Cho một hệ gổm m vĩc tơ n chiểu x , , x , ... Xm. (1)
Định nghĩa: Cơ sờ cùa một hệ vĩc tơ lă một hệ con của nó thoả mên hai diều kiện sau:
1. Độc lặp tuyến tính;
2. Mọi vĩc tơ của hệ đê cho biểu diễn tuyến tính qua hệ con đó. Nhận xĩt:
Một hệ vĩc tơ có thể có nhiỂu cơ sở khâc nhau, tuy nhiín sđ vĩc tơ trong mỗi cơ sờ cùa một hệ vĩc tơ lă bằng nhau.
Định nghĩa: Hạng cùa một hệ vĩc tơ lă số vĩc tơ ữong một cơ sờ cùa hệ vĩc tơ dó.
Một sô' tính chât về hạng của hệ vĩc tơ
Gọi r lă hạng của hộ (1), khi đó ta có:
• r < m, r < n; (hạng không vuợt quâ số vĩc tơ vă sở' chiĩu
cùa vĩc tơ)
• Mọi hệ con gổm r vĩc tơ độc lập tuyến tính đểu lă cơ sờ
của hệ vĩc tơ đê cho.
• Nếu r = m (số vĩc tơ bằng hạng của hệ vĩc tơ) thì hệ vĩc
tơ (1) độc lập tuyến tính^i
• Nếu r < m (hạng nhò hơn sô' vĩc tơ) thì hệ vĩc tơ (1) phụ
thuộc tuyến tính.
Để tìm hạng của một hệ vĩc tơ ta có thể lăm như sau:
Câch 1. Tìm một cơ sò bất kì cùa hộ vĩc tơ đó, hạng của hệ vĩc tơ lă số vĩc tơ ưong cơ sờ dó.
Câch 2. Tim một hệ con lớn nhất cùa hệ vĩc tơ dó ma dọc lặp tuyẾn tính, số vĩc tơ ưong hệ con đó lă hạng cùa hệ vĩc tơ đê cho-
Câc phĩp biến đổi không lăm thaj dổi hạng của một bệ vĩc tơ
Phĩp biến dổi thỉm, bớt vĩc tơ: Xĩt hai hệ vĩc tơ:
{X,,XJt...,X ề } (■)
{ x „ x 2,...,x .,x } (b)
Trong đó x = ^ a , x , , k h i đó hai hệ (a) vă (b) có hạng bảng i-l
nhau.
Phĩp biến đổi sơ câp:
1. Đổi chỗ hai vĩc tơ trong hệ;.
2. Nhận một vĩc tơ cùa hệ với một số k * 0;
3. Công văo một vĩc to cùa hệ tích của một vĩc tơ khâc ữong cùng hệ với một số bất kì. Ví dụ I: Tìm hạng của hệ vĩc tơ : X, = (2 ,-3 ) • = (- 4 ,6 ) X, = (-3,4) Giêi:
Câch 1. Dễ dăng thây hệ hai vĩc tơ X,, X, độc lập tuyến tính do chúng khổng tỷ lệ. Mạt khâc, X, = X ,+ 0 X „ X, = ox, + X3, X, = -2X, + 0 X j. Vậy hệ hai vĩc tơ X ,, X, lă cơ sở cùa hệ ba vĩc tơ X ,,X ,,X j. Vậy hạng của hẽ vĩc tơ trín băng 2
Câch 2. Ta cũng de dăng thấy rằng hệ 3 vĩc tơ hai chiĩu X ,,X ,,X j lă phụ thuộc tuyến tính vì só vĩc tơ trong hệ lớn hơn sổ' chiểu. Mạt khâc, hệ hai vĩc tơ X,,Xj độc lập tuyến tính do chúng không tỳ lẹ vă nó lă hệ vĩc tơ con có SÖ vĩc tơ Iđn nhất độc lập tuyến tính. Vđy hạng của hẹ cùa vĩc tơ đê cho bầng 2.
Ví dụ 2ế. Tìm hạng cùa hệ vĩc tơ sau:
X, = (2,-1,3,1)X , = (4 ,-2 ,6 ,2 ) X , = (4 ,-2 ,6 ,2 ) X, = (6 -3,9,3)
x ’ = (1,1,1,1) Giải:
Dễ thây hí hai vĩc tơ X,, X ầ độc lập tuyến tính do chúng không tỳ
lệ. Mặt khâc ta lại có, X| = X, + 0X4, X, = ox, + X4, Xj = 2X, + 0X4, X, =3X , + 0X„. Theo định nghĩa suy ra hệ hai vĩc tơ X ,,X 4 lă mội cơ sở của hệ vĩc tơ đê cho. Vđy hạng cùa hệ vĩc tơ X pX j.X jjX ,, dê cho bẳng hai.
Chú ý: Trong chương năy mới chi giới thiệu câch giải băi toân tìm hạng của hệ vĩc tơ bằng định nghĩa, ờ chương sau chúng ta có thể giải băi toân năy dẻ dăng hem thông qua hạng cùa ma ưận.
Ví dụ 3: Biện luđn theo k hạng cùa hệ vĩc tơ:
fx , = (1 ,2 ,-3 )
X , = ( 0 , - l , - 2 ) [x , = (2,3, k)
Giải:
Ma ưận hệ số tương ứng:
' 1 0 2' 1 0 2 ' 1 0 2 '
2 - 1 3 - > 0 -1 -1 - * 0 -1 -1
-3 -2 k; ,0 -2 k + 6 0 k + 8
Dễ thấy với k * -8 thì hệ ba vĩc tơ X ,,X j,X , độc lập luyến tính. Với k = -8 thì hộ ba vĩc tơ X pX ị.X , phụ thuộc tuyến tính. Do đó, nếu k * -8 thì X p X j.X , độc lập tuyến tính vă nó lă hệ lớn nhất độc lập tuyến tính nín hạng cùa hệ vĩc tơ dê cho bẳng 3 , nếu k = -8 thì X p X j.X , phụ thuộc tuyến tính mă hệ hai vĩc tơ X ,,X 2 luôn độc lập tuyến tính với mọi k vă dđy cũng lă hệ vĩc tơ lớn nhất dộc lạp tuyến
tính Dđn hạng cùa hệ vĩc tơ lă 2 .
Kết luận, k * - 8 thì r(X „ X 2,X ,) = 3;
k = -8 thì r(X l,X j,X ,) = 2.
Ví dụ 4: Cho 2 hệ vĩc tơ n chiĩu s vă S’ có hạng tuơng úng r ( s ) vă r(s '). Chứng minh rẳng nĩu S c S ' thì r ( s ) s r ( s ') .
Giải:
Gọi cơ sờ của hộ vĩc tơ Slă: ỊxỊ,X j,...,X |„Ị vă cơ sỡ cùa hộ vĩc tơ
S' lă |x f ,X j,...,X p |. Giă sù r(S )> r(S ') = > p < m , mặt khâc vì
S c S ' nín hệ ỊxỊ,X !,,...,X ỊnỊ c S ' suy ra mọi vĩc tơ trong hẹ Ị x Ị ,X j,...,X ^ Ị dĩu biểu diín tuyến tính qua cơ sờ Ị x f ,X Ị ,...,X 'Ị cùa S', theo định lý về sự phụ thuộc tuyến tính hệ vĩc tơ
|X ¡,X2,...,X¡n| lă phụ thuộc tuyín tính, điểu năy mđu thuân với
BẾ Băi tập I. Đẻ băi
Tìm hạng của câc hẹ vĩc tơ sau vă chi ra mốt cơ sỏ cùa nó: X, = (-1 ,3 ,-2 ) X, = ( 2 ,- 3 ) 64Ế X , = (-4,6) X, = (-3 ,4 ) X, = (1,2,3,4) ếííí ■X, = (2,3,4,5) ooể X, = (3,4,5,6) X . = (4,5,6,7) X, = (1.-2.3) 68. Xj = (-1,3,2) X, = (2,-3,1) 65. 67. X, = (2 ,-4,2) X, = (3, -7 .4 ) X, = ( 1 ,2 ) x2 =(3,4) X, = ( 5 ,6 ) 69. X, = (2-1,3,1) Xj = (4,-2,6,2) X, = (6,-3,9,3) x ' = (1,1,1,1) Biện luận theo k hạng của câc hẹ vĩc tơ sau:
X, = (1,2,-3) [X, = (2,-1,3)
70. X , = (0 ,-1 ,-2 ) 71. X, = (-4 ,2 ,-6 )
X, = (2,3,1c) [x, = (-2,k,-3)
72. Cho 2 hệ vĩc tơ n chiĩu vă s vă S’ có hạng tương úng r(s) vă
r(S'). Chứng minh rằng r{S,S'} £ r(S ) + r(S').
n. Đâp số
64. r = 2. Câc cơ sỡ lă { x „ x ,} ; { x ,,x ,} .
65. r = 2. Câc cơ sở lă {X,,Xj} ; {X j.X ,}; { x „ x ,} .66. r = 2. Câc cơ sờ lă {X,, X2}; {X2,X ,}; { x ,,x ,} . 66. r = 2. Câc cơ sờ lă {X,, X2}; {X2,X ,}; { x ,,x ,} .
67. r = 3. Mọt cơ sờ lă {X „X 2,XjỊ-
68. r = 2. Câc cơ sở lă bít kỳ hai vĩctơ năo của hí
69. r = 2. C âccơsởlă { x „ x 4}; {X2,X„}; { x „ x , } .
70. k = - 8 ,r = 2; k * - 8 , r = 3. 71. k = l,r = l; k * l , r = 2.
Chương 2