X a a1 sina cosa g a a ; h a sin p c o s p ; i.
§3 Biến đổi dạng toăn phương vể dạng chính tâc
vể dạng chính tâc
A. Tóm tầt lý thuyết vă câc vf dụ mảu
Định nghĩa: Dạng toăn phuơng chinh tấc l ì dạng toăn phuong chi
chúa bình phương cùa câc biỂn số:
f = b,yf+bìyJỉ +--+b„yỉ.
Chú ý: SỔ câc hệ stíkhâc 0 của dạng toăn phuung chính tâc bằng
hạng của dạng toăn phương dó.
Biến dổi dạng toăn phuong về dạng chính tấc
Định lý: Mọi dạng toăn phuơng dĩu có thể biến dổi được v ỉ dạng chính tic bằng một phĩp biến dổi tuyến tỉnh không suy biến.
Từ câch chúng minh dinh lý năy ta có thể suy ra một câch biến dổi dạng tòn phương vẻ dạng chính tâc nhu sau:
• Trường hạp 1. Dạng toăn phương (1) khuyết tít c ỉ câc bình phucmg,
túc lă:
a , , = a 22= - = a „ = 0 .
Trong trường bợp năy ta có thể biỂn dổi lăm xuât hiện bình phuơng của ít nhất một ưong câc biín sổ. Thật vậy, giă sử a]:! * 0 , ta biến đổi dạng toăn phưcmg (1) nhu sau:
*1 = y > -y2
*2 = y. + y 2
■ *> = y,
• Truờng hợp 2. Nếu a * 0 thì ta đặt y, bằng biểu thức bậc nhất của câc biến số x ,,...,x , với câc hệ só lă câc phần tử thuộc dòng thứ i của ma trận cùa dạng toăn phương, yk = xk với k * i. Trong câc bước biến đổi tiếp theo không được chọn lặp lại dòng thứ i.
Ví dụ 2: Biến đổi dạng toăn phương sau vẻ dạng chính tắc: f = 2xf + 2xị + 3xị - 2x,x, - 2XjXj. Giải:
Ma ơđn cùa dạng toăn phương năy lă:
' 2 0 - 1 '
0 2 - 1
-1 -1 3,
Do a ,, = 2 * 0, theo dòng thứ nhất cùa ma trận năy ta dạt:
y, = 2x, - X , , y, = x 2, y , = x 3. Đảo ngược lại ta dược phĩp biến dổi:
x ,= | < y , + y 3). x2= y 2. x3= y 3-
Sau phĩp biến đổi năy ta được dạng toăn phương:
f = ^ y f + 2yị + | y , 2- 2 y 2y,.
Ma trận của dạng toăn phutmg năy lă:
' ị 0 0 '
0 2 - 1
.0 -1 I ,
Theo dòng thứ hai (có a c = 2 * 0 ) của ma trận năy ta biến đổi dạng toăn phương bđng câch đạt:
Đảo ngược lại ta được phĩp biến đổi:
y> = h’ y2 = ^ ( z 2 + z,), y ,= z ,. Sau phĩp biến dổi năy ta được dạng toăn phương chính tâc:
f = —zf + —zị + 2z?.
2 1 2 2 3
Bđy giờ ta hêy xĩt một ví dụ ứng với trường hợp 1 khi mă tất că câc hệ số a„ = 0,i = l,2,...,n.
Ví dụ 3: Biến đổi dạng toăn phương sau vế dạng chính tắc: f = x,x2 + X|X, +X2X3
Giải: Trước hết ta có a l2 = 1 * 0, nín ta âp dụng phĩp biến đổi lăm xủt hiện bình phương như sau:
xi = y , - y 2. *2 = y, + y 2. X, = y 3. Sau phĩp biến dổi năy ta đuạc dạng toăn phương:
f = y ? - y ỉ + 2 y ,y , Ma ưận của dạng toăn phưong năy lă:
' \ 0 l ' 0 - 1 0
J 0 0,
Do a,, = 1 * 0, theo dòng thứ nhất của ma trận năy ta dặt:
z, = y, + y 3, z , = y 2, Z j= y 3. Đảo ngược lại ta đuợc phĩp biến đổi:
yi = z , - z 3,y , = z 2,y 3 = z 3. Sau phĩp biến đổi năy ta được dạng toăn phương chính tắc:
Nhận xĩt: Trong câc ví dụ trín, ta đê thực hiện việc biến đổi đưa dạng toăn phương vĩ dạng chính tắc theo một thuật toân nhất định dựa văo ma trận của dạng toăn phương, nhưng ta cũng có thể đua về dạng chính têc băng câch nhóm dần câc phẩn từ, cụ thể ta xĩt lại ví dụ 3 như sau:
Biến đổi dạng toăn phương sau vẻ dạng chính tắc:
f = XjX, + x ,x , + x ,x ,
Giải: Trước hết ta có a,, = 1 * 0, nín ta âp dụng phĩp biến đổi lăm xuất hiện bình phương như sau:
x > = y ,- y 2. X, = y ,+ y 2, x ,= y ,. (*)
Sau phĩp biến đổi năy ta được dạng toăn phuơng:
f = y ? - y ỉ + 2yiyj Tiếp đó, ta nhóm tất cả câc phển tử chứa y, :
f = (y? + 2ysy, ) - yị = (y? + 2y,y, + y32 ) - yị - y,2 = ( y , + y J)2- y ! - y ỉ
Đạt z, = y , + y 3,z , = y ,,z 3 = y 3. (**)
Sau phĩp biến đổi năy ta được dạng toăn phương chính tắc: f = z f - z ị - z j ằ
Chú ý rằng nếu ta cần ma trận của phĩp biến đổi đưa dạng toăn phuơng ban đầu về dạng toăn phưcmg chính tắc thì từ (*) vă (**) ta viết ma trận cùa phĩp đổi biến, ma trận của phĩp đổi biến cẩn tìm lă tích cùa hai ma trận năy.
Vĩ bản chất hai câch biến đổi như trín đểu nội dung của phuơng phâp Lagrange dưa một dạng toăn phuơng vẻ dạng chính tắc.
Đinh lý (luật quân tính): Sô' hệ số dương vă số hộ số đm trong dạng
chính tâc c“a d?nS «oăn phương không phụ thuộc văo phĩp biẾn đổi
Chú ý: Có nhiĩu dạng chính tắc cùa cùng một dạng toăn phuơng, nhưng chì số quân tính của câc dạng chính tắc dó luôn gióng nhau.