Phép l c thông cao Butterworth trong không gian 2 chi u có c p � và t n s chặt cụt
xác đinh b i công th c
, =
+ [ , ] . −
V i , là kho ng cách từ tâm hình nh đ n t a đ , . Ta dùng b l c này để l c hình qu bí ngơ:
37
Hình 1.5 – 35. Qu bí ngơ
Kh i t o b l c
Thuật toán 1.5 – 6. L c thông cao Butterworth
Input: ảnh cần lọc
Output: ảnh sau khi dùng bộ lọc thông cao Butterworth
1 P = size(f, 1); %Tạo bộ lọc có kích thước bằng với ảnh 2 Q = size(f, 2); 3 h = zeros(P, Q); 4 n = 5; %Chọn cấp của bộ lọc 5 D0 = 30; %Chọn tần số chặt cụt 6 7 for i = 1:P 8 for j = 1:Q 9 D = sqrt((i - P./2).^2 + (j - Q./2).^2); 10 h(i, j) = 1 ./ (1 + (D0 ./ D).^(2.*n)); 11 end 12 end
13 H = fftshift(h); %Chuyển bộ lọc sang miền tần số
14 P = size(f, 1); %Tạo bộ lọc có kích thước bằng với ảnh 15 Q = size(f, 2); 16 h = zeros(P, Q); 17 n = 5; %Chọn cấp của bộ lọc 18 D0 = 30; %Chọn tần số chặt cụt 19 20 for i = 1:P 21 for j = 1:Q 22 D = sqrt((i - P./2).^2 + (j - Q./2).^2); 23 h(i, j) = 1 ./ (1 + (D0 ./ D).^(2.*n)); 24 end 25 end
26 H = fftshift(h); %Chuyển bộ lọc sang miền tần số
38
Hình 1.5 – 36. nh b l c thông cao Butterworth trong mi n không gian (bên trái)
chuyển sang mi n t n s (bên ph i)
Sử dụng thuật toán 1.5 – 3, ta tính tích chập c a nh g c trong mi n t n s và b l c trong mi n t n s , sau đó l y chuyển đổi ng ợc.
Hình 1.5 – 37. nh qu bí ngơ sau khi l c sử dụng b l c thông cao Butterworth Ta quan sát phổ c a nh tr c và sau khi l c
39
Hình 1.5 – 35. So sánh t n s c a nh tr c và sau khi l c. nh trên – trái: nh ban đ u. nh trên – Ph i: nh sau khi l c. nh d i – trái: t n s nh ban đ u. nh d i – ph i:
t n s nh sau khi l c.
nh sau khi l c có x y ra hi u ng chuông nh ng nhẹhơn l c thông cao Ideal, phổ t n s và nh cho th y ph n biên có t n s cao hơn hẳn nh ng ph n khác.
Hình nh sau là ví dụ c a phép l c thông cao Butterworth c p 2 v i các m c l n l ợt (trái sang ph i) là 15, 30 và 80.
Hình 1.5 – 35. nh sử dụng b l c thông cao Butterworth v i từ trái sang là 15, 30, 80
40
Các phép l c nh t n s cao này còn đ ợc dùng để nhận di n d u vân tay. Y u t quan tr ng để máy móc nhận di n đ ợc vân tay đó là làm sao đểtăng c ng đ ng vân và gi m
đi các v t b n. Đểtăng c ng đ ng vân, ta d a vào y u t quan tr ng đó là đ ng vân tay ch a t n s cao, sẽkhông đổi khi ta sử dụng l c thông cao, mặt khác, phép l c này còn làm gi m các thành ph n ch a t n s th p, ví dụnh phơng n n hay các v t b n. Vì vậy, ta thu
đ ợc nh tăng c ng bằng cách làm gi m t t c các đặc tr ng ngo i trừđặc tr ng có t n s cao.
Hình nh vân tay d i đây sử dụng phép l c thông cao Butterworth c p 4 và t n s chặt cụt là 50.
Hình 1.5 – 36. nh trái: nh vân tay có nhi u v t m , b n, đ ng vân có nơi khơng rõ
nét. nh ph i: nh vân tay rõ nét sau khi sử dụng phép l c thông cao Butterworth
Để ti n quan sát, ta sẽ bi n đổi nh bên ph i theo quy tắc điểm nh có giá tr âm sẽ có màu
đen, cịn d ơng sẽ có màu trắng
Hình 1.5 – 37. Bi n đổi nh 1.5 – 36 ( nh ph i), điểm nh có giá tr âm sẽcó màu đen, cịn d ơng sẽ có màu trắng
41
Sử dụng phép l c thông cao, ta đư lo i b nh ng v t b n trong nh và thu v nh vân tay rõ nét, thuận lợi hơn trong công tác đi u tra.
1.5.7 L c chặn
Đây là m t ng dụng c a l c nh trong mi n t n s . Phép l c chặn lo i b (hoặc đi qua)
các t n s riêng bi t nào đó, ví dụnh nhi u chu kỳ ng v i các nhánh hay các đ ng trong mi n t n s , ta sẽ thi t k m t b l c có t n s 0 t i nh ng v trí đó sẽ lo i b các nhi u. Ví dụ v nhi u chu kỳnh kh m nh khi k t hợp nhi u nh l i để t o kh m, nhi u dòng quét khi dùng máy quét, hay nhi u bán sắc (kiểu gợn sóng) c a b c nh trong t báo d i
đây.
Hình 1.5 – 38. nh xe b nhi u bán sắc, có nh ng đ ng s c ngang d c Chuyển nh vào mi n t n s , ta đ ợc nh sau
42
B n có thể th y trên nh có nh ng đỉnh nh , đỉnh này t ơng ng v i d ng nhi u chu kỳ c a nh bên mi n không gian.
Các b c l c chặn:
- Nhìn vào phổ| , | c a nh nhi u , , tìm v trí t n s có liên quan đ n nhi u. - T o nh mặt n , v i v t khuy t (các s 0) t i v trí đó, nh ng v trí cịn l i có giá tr 1.
- L y tích mặt n v i nh ban đ u đư đ ợc chuyển đổi, các giá tr 0 sẽ làm m t các t n s nhi u
, = , ,
- L y chuyển đổi Fourier ng ợc để thu v nh khôi phục.
, = ℑ− ( , ) Ta xác đnh v trí có v t khuy t
Hình 1.5 – 40. Vịng trịn đen là chỗ có v t khuy t L y tích chập, chuyển đổi ng ợc, ta đ ợc k t qu
43
Hình 1.5 – 41. nh chi c xe sau khi l c chặn
Nh vậy ta đư lo i b đ ợc các đ ng quét trong nh ban đ u. M t ví dụ sau v phép l c chặn
Hình 1.5 – 42. Bên trái là nh có nh ng đ ng s c ngang d c, dùng phép l c chặn, ta
đ ợc nh bên ph i rõ ràng hơn
1.6 Tổng k t
Sau khi tìm hiểu v l c trong mi n t n s , ta th y phép l c này có ch c năng l c nh ng t n s th p và cao trong nh.
- V i thành ph n t n s cao liên quan đ n biên vật thể trong nh, làm rõ biên. Các phép l c thông cao làm gi m các thành ph n t n s th p và b qua thành ph n t n s cao.
- V i thành ph n t n s th p liên quan đ n các vùng m ợt trong nh, làm m nh. Các phép l c thông th p làm gi m các thành ph n t n s cao và b qua thành ph n t n s th p. Ngoài ra, phép l c chặn giúp lo i b các nhi u lặp l i trong nh, làm gi m các t n s ch n
tr c (và m t vài lân cận) và b qua các t n s khác. Quy trình chung khi l c trong mi n t n s :
44
- Dùng thuật toán FFT chuyển nh , sang mi n t n s thành nh , .
- T o b l c ℎ , cùng kích th c v i nh c n l c, dùng FFT chuyển sang mi n t n s thành , .
- Th c hi n phép tính , = , , .
- L y chuyển đổi ng ợc IFFT c a , , ta đ ợc hình , là hình sau khi l c.
1.7 Tài liệu tham khảo
1. Rafael C. Gonzalez, Richard E. Woods, 2007. Filtering in the Frequency Domain. In:
Digital Image Processing 3rd edition, Prentice Hall.
2. William Hoff, 2014, EENG 510 Lecture 09-1 Frequency Domain Filters, https://www.youtube.com/watch?v=7Hj6HcI7dSA
3. William Hoff, 2014, EENG 510 Lecture 09-2 Frequency Domain Filters, https://www.youtube.com/watch?v=ytW8RnH3Pow
4. William Hoff, 2014, EENG 510 Lecture 09-3 Frequency Domain Filters, https://www.youtube.com/watch?v=oKVhNm82drA
5. CS425 Lab: Frequency Domain Processing, http://www.cs.uregina.ca/Links/class- info/425/Lab5/lesson.html
6. Lý Qu c Ng c, 2015, slide bài gi ng tu n 7 và tu n 8. Xử lý ảnh số và video số, khoa Công ngh Thông tin, tr ng ĐH. Khoa h c T nhiên –ĐHQG. Tp. H Chí Minh. 7. TutorialsPoint, Introduction to Frequency domain,
http://www.tutorialspoint.com/dip/introduction_to_frequency_domain.htm 8. TutorialsPoint, Fourier Series and Transform,
http://www.tutorialspoint.com/dip/fourier_series_and_transform.htm 9. TutorialsPoint, Convolution Theorem,
http://www.tutorialspoint.com/dip/convolution_theorm.htm 10. TutorialsPoint, High Pass vs Low Pass Filters,
45
Ph n 2
L C CONTOURLET 2.1 Giới thiệu
G n đây, có m t l p các mi n bi n đổi m i – g i chung là X-let, đ ợc xây d ng d a trên
phân tích đặc tr ng th giác: khoanh vùng (localized), đa m c (multiscale), có đ nh h ng (directional/oriented). Contourlet do tôi tác gi Martin Vetterli và Đỗ Ng c Minh đ xu t là m t phép bi n đổi hai chi u trong s đó. Điểm khác bi t gi a Contourlet và các bi n đổi
t ơng t là nó cho phép linh ho t ch n s h ng mỗi m c, v i chi phí tính tốn th p ( cho nh -pixels). Bi n đổi Contourlet đư đ t k t qu khá t t v i ng dụng khử
nhi u, rút trích đặc tr ng nhầ
Bi n đổi Contourlet là m r ng c a bi n đổi Wavelets hai chi u dùng nhi u m c và các
băng l c h ng. Contourlets phát triển các h ng phân tích cơ b n c a nh (đ i v i Wavelets là theo các h ng: ngang, d c, chéo) lên thành nhi u h ng khác nhau trong từng m c v i tỉ l khung linh ho t (v i Wavelets là nh ng khung vng cịn Contourlet có thể
kéo dài khung cho phù hợp đ trơn c a đ ng biên nh). Vì th , bi n đổi Contourlet có thể
biểu di n hi u qu các đ ng biên trơn (đây cũng là nh ng đặc điểm nổi bật th ng th y trong nh t nhiên).
Trong báo cáo này, tôi sử dụng công cụ Contourlet do Đỗ Ng c Minh đăng t i lên trang
MathWorks vào ngày 27 tháng 11 năm 2005.1
2.2 So sánh bi n đổi Wavelet và bi n đổi Contourlet
Kho ng nh ng năm 1990, ng i ta th ng dùng bi n đổi Wavelet để xử lý nh, nh ng bi n
đổi này chỉ t t để tách ra các tính khơng liên tục các điểm c nh mà khơng nhận ra đ ợc tính m n các đ ng biên nh.
Hình 2.2 – 1. Biểu di n bằng Wavelet (trái) và Contourlet (ph i)
Ý t ng c a bi n đổi Wavelet là sử dụng các nét bút hình vng d c theo đ ng cong để
vẽđ ng cong, v i các kích th t nét khác nhau t ơng ng v i c u trúc đa phân gi i c a Wavelets. Vì vậy để s phân gi i tr nên t t hơn, bi n đổi Wavelet c n thi t sử dụng nhi u
1 T i công cụ Contourlet t i http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/8837-contourlet- toolbox
46
“d u ch m” (hình vuơng nh ) để nắm gi đ ng cong. Trái l i, bi n đổi Contourlet sử dụng
các hình đ ợc kéo dài ra nhi u h ng theo đ ng cong để vẽđ ng cong v i nhi u tính
linh đ ng, d u n nén. Bi n đổi Contourlet sử dụng các phân đo n đ ng cong để th c hi n cục b , khai triển nh có h ng và đa phân gi i. Và nh vậy, tính hi u qu c a bi n đổi Wavelet có lẽ khơng cao bằng bi n đổi Contourlet n u đ ng cong không theo chi u ngang hay d c.
D a vào các ý t ng trên, k t hợp v i h th ng th giác con ng i và th ng kê nh t nhiên, phép bi n đổi Contourlet khi t o nh m i ph i th a các tiêu chí:
- Đa phân gi i: Cho ra x p xỉ nh t t, đ phân gi i từthô đ n m n.
- Tính đ a ph ơng: Các ph n tửcơ s c a nh biểu di n ph i nằm trong c mi n không gian và t n s .
- L y m u gi i h n: M t s ng dụng (nh nén nh), nh biểu di n ph i t o thành cơ s
hoặc m t khung v i s d nh .
- Có tính đ nh h ng: Phép biểu di n ph i bao hàm các ph n tửđ nh h ng cơ s nhi u
h ng, nhi u hơn m t vài h ng khi sử dụng các Wavelet khác nhau.
- B t đẳng h ng: Để bắt các đ ng bao trơn trong nh, phép biểu di n ph i ch a các ph n tửcơ s sử dụng đa d ng các hình thon dài v i tỉ l khác nhau.
3 tiêu chí đ u tiên có thể th c hi n bằng sóng Wavelet, nh ng 2 tiêu chí cu i cùng địi h i m t c u trúc m i. M t thử thách khi bắt tính hình h c và h ng c a nh đ n từ tính r i r c c a d li u, đ u vào là nh m u xác đ nh trên l i hình ch nhật. Ví dụ, các h ng không ph i h ng ngang và d c nhìn r t khác trong l i hình ch nhật. Do nh t o b i các điểm
nh, ta khơng có khái ni m rõ ràng đểxác đ nh đ ng bao trơn c a nh.
Nhi u phép chuyển đổi ban đ u xác đnh trên mi n liên tục, sau đó m i phát triển qua r i r c và sử dụng trên d li u nh, còn phép bi n đổi Contourlet này phát triển trên c u trúc mi n r i r c tr c, sau đó nghiên c u tính h i tụ v m t kho ng m trong mi n liên tục. Bi n đổi Contourlet dùng m t dàn l c hai chi u, phân tích nh thành các subband có h ng t i nhi u m c. T i mỗi m c là s k t hợp gi a m t tháp Laplace và m t dàn l c có h ng. Nh c u trúc lợp ngói này mà các b c phân tích đ c lập v i nhau, mỗi m c sẽ có m t s
h ng khác nhau (là lũy thừa c a 2). Đặc tr ng này khi n cho Contourlet là bi n đổi có thể đ t đ ợc đ linh ho t cao v i m t chi phí tính tốn ch p nhận đ ợc.
2.3 Quá trình bi n đổi Contourlet
Quá trình đ ợc mô t cụ thểnh sau:
Bi n đổi Contourlet g m hai phân tích: phân tích đa m c (multi-scale) và phân tích có
47
Hình 2.3 – 1. Dàn l c Contourlet
m c đ u tiên, nh đ u vào đ ợc phân tích qua hai b c.
- B c 1: Tháp Laplace (Laplace Pyramid – LP) đ ợc dùng để thu gi nh ng điểm r i r c. LP phân tích nh đ u vào thành 1 nh con “thô” và m t tập các nh band-pass.
- B c 2: Băng l c có h ng (Directional Filter Bank - DFB) đ ợc dùng để n i các điểm r i r c thành các c u trúc d ng tuy n tính theo nhi u h ng. DFB phân tích các nh band- pass b c 1 thành các nh con, “ch ng” lên nhau.
các m c ti p theo, q trình phân tích nh b c 1 và 2 sẽđ ợc lặp l i v i đ u vào c a m c này là đ u ra c a m c tr c đó. K t qu sau cùng là các phân tích LP và DFB.
Hình 2.3 – 2. M t phân ho ch th ng dùng c a bi n đổi Contourlet
Bi n đổi Contourlet tr c h t sử dụng tháp Laplace để bắt các điểm khơng liên tục và sau
đó sử dụng m t băng l c có h ng n i các điểm khơng liên tục đó thành m t c u trúc tuy n tính. K t qu chung là m t nh m r ng có sử dụng các ph n tửcơ s nh các phân đo n
đ ng vi n, g i là Contourlet. Đặc bi t, Contourlet hỗ trợ kéo dài v i nhi u thang đo, h ng và tỉ l hình dáng, đi u này cho phép Contourlet x p xỉ hi u qu đ ng vi n m ợt v i đ
48
phân gi i đa d ng. Trong mi n t n s , chuyển đổi Contourlet cho ra cách phân rư đa m c
và có h ng.
2.3.1 Tháp Laplace
M t cách đểđ t đ ợc phân rư đa m c là sử dụng LP do Burt và Adelson gi i thi u. Phân rã LP mỗi m c sinh ra m t thơng th p (lowpass) c a tín hi u g c và m t nh băng t n (bandpass) thể hi n sai s gi a tín hi u g c và tín hi u d đốn, k t q a c a nh băng t n
đ ợc biểu di n hình sau
Hình 2.3 – 3. L ợc đ tháp LP. (a) m t m c phân rã, (b) xây d ng l i