• Có n! hoân vị của tập hợp Ịl,2 ,...,n } , mỗi hoân vị được biếu diễn
dưới dạng
trong đó a (i = l,n) lă số tự nhiín đứng ờ vị trí thứ i ưong hoân vị ( 1 £ a , < n,Oị * a , nếu i * j ).
• Nếu i < j mă 0L ,> a 1 thì ta nói hai số a ,a tạo thănh một cặp nghịch thế.
• Hoân vị chẩn lă hoân vị có sô' nghịch thế chấn, hoân vị lỉ lă hoân vị có sô' nghịch thế lẻ.
Định lý: Nếu từ một hoân VỊ, ta dổi chõ hai số vă giữ nguyín vị tri câc số còn lại thì tính chẵn - lẻ cùa hoân vị thay đổi.
Vi dụ 1: Tìm số nghịch thí cùa hoân vị 1, 3, 5, 2, 4.
Giải: Câc hoân vị có trong nghịch thế trín lă: (3, 2),(5, 2).(5, 4). Vậy hoân vị ưẽn có sô nghịch thí lă 3.
/
a l l a . 3 ■
» 2 , “ 22 • • “ 2 n , a n . • ■
Lập tích ( - l ) h ala a 3ai ...a , trong đó a , , a 2,...,a „ lă một hoân
vị của n sô' tự nhiín đầu tiín vă h lă sô' nghịch thế cùa hoân vị dó. Tổng
cùa n ! tích trín được gọi lă định thức cấp n của ma trận A. Kí hiệu: |a |, detA.
Ví dụ 2: Xâc định dấu cùa câc tích sau a. a na ,Ja „ a J,a w;
b. a „ a :,a 33aiJa „ ;
c. a,saMa„aJ3a5l.
Giải: a. Xĩt dấu của tích bằng câch tính số nghịch thế cùa hoân vị theo ch! số cột 1, 3, 5, 2, 4. Theo Ví dụ 2, ta tính được hoân vị năy có 3 nghịch thế, vậy dấu cùa tích lă dấu (- ) .
b. Tương tự, hoân vị 1, 2,3, 4, 5 có 0 nghịch thế, vậy dấu của tích lă dấu (+).
c. Hoân vị 5, 4, 3, 2,1 có câc nghịch thế
( 5 , 4 ) . ( 5 , 3 ) , ( 5 , 2 ) , ( 5 , l ) , ( 4 , 3 ) , ( 4 , 2 ) , ( 4 , l ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , l ) , ( 2 , l )
Số nghịch thế lă 10, vậy tích mang dấu (+).
Quy tấc tính định thức • Định thức cấp 1:
Định thức cấp hai bẵng tích hai phấn lủ trín đường chĩo chính trứ di tích hai phẩn lử trín đường chĩo phụ.
• Định thức cấp3:
= a na 22a » + a i2a 23a 5l + a i5a n a3J
-aijajjBji - a ,2a21a„ - a |,a a a,j
Quy lắc đường chĩo: