2 Vật chất tối phân rã muộn
2.2.5 Thời gian cân bằng áp suất
Trong thời gian τe để đạt được trạng thái cân bằng áp suất từ sự chênh lệch áp suất ban đầu ∆p(0) được xác định bởi:
τe =
Z ∞
0
∆p(t)
∆p(0)dt (2.39)
Với điều kiện này, ta có một chất kí nhiệt hóa, trong đó phát ra các hạt tương đối tính tại một số nhiệt độ [37]. Tuy nhiên, có một số sự khác nhau. Thứ nhất, phương trình (2.38) được rút ra với giả thuyết τe nhỏ, vì vậy chỉ có số hạng tuyến tính theo τe được giữ lại trong nghiệm của phương trình truyền. Thứ hai, chúng ta sẽ giữ nguyên dạng của nghiệm, thậm chí đối với cả trường hợp thời gian hồi phục là dài với việc cho rằng dạng của nghiệm này chỉ được rút ra từ phép lấy gần đúng bậc thấp từ nghiệm đầy đủ của phương trình truyền. Tuy nhiên, ta cũng sẽ xét đến các phân tích hiện tượng luận của ảnh hưởng của những số hạng bậc cao hơn τe.
Sự khác nhau nữa trong cách tiếp cận hiện nay bao gồm bản chất của thời gian cân bằng áp suất τe. Quả thực, số hạng này bao gồm các tính chất vật lí cơ bản của độ nhớt khối. Về nguyên tắc, có hai cách khôi phục lại trạng thái cân bằng áp suất. Một là từ sự va chạm của các hạt, cách thứ hai đơn giản hơn đó là tất cả các hạt không bền đều bị phân rã, với thời gian tồn tại τd = 1/Γ. Với áp dụng vũ trụ học quan tâm ở đây, thời gian va chạm trung bình τcoll = 1/(nσc) đối với những hạt tương tác yếu (hay tương tác điện từ) thì τcoll rất dài (gấp nhiều lần thời gian Hubble) và có thể không biết đươc. Tuy vậy, chúng ta có thể chỉ cần xét đến thang thời gian để khôi phục lại sự cân bằng áp suất từ sự phân rã của những hạt vật chất tối không bền phi tương đối tính. Có nghĩa là, tại một thời điểm nào đó trong quá trình giãn nở của vũ trụ, sự thiếu
hụt áp suất có thể là 1/3 của mật độ khối lượng - năng lượng còn lại của các hạt nặng không bền. Do vậy, chúng ta thay ργ/3 bởi độ thiếu hụt áp suất từ khối lượng - năng lượng còn lại (không phân rã) ρh/3 trong phương trình (2.38) và ta có: ∆p = 4ρhτe 3 1−(3∂p ∂ρ) ∂Uα ∂xα (2.40)
Thời gian cân bằng τe trong quá trình giãn nở của vũ trụ có thể nhận được từ phương trình (2.39) có dạng: τe = Z ∞ t0 ρh(t0)e−Γt3a(t0)3 3a(t)3 ρh(t0) dt= Z ∞ t0 e−(3H+Γ)tdt , (2.41) Trong đó t0 tương ứng với thời điểm bất kì trong quá trình giãn nở của vũ trụ và ta đặt H = ˙a/a ≈constant. Do vậy a3(t) =a3(t0)e3Ht. Ta có Γ = 1/τd. Vậy thời gian cân bằng τe được lấy gần đúng như sau :
τe = τd
[1 + 3( ˙a/a)τd] (2.42) Lưu ý rằng số hạng ở mẫu có tác dụng ngăn không cho độ nhớt khối có giá trị quá lớn (không có tính thực tế) tại giá trị giới hạn lớn của τd. Đặt phương trình (2.40)vào phương trình (2.38), độ nhớt khối của chất lưu vũ trụ sinh ra do sự phân rã hạt vật chât tối có dạng [38]:
ζ = 4ρhτe 3 1− ρl +ργ ρ 2 (2.43) Số hạng trong ngoặc có bình phương là do ta đặt phương trình (2.40) vào phương trình truyền tương đối tính được tuyến tính hóa [33]. Lưu ý rằng, phương trình (2.43) dẫn tới sự không triệt tiêu độ nhớt khối thậm chí tại giá trị giới hạn của thời gian hồi phục τe lớn với điều kiện mật độ khối lượng - năng lượng toàn phần ρ ở mẫu số bao gồm hỗn hợp của các hạt tương đối tính và phi tương đối tính, vì vậy số hạng trong ngoặc vuông không triệt tiêu. Sự mâu thuẫn này sinh ra do viêc ta chỉ giữ lại những số hạng tuyến tính trong phương trình truyền. Vì vậy, ta phải thận trọng khi sử dụng gần đúng tuyến tính hóa ở giới hạn của thời gian hồi phục áp suất. Tuy vậy, sự suy ra tổng quát [34], trong đó cho thấy thậm chí tại giới hạn quan tâm ở đây của thời gian cân bằng bức xạ
lớn vẫn có sự không triệt tiêu của độ nhớt khối phù hợp với sự xác định thực nghiệm. Như một vật chỉ thị của các hiệu ứng bậc cao hơn trong thời gian hồi phục, chúng ta thay ρe trong phương trình (2.43) bởi:
τe → (τe+ aτe2) = Cτe (2.44) Trong đó a hay C là tham số để điều chỉnh cho phù hợp với các quan sát vũ trụ học.