+ Ta sử dụng ngăn chia giữa các chiếc kẹo, tức là chia 12 chiếc kẹo thành 3 phần, mỗi phần dành cho một đứa trẻ. Để chia 12 chiếc kẹo thành 3 phần ta cần có 2 ngăn chia.
+ Ở hình vẽ trên minh họa cho trường hợp khi sữ dụng 2ngăn chia đặt vào hai vị trí như trên thì đứa trẻ thứ nhất được 5 chiếc kẹo, đứa trẻ thứ hai được 4 chiếc kẹo,.đứa trẻ thứ ba được 3 chiếc kẹo.
+ Bây giờ chúng ta xem 12 chiếc kẹo là 12 vị trí và 2 ngăn chia là 2 vị trí, khi đó ta có tổng là 14 vị trí.
+ Do đó để chia 12 chiếc kẹo giống nhau cho 3 đứa trẻ (có em có thể khơng có kẹo) chính là việc chúng ta đặt 2 ngăn chia đó vào 14 vị trí nói trên và đó là bài toán lấy 2 phần tử từ tập hợp gồm 14 phần tử.
+ Vậy tổng số cách chia là: C142 = 91
Tổng quát: Có bao nhiêu cách chia n chiếc kẹo giống nhau cho k đứa trẻ ( k n) ?
+ Ta sử dụng ( k −1) ngăn chia giữa các cái kẹo, khi đó theo bài tốn cụ thể trên ta có n + ( k −1) vị trí. Số cách chia bằng số cách chọn ( k −1) phần tử từ tập hợp gồm n + ( k −1) phần tử. k −1 n (1) + Vậy tổng số cách chia là: Cn + k −1 = Cn + k −1
* Chú ý: Nếu gọi x1 , x2, x ..., x3 k là số lần xuất hiện của các phần tử thứ 1, 2,3,..., k
trong tổ hợp lặp thì ta có: x1 + x2 + x3 + ... + xk = n; xi N ; i =1, k (*). ( (*) gọi là phương
trình của bài tốn chia kẹo Euler).
+ Như vậy ta có số nghiệm ngun khơng âm của phương trình:
x1 + x2 + x3 + ... + xk =
n là: Ck −1
−1
n + k