cho trường hợp bài toỏn tĩnh.