+ Đặt : x + x + x + x + x =10 1 2 3 4 5 x , x 0 1 5 x , x, x 2 2 3 4 y 2 = x − 2; y = x− 2; y 4 = x − 2 2 3 3 4
+ Số cách sắp xếp các viên bi thỏa mãn giữa hai bi vàng có ít nhất hai bi xanh bằng số nghiệm ngun khơng âm của phương trình x1 + y 2 + y3 + y 4 + x5= 4 .
+ Áp dụng bài toán chia kẹo Euler ta thu được kết quả là:
4
= 70 (cách).
C8
Bài toán 3: Cho một nhóm 5 cơ gái, kí hiệu là G1 , G2 , G3, G4,G5 và 12 chàng trai. Có
17 chiếc ghế được sắp thành một hàng ngang. Người ta xếp nhóm người đã cho ngồi vào các chiếc ghế đó sao cho các điều kiện sau đây được đơng thời thỏa mãn.
1)Mỗi ghế có đúng một người ngồi;
2)Thứ tự ngồi của các cô gái xét từ trái qua phải là G1 , G2 , G3 , G4 ,G5 3)Giữa G1 và G2 có ít nhất 3 chàng trai;
4)Giữa G4 và G5 có ít nhất 1chàng trai và nhiều nhất 4 chàng trai. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách xếp như vậy?
;
(Hai cách xếp được coi là khác nhau nếu tồn tại một chiếc ghế mà người ngồi ở chiếc ghế đó trong hai cách xếp là khác nhau)
Lời giải:
+ Đánh số các ghế từ trái qua phải theo thứ tự từ 1đến 17 . + Gọi x1 là số chàng trai được xếp bên trái G1
x 2là số chàng trai được xếp ở giữa G1 và G 2
x
3là số chàng trai được xếp ở giữa G2 và G3
x4là số chàng trai được xếp ở giữa G3 và G4
x 5là số chàng trai được xếp ở giữa G4 và G 5
x
6là số chàng trai được xếp ở bên phải G6 + Khi đó, ta có: + Đặt: x + x + x + x + x + x =12 1 2 3 4 5 6 x , x , x, x 0 1 3 4 6 x 3;1x 4 2 5 y 2= x − 3; y = x −1. 2 5 5
+ Số cách phân ghế cho các chàng trai bằng số nghiệm nguyên không âm của hệ phương trình x + y 2 + x + x + y + x = 8 1 3 4 5 6 y 3 5
+ Ta lần lượt cho y5 nhận các giá trị 0;1;2;3 và áp dụng bài toán chia kẹo Euler thu
4 4 4 4
=1161(cách). được kết quả là: C12 + C11+ C10 + C9
+ Vì 12 chàng trai có thể hốn đổi vị trí cho nhau nên số cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán bằng 12!.1161 (cách).
Bài toán 4: Cho tập A = 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7 .Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm
3 chữ số trong đó chữ số đứng sau ln lớn hơn hoặc bằng chữ số đứng trước?
Lời giải:
+ Gọi số cần tìm có dạng
n =
abc , theo bài ra ta có: 1a b c 7
+ Đặt: x = a − 1; y = b − a; z = c − b; t = 7 − c ta có:
x, y , z , t 0; x, y , z ,t Z và x + y + z + t = 6 (*).
+ Vậy số nghiệm ngun khơng âm của phương trình (*).chính là số các số thỏa mãn.
3
= 84 (số). + Áp dụng bài toán chia kẹo Euler ta thu được kết quả là: C9
Bài toán 5: Có bao nhiêu cách chọn ra 7 số a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 trong tập
A = i i − a j 1; i j ? 1,2,3,...,2022 , sao cho a Lời giải:
+ Khơng mất tính tổng qt, ta giã sử a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
+ Theo yêu cầu bài tốn ta có: a2 − a1 1; a3 − a2 1;...; a7 − a6 1 .
+ Tất cả các chữ số a , a , a, a , a, a , a đều không liên tiếp nhau (chẳng hạn nếu − a11
1 2 3 4 5 6 7cho a1 =1 vì a2 nên a2 2 ).