Thành tố Biểu hiện đặc trưng
Sử dụng hiệu quả hệ thống BDTH để trình bày nội dung Tốn học.
- Nhận biết được các BDTH, phân biệt được các đối tượng và nắm rõ mối quan hệ của các BDTH
- Sử dụng hệ thống BDTH trong trình bày nội dung vấn đề tốn học. Tìm ra các BDTH có mối liên hệ với
nhau phù hợp với phương án giải quyết vấn đề Toán học.
- Nắm được mối liên hệ giữa các BDTH để liên kết, kết nối các lập luận, tìm giải pháp giải quyết vấn đề. - Tìm ra BDTH phù hợp để biểu thị mối quan hệ của các vấn đề trong những tình huống khác nhau. Lựa chọn và chuyển đổi giữa các
dạng BDTH khác nhau thuận lợi cho việc thực hành, ghi nhớ… tùy theo tình huống và mục đích
- Sử dụng biểu diễn mơ hình hóa tốn học các bài toán thực tế. - Chuyển đổi giữa các dạng BDTH tùy thuộc vào mục đích nhận thức, ghi nhớ hay thực hành.
1.3.4. Sự phát triển tư duy và ngôn ngữ cuả học sinh THPT
Lứa tuổi học sinh THPT là giai đoạn quan trọng trong quá trình phát triển
tư duy. HS ở lứa tuổi này đã có khả năng tư duy trừu tượng, tư duy lý luận một cách độc lập và sáng tạo. Sự phát triển rõ rệt các năng lực về giải quyết vấn đề, tư duy, lập luận, phân tích, tổng hợp, so sánh,… giúp cho học sinh có thể lĩnh hội và hiểu được những khái niệm trừu tượng, mang tính phức tạp. Đồng thời ở độ tuổi này phát triển nhu cầu giao tiếp với bạn bè và với tập thể. HS có ý
24
thức về vai trị của mình trong tập thể và cảm thấy có trách nhiệm hơn trong việc xây dựng tập thể. Q trình phát triển ngơn ngữ gắn liền với quá trình phát triển tư duy. Vưgơtxki đã khẳng định “Ngơn ngữ đóng vai trị trung tâm, là người dẫn đường cho các chức năng tâm lí văn hóa trong q trình chuyển vào trong” [27, tr217].
Ở độ tuổi này HS thường nảy sinh nhiều nghi vấn về những điều chưa biết và có sự phản hồi đối với các vấn đề bản thân chưa hiểu rõ. Cùng với đó, tlứa tuổi trung học phổ thơng đã có hệ thần kinh phát triển tồn diện, do đó đã có khả năng nhận thức những kí hiệu tốn học trừu tượng hơn nên trong giai đoạn này cần bồi dưỡng năng lực biểu diễn toán học và năng lực giao tiếp toán học để phát triển năng lực ngơn ngữ. Mơn tốn ở THPT tạo cơ hội hình thành, phát triển tư duy và ngơn ngữ trí tuệ cho học sinh trong các hoạt động học tập, đặc biệt là thông qua những hoạt động tốn học gắn liền và có ứng dụng thực tiễn.
Ở độ tuổi này, HS có khả năng phán đốn giải quyết vấn đề rất nhanh, tuy vậy khả năng quan sát còn chưa tập trung cao. Khả năng quan sát bắt đầu phát triển gắn liền với năng lực tư duy và năng lực ngơn ngữ. Do đó cần khắc phục cho HS tính phiến diện, đại khái, phân tán không tập trung khi quan sát một đối tượng toán học và vội vàng đi tới kết luận mà khơng có cơ sở vững chắc. Đối với HS ở THPT năng lực tiếp nhận và thích ứng với sự đổi mới mơi trường học tập tăng cao. HS có nhu cầu khám phá các quan điểm về xã hội, quan tâm nhiều hơn tới vấn đề xây dựng lý tưởng sống. GV cần hướng dẫn giúp đỡ để HS dễ thích ứng với mơi trường mới, xây dựng ý thức lớp học để HS cảm thấy thoải mái, trao đổi, động viên học sinh để các em có thể thoải mái diễn đạt ý tưởng của bản thân, tổ chức các hoạt động bồi dưỡng năng lực biểu diễn tốn
25
học và năng lực ngơn ngữ để phát triển năng lực ngôn ngữ gắn liền với năng lực tư duy cho HS.
1.4. Nội dung đồ thị hàm số trong chương trình tốn THPT
1.4.1. Đồ thị hàm số
Từ điển Tiếng Việt định nghĩa: “Đồ thị là hình vẽ biểu diễn sự biến thiên
của một hàm số phụ thuộc vào sự biến thiên của biến số” [18].
Theo từ điển Bách khoa Việt Nam tập 1: Đồ thị hàm số y f x với biến số thực là tập hợp tất cả các điểm tọa độ x y; của mặt phẳng với hệ tọa độ Đề các vng góc Oxy sao cho x nằm trong miền xác định của hàm số f
và y f x . Đồ thị cho ta hình ảnh trực giác về dáng điệu và tính chất của hàm [25].
Như vậy có thể hiểu mỗi hàm số được biểu diễn duy nhất bởi tập hợp tất cả các cặp số x y; , được gọi là đồ thị của hàm số. Mỗi cặp số như vậy có thể được gọi là tọa độ một điểm trong mặt phẳng tọa độ Đề các. Tập hợp các điểm này được gọi là đồ thị của hàm số; nó là một trong những BDTH thường được sử dụng để minh họa một hàm số.
Đồ thị hàm số trong nội dung mơn Tốn ở THPT được phát biểu ở ba dạng chủ yếu: cơng thức, hình vẽ minh họa (các đường cong), tọa độ các điểm tương ứng với các cặp số x y; . SGK Toán 7 – tập 1 đưa ra định nghĩa đồ thị hàm số: “Đồ thị hàm số y f x là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp
giá trị tương ứng x y trên mặt phẳng tọa độ.” ;
Ví dụ 1.3. Một số cách phát biểu đồ thị hàm số “ y tanx” - Biểu thức đại số: y tanx
26 - Tọa độ các điểm đồ thị đi qua:
Tính giá trị hàm số tại các điểm đặc biệt như 0, , ,
6 4 3
x x x x
,...
rồi xác định các điểm 0; tan 0 , ; tan , ; tan , ; tan
6 6 4 4 3 3
,...
Đồ thị hàm số đi qua các điểm: 3
0;0 , ; , ;1 , ; 3 6 3 4 3 ,… - Hình ảnh minh họa:
Đường trịn lượng giác, hệ trục tọa độ
27
1.4.2. Phân tích chương trình tốn THPT 2006
Trong luận văn này, chúng tơi tập trung phân tích nội dung đồ thị hàm số và các vấn đề liên quan trong chương trình giáo dục phổ thơng hiện hành.
1.4.2.1. Đồ thị hàm số trong chương trình Tốn lớp 10
Nội dung Yêu cầu cần đạt
Khái niệm cơ bản về hàm số và đồ thị
– Nhận biết được những mơ hình thực tế (dạng bảng, biểu đồ, công thức) dẫn đến khái niệm hàm số.
– Nắm vững các khái niệm cơ bản của hàm số: định nghĩa hàm số, tập xác định, tập giá trị, hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến, đồ thị của hàm số. – Biết cách tìm tập xác định và lập bảng biến thiên của một số hàm đơn giản.
– Mơ tả được các đặc trưng hình học của đồ thị hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến.
Hàm số bậc nhất – Nắm được cách xét sự biến thiên và cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất.
– Hiểu và vẽ được đồ thị hàm số bậc nhất trên từng khoảng, đồ thị hàm số hằng, đồ thị hàm số y x
– Xác định được công thức và nhận biết được tính chất của hàm số bậc nhất thơng qua đồ thị của nó.
Hàm số bậc hai, đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng
– Thiết lập được bảng giá trị của hàm số bậc hai. – Vẽ được Parabol là đồ thị hàm số bậc hai.
28
như bề lõm, đỉnh, trục đối xứng,..
– Nhận biết và giải thích được các tính chất của hàm số bậc hai thông qua đồ thị.
– Vận dụng được kiến thức về hàm số bậc hai và đồ thị vào giải quyết bài tốn thực tiễn (ví dụ: xác định độ cao của cầu, cổng có hình dạng
Parabol,...).
Dấu của tam thức bậc hai. Bất phương trình bậc hai một ẩn
– Giải thích được định lí về dấu của tam thức bậc hai từ việc quan sát đồ thị của hàm số bậc hai. – Xét dấu được tam thức bậc hai và giải được bất phương trình bậc hai.
– Vận dụng được bất phương trình bậc hai một ẩn vào giải quyết bài tốn thực tiễn (ví dụ: xác định chiều cao tối đa để xe có thể qua hầm có hình dạng Parabol,...).
1.4.2.2. Đồ thị hàm số trong chương trình Tốn lớp 11
Nội dung Yêu cầu cần đạt
Hàm số lượng giác và đồ thị
– Nhận biết được định nghĩa các hàm lượng giác sin
y x, ycosx,y tan , x ycotx thơng qua đường trịn lượng giác.
– Nhận biết được các đặc trưng hình học của đồ thị hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hồn. – Mơ tả được bảng giá trị của bốn hàm số lượng giác đó trên một chu kì.
29
– Vẽ được đồ thị của các hàm số: ysinx,
cos
y x,y tan , x ycotx.
– Dựa vào đồ thị của các hàm số ysinx,
cos
y x,y tan , x ycotx giải thích được: tập xác định; tập giá trị; tính chất chẵn, lẻ; tính tuần hồn; chu kì; khoảng đồng biến, nghịch biến của chúng.
– Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với hàm số lượng giác (chẳng hạn: một số bài tốn có liên quan đến dao động điều hồ trong Vật lí,...).
Phương trình lượng giác cơ bản
– Nhận biết được công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản: sinxm, cosxm,
tanxm, cotxm bằng cách vận dụng đồ thị của các hàm số lượng giác tương ứng.
1.4.2.3. Đồ thị hàm số trong chương trình Tốn lớp 12
Nội dung Yêu cầu cần đạt
Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
– Nhận biết được hình ảnh hình học của đường tiệm cận ngang, đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
– Mô tả được sơ đồ tổng quát để khảo sát hàm số (tìm tập xác định, xét chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị).
30
– Khảo sát được tập xác định, chiều biến thiên, cực trị, tiệm cận, bảng biến thiên và vẽ đồ thị
của các hàm số: 3 2 0 ; yax bx cx d a 0 ; ax b y ad bc cx d 2 ax bx c y mx n
(a0;m0 và đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu).
Hàm số mũ. Hàm số lôgarit
– Nhận dạng được đồ thị của các hàm số mũ, hàm số lơgarit.
– Giải thích được các tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit thông qua đồ thị của chúng. – Giải quyết được một số vấn đề có liên quan đến mơn học khác hoặc có liên quan đến thực tiễn gắn với hàm số mũ và hàm số lơgarit (ví dụ: lãi suất, sự tăng trưởng,...).
Tham chiếu với chương trình mơn Tốn 2018, chúng tôi nhận thấy nội dung Đồ thị hàm số trong chương trình 2006 khơng có nhiều khác biệt về tổng thể các chủ đề đơn vị kiến thức 3 năm THPT, vẫn có đầy đủ các chủ đề về: đồ thị và hàm số bậc nhất, bậc hai; hàm số lượng giác; ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số; hàm số mũ hàm số lơgarit. Tuy nhiên có thay đổi về thứ tự các chủ đề: nội dung “Hàm số mũ – Hàm số lơgarit” được đẩy lên ở chương trình Tốn lớp 11. Sự thay đổi này làm cho nội dung kiến thức về Đồ thị hàm số ở 3 khối lớp được bố trí hợp lí “dàn đều” hơn.
31
Bên cạnh đó, so với chương trình mơn Tốn THPT 2006 thì chương trình 2018 tăng cường nhiều hoạt động luyện tập thực hành trải nghiệm và ứng dụng vào thực tiễn và các môn học khác. Chẳng hạn: bài toán liên quan đến độ PH, độ rung chấn; bài toán lãi suất, tăng trưởng; thực hành đo các cơng trình kiến trúc dạng Parabol (cầu Nhật Tân, cầu Mỹ Thuận,…) hay thực hành sử dụng phần mềm để vẽ đồ thị hàm số, minh họa sự tương giao giữa các đồ thị hàm số, tạo hoa văn hình khối; thực hành ứng dụng các kiến thức của hàm số mũ, hàm số lôgarit vào lĩnh vực Giáo dục dân số, giải thích sự ảnh hưởng của sự tăng trưởng dân số với đời sống kinh tế, xã hội,... Điều này góp phần giúp HS hiểu sâu vai trị và ứng dụng của Tốn học trong các mơn học và lĩnh vực khác trong cuộc sống.
1.4.3. Phân tích nội dung đồ thị hàm số trong sách giáo khoa
Trong luận văn này, chúng tơi thực hiện phân tích nội dung “chương 2 - Hàm số bậc nhất và bậc hai” được trình bày trong SGK Đại số 10 chương trình cơ bản. SGK Đại số 10 trình bày nội dung chương thơng qua 3 bài, cụ thể như sau:
Phần lý thuyết
Tên bài Nội dung Mục tiêu
Hàm số - Ôn tập về hàm số: khái niệm hàm số, tập xác định của hàm số, các cách cho một hàm số, đồ thị hàm số.
- Sự biến thiên của hàm số. - Tính chẵn lẻ của hàm số. - Nắm vững các khái niệm hàm số, tập xác định và các khái niệm hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến, hàm số chẵn, hàm số lẻ. - Biết cách tìm tập xác định và lập bảng biến thiên một số hàm đơn giản.
32 Hàm số yaxb - Ôn tập về hàm số bậc nhất ( 0) yax b a - Đồ thị hàm số hằng - Hàm số y x : tập xác định, chiều biến thiên, đồ thị hàm số
- Biết cách lập bảng biến thiên hàm số bậc nhất. - Biết cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất, đồ thị hàm số hằng. - Biết áp dụng để xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y x . Hàm số bậc hai - Ôn tập về đồ thị hàm số 2 y ax - Các đặc trưng và cách vẽ đồ thị hàm số 2 ( 0) y ax bxc a . - Chiều biến thiên của hàm số bậc hai.
- Bài đọc thêm: Phép biến đổi đồ thị hàm số 2 y ax sang đồ thị hàm số 2 ( 0) y ax bxc a
Biết lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai.
Nhìn chung, nội dung “Chương 2 – Hàm số bậc nhất và bậc hai” được SGK bố trí và sắp xếp tương đối hợp lí. Chương này HS được ôn tập và khái quát hơn về các khái niệm cơ bản của hàm số: định nghĩa hàm số, khái niệm về tập xác định và tập giá trị của hàm số, tính chẵn lẻ của hàm số, sự biến thiên (đồng biến và nghịch biến) của hàm số. Học sinh được giới thiệu về cách lập bảng biến thiên và khảo sát sự biến thiên của hàm số.
33
Ngồi việc ơn lại hàm số bậc nhất và bậc hai dạng cơ bản lớp 9, nội dung chương trình đi sâu vào khảo sát hàm số bậc nhất yaxb; cách vẽ hàm số chứa dấu trị tuyệt đối y x ; khảo sát, cách vẽ và xác định các đặc trưng của đồ thị hàm số bậc hai 2
0
yax bx c a . Đây là cơ hội để HS trau dồi tích lũy vốn ngơn ngữ tốn học đồng thời rèn luyện năng lực GTTH và năng lực BDTH.
Phần bài tập
Tên bài Các dạng bài tập Số lượng bài tập
SGK SBT
Hàm số Tìm tập xác định của hàm số 1 3 Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm
số
0 2
Xét tính chẵn lẻ của hàm số 1 2
Tính giá trị của hàm số tại 1 điểm và điểm thuộc đồ thị hàm số.
2 4
Hàm số
yaxb
Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
yaxb và đồ thị hàm số cho bởi nhiều công thức.
2 5
Xác định công thức của đồ thị hàm số bậc nhất khi biết các yếu tố liên quan.
2 6 Hàm số bậc hai Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số