nào cũng có kẹo?
Bước 1: Để đứa trẻ nào cũng có kẹo, chúng ta lấy ra 3 chiếc kẹo chia cho 3 đứa trẻ. Bước 2: Chúng ta tiến hành chia 9 chiếc kẹo còn lại cho 3 đứa trẻ. Bây giờ ta có 9 cái kẹo, 2 ngăn chia, tức là có 11 vị trí để đặt 2 ngăn chia.
+ Vậy tổng số cách chia bằng số cách chọn 2 phần tử từ tập hợp gồm 11 phần tử, tức
2
là có C11 = 55(cách chia ).
Tổng quát: Có n chiếc kẹo giống nhau chia cho k đứa trẻ ( k n) sao cho đứa trẻ nào
k −1
cũng có kẹo thì số cách chia là: Cn−1 (2).
* Chú ý: Nếu gọi là x , x, x ..., x
k
1 2 3 số lần xuất hiện của các phần tử thứ 1, 2,3,..., k
trong tổ hợp lặp thì ta có số nghiệm ngun dương của phương trình:
x1 + x2 + x3 + ... + xk
k −1
= n là: Cn−1
3.2: Bài tốn tổng qt: Có bao nhiêu cách chia m chiếc kẹo giống nhau cho n đứa
trẻ sao cho mỗi đứa có ít nhất k chiếc kẹo?
+ Ta có số cách chia p chiếc kẹo giống nhau cho n đứa trẻ sao cho mỗi đứa trẻ có ít
nhất 1 chiếc kẹo là: Cpn−−11 (3)
+ Bây giờ ta tính số cách chia m chiếc kẹo giống nhau cho n đứa trẻ sao cho mỗi đứa
có ít nhất k chiếc kẹo.
+ Trước hết ta chia cho mỗi đứa trẻ (k −1) chiếc kẹo, khi đó số kẹo cịn lại là:
p = m − n( k −1) (chiếc kẹo) và sau đó ta chỉ cần chia p = m − n( k −1) chiếc kẹo còn lại cho n đứa trẻ sao cho đứa trẻ nào cũng được thêm ít nhất 1chiếc kẹo.
+ Thay p = m − n( k −1) vào cơng thức (3) ta có số cách chia là: Cn−1 (4).
3.3: Áp dụng
Bài tốn 1: Có n vật giống hệt nhau và m hộp phân biệt ( n m; m, n N * ) .
a) Hỏi có bao nhiêu cách phân phối hết n vật đó vào m hộp đã cho?
b) Hỏi có bao nhiêu cách phân phối hết n vật đó vào m hộp đã cho sao cho mỗi hộp có ít nhất một vật?
Lời giải: Đánh số các hộp theo thứ tự từ 1 đến m. Giả sữ ta đã phân phối hết hết n
vật đó vào m hộp đã cho. Gọi xi là số vật được phân phối cho hộp thứ i , với i = 1, m
a) Số cách phân phối thỏa mãn bằng số nghiệm ngun khơng âm của phương trình
m−1
(cách) (theo bài tốn chia kẹo Euler ).
x1 + x2 + x3 + ... + xm = n và bằng Cn + m−1
b) Số cách phân phối thỏa mãn mỗi hộp có ít nhất một vật bằng số nghiệm nguyên dương của hệ phương trình
x + x + x + ... + x = n 1 2 3 m 1;i =1, m x i m−1
(cách) ( theo bài tốn chia kẹo Euler ). Kết quả cần tìm là Cn−1
Bài tốn 2: Có 4 viên bi vàng và 10 viên bi xanh. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các
viên bi thỏa mãn: